第八章 平面波的反射和折射

反射波
η1
在理想介质中的电磁场为： 理想介质中的电磁场为： 介质中的电磁场为
v v v v i (ωt − k1 z ) i (ωt + k1 z ) E1 = E i + E r = e x E i e + Er e
[
]
3
v v v v E i i (ωt − k1 z ) E r i (ωt + k1 z ) H1 = H i + H r = e y e e − η1 η1
[
0t
]
]
z =0
上式若要相等， 指数部分必须相等 指数部分必须相等， 上式若要相等，则e指数部分必须相等，两边的复振 幅也必须相等，因此有： 幅也必须相等，因此有：
v v v v v v ωt − k ⋅ r = ω ′t − k ′ ⋅ r = ω ′′t − k ′′ ⋅ r
z =0 15
由于在分界面(z=0)上x、y、t都分别是独立变量，则 上 、 、 都分别是独立变量 都分别是独立变量， 由于在分界面 必然有： 必然有：
Chapter VIII. 平面波的反射和 折射
☺平面波正入射 ☺平面波斜入射 ☺多层介质的透射和反射
§7.1 平面波正入射
一、理想导体表面的正入射
v ε、µ0 E v Hi
σ、µ0
v ki
i
由理想导体中平 面波的穿透深度 可知： 可知：
δ=
=
1
v kr v Hr
v Er
α
2
ωµσ
→0
理想导体： 理想导体：
E i + E r = Ed
边界条件磁场强度矢量的连续性条件可 由 z=0 边界条件磁场强度矢量的连续性条件可 得：
η1
Ei
−
η1
Er
=
η2
Ed
21
由上述二式可得： 由上述二式可得：
η 2 − η1 Er = Ei η 2 + η1
2η 2 Ed = Ei η1 + η 2
则电场的反射系数和透射系数为： 电场的反射系数和透射系数为： 反射系数和透射系数为
v v i (ωt + k1 z ) Er = e x Er e v v Er i (ωt + k1z ) H r = −e y e
η1
8
透射波
v v i (ωt − k2 z ) Et = e x Et e v v Et i (ωt − k2 z ) Ht = e y e
η2
处电场强度矢量的边界条件应有： 条件应有 由 z=0 处电场强度矢量的边界条件应有：
14
电磁场在边界面(z=0)上应该满足边界条件： 上应该满足边界条件： 电磁场在边界面 上应该满足边界条件
则有
[
v v E1t = E2 t v v v i (ωt − k ⋅rv ) v i (ω ′t − k ′⋅rv ) ′ E0 t e + E0 t e z =0 v v i (ω ′′t − k ′′⋅rv ) = E ′′ e
T =1+ R
Si = E
2 i
2η1
10
入射波能流： 入射波能流： 能流 反射波能流： 射波能流： 能流
Si = E
2 r 2
2 i
2η1
2
Sr = E
透射波能流： 射波能流： 能流
2η1 = R E η1 = R Si
2 i
St = E
2 t
2η 2 = T E η 2 = T Si (η1 η 2 )
π i ωt − 2
[
η1
4
在介质中的电磁场为： 介质中的电磁场为： 中的电磁场为
v v Re[E1 ] = e x 2 Ei sin k1 z sin ωt v v Ei Re[H1 ] = e y 2 cos k1 z cos ωt
η1
媒质 1 中的场为驻波场。 中的场为驻波场。 任意时刻， 任意时刻， k1 z = − nπ 在 nλ 电场为零(电压的零点 电压的零点)， 或z =− 处，电场为零 电压的零点 ，磁场最
=
2 ε1
ε 2 + ε1 12
§7.2 平面波斜入射
一、反射、折射的普遍规律 反射、
两种媒质均 匀、无源 媒质以z=0 媒质以 平面为分界 面 入射波在x-z 入射波在 平面内
v v B0′ v ′ ′ E0′ k′
v k′ v
v ′ B0
θ′
θ ′′
′ E0 v θ v B0 k v E0
ε2
