沪教版九年级上册数学 24.7 实数与向量相乘 向量的线性运算 教案
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
沪教版初三上册平面向量的运算讲义
,a b 作图，那么a a a ++= )()()a a a +-+-= ？即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。
,3a a -；OA AB BC a ===，现在OC a a a =++，又由于OC 与a 方向相同且3OC a =3OC a =，∴3a a a a ++= 同理：()()()3a a a a -+-+-=-类似的也能够有：13OC OA =依照实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 为向量；假如0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。
假如或0a =，那么0ka =；依照实数与向量相乘的意义：ka a中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；摸索：如图，已知非零向量,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）22a b + （5）2(3a 。
观看、比较（1）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发觉？ 参考答案：图略；132a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发觉，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一样规律。
注意引导实数变成一样字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘关于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘关于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+．a ，恒有(m a ma na =-,a b ，若ma mb =，则有a b =和向量a ，若(0)ma na a =≠，则m n =11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式3()5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF 结合图形可知CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生仿照；讨论：已知a 是非零向量，假如a b ，那么b 能用a 表示出来吗？答案：假如b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，假如0b =，那么0b a =；平行向量定理：假如向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯独实数m ，使b ma =. 练习：1．设非零向量a ，b ，满足2()