v v i (ωt − k1z ) Ei = e x Ei e v v Ei i (ωt −k1z ) Hi = e y e
v kr
v Ei
v Er
v Hr
v Ed
η1
v Hd
v kd
反射波
v v v i (ωt + k1 z ) Hi Er = e x Er e v v Er i (ωt + k1z ) H i = −e y e
µ1
v v v 1 v v 1 v ′ ′ k × E0 + k ′ × E0 t = k ′′ × E0′ t
[
]
µ1
[
]
可以得到反射波复振幅、 可以得到反射波复振幅、折射波复振幅与入射波 得到反射波复振幅 复振幅之间的关系。 复振幅之间的关系。
19
二、平面界面垂直入射 1、导电媒质表面的垂直入射 、 入射波
E r η 2 − η1 R= = E i η1 + η 2
考虑到 界面上 边界条件 则有： 考虑到 z=0 界面上的边界条件 E1 (z = 0 ) = 0 则有：
E1 = E i e
(E i + E r )e
[
i (ωt − k1 z ) iωt
+ Er e
i (ωt + k1 z )
]= 0
]
= 0 ⇒ Ei = − Er
介质中 电磁波为 介质中的电磁波为：
[
]
=0 所以媒质 1 中无能流
7
二、理想介质表面的正入射 入射波
ε 1、µ 0
v Hi
v Ei
v ki
v Et v Ht
ε 2、µ0
v kt
v v i (ωt − k1z ) Ei = e x Ei e v v Ei i (ωt − k1z ) Hi = e y e
η1
v kr
v Hr
v Er
反射波
B0
v kd v
v v ki
v E0
v n v
E0||
v v v E0 = E0⊥ + E0||
v E0 ⊥
18
v v 可得： 由边界条件 E1t = E 2 t 可得：
v v 可得： 由边界条件 H 1t = H 2 t 可得：
v v v ′ ′ E0 t + E0 t = E0′t
v v v 来表示， 将 E t 用 E ⊥ 及 E|| 来表示，则由上述两个矢量方程
ω = ω ′ = ω ′′ ′ ′ k x = k x = k x′ k = k ′ = k ′′ y y y
入射波、反射波、折射波具有相同的频率； 入射波、反射波、折射波具有相同的频率； 入射波、反射波、 入射波、反射波、折射波的波矢在同一平面 内；
16
反射、 反射、折射定律
2 2 i 2
由能量守恒原理应有： 能量守恒原理应有： 守恒原理应有
Si = Sr + ST ⇒
η1 1 = R +T η2
2 2
11
同样可定义磁场的反射系数和透射系数： 同样可定义磁场的反射系数和透射系数： 磁场 系数 系数
H r − E r η1 η1 − η 2 RH = = = = −R Hi E i η1 η1 + η 2 H t Et η 2 2η 1 η1 TH = = = = T H i E i η1 η1 + η 2 η 2
σ →∞
理想导体中的 场为零 2
v v i (ωt − k1 z ) Ei = e x Ei e v v E i i (ωt − k1 z ) Hi = ey e
入射波
η1
v v i (ωt + k1 z ) Er = e x Er e v v E r i (ωt + k1 z ) H r = −e y e
v ki
20
η1
透射波
v v i (ωt − k2 z ) Ed = e x Ed e v v Ed i (ωt −k2 z ) Hd = e y e
η2
式中波数、波阻抗均为复数， 式中波数、波阻抗均为复数，振幅为实数 边界条件电场强度矢量的连续性条件可 由 z=0 边界条件电场强度矢量的连续性条件可 得：
对于一般非磁性电介质， µ ≈ µ 0 ，则有： 则有： 对于一般非磁性电介质， 一般非磁
µ0 ε 2 − µ0 ε 1 ε1 − ε 2 η 2 − η1 R= = = η 2 + η1 µ0 ε 2 + µ0 εwk.baidu.com1 ε 2 + ε1
2η 2 T= = η 2 + η1 2 µ0 ε 2
µ0 ε 2 + µ0 ε 1
v v i (ωt − k1 z ) i (ωt + k1 z ) E1 = e x E i e − Ei e v = − e x E i e iωt ⋅ 2i sin(k1 z ) v = e x 2 E i sin(k1 z )e v v Ei iωt H 1 = e y 2 cos(k1 z )e
2
电流的波腹点)， 大(电流的波腹点 ， 电流的波腹点 电场零点或磁场波腹点之间 相差二分之一波长 相差二分之一波长
5
任意时刻 ， 任意 时刻， 在 k1 z = −(2n + 1)π / 2 或 时刻
(2n + 1)λ z=−
4
电场最大 电压的波腹点)，磁场为零 最大(电压 为零(电流 处 ， 电场 最大 电压 的 波腹点 ， 磁场为零 电流 零点)，电场波腹点 磁场零点之间相差 波腹点或 零点之间相差二分 的零点 ，电场波腹点或磁场零点之间相差二分 之一的 之一的波长 任意点 电场、磁场之间相位相差 之间相位 电场落 任意点，电场、磁场之间相位相差 π / 2 ，电场落 后磁场 π / 2
E H
λ /2 λ /4
6
由理想导体的边界条件可知， 由理想导体的边界条件可知，在理想导体表面有感 可知 应面电流： 应面电流：
v v v i = n × H1
z =0
v v = − e z × e y H1
z =0
v 2 E1 iωt = ex e
η1
中的平均玻印亭矢量为： 媒质 1 中的平均玻印亭矢量为： v v v∗ 1 Savg = Re E1 × H1 2 1 v v 2Ei = Re − e x 2iE i sin(k1 z ) × e y cos(k1 z ) 2 η1
′ 由 k1 sin θ = k x = k x = k1 sin θ ′ 可知： 可知：
θ =θ′
入射角等于反射角，是为反射定律。其中， 入射角等于反射角，是为反射定律。其中， 等于反射角 反射定律
k1 = ω ε1µ1
′ 可知： 由 k1 sin θ = k x = kx′ = k2 sin θ ′′ 可知：
2η 2 E tx = E ix η 2 + η1
9
定义电场的反射系数 R 为： 定义电场的反射系数 电场
E rx η 2 − η1 R= = E ix η 2 + η1
定义电场的反射系数 定义电场的反射系数 T 为： 电场
E tx 2η 2 T= = E ix η 2 + η 1
显然： 显然： 从能流角度看： 能流角度看 角度 入射波能流 能流： 入射波能流：
ε 2 µ2 ε 2 n2 sin θ k2 = = = = sin θ ′′ k1 ε 1 µ1 ε 1 n1
其中 k2 = ω
ε 2 µ 2 ，是为折射定律 是为折射 折射定律
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入射波、反射波、 入射波、反射波、折射波复振幅之间的关系
v kr
v ′ E0 v E0
v ′ B0
v ′ E0′
′ B0′
E1 t = E 2 t ⇒ E ix + E rx = E tx
磁场强度矢量的边界条件应有： 边界条件应有 由 z=0 处磁场强度矢量的边界条件应有： 则可得： 可得：
H 1 t = H 2 t ⇒ ( E ix − E rx ) / η1 = E tx / η 2
η 2 − η1 E rx = E ix η 2 + η1
µ2
13
ε 1 µ1
v v v i (ωt − k ⋅rv ) E i = E0 e v v 1 v v i (ωt − k ⋅rv ) 入射波 Hi = k × E0 e ωµ1 v v v i (ω ′t − k ′⋅rv ) E r = E0 e ′ v v 1 v v i (ω ′t − k ′⋅rv ) 反射波 ′ Hr = k ′ × E0 e ω ′µ1 v v v i (ω ′′t − k ′′⋅rv ) Ed = E0′e ′ 折射波 v v v i (ω ′′t − k ′′⋅rv ) 1 v H = ′ k ′′ × E0′e d ω ′′µ 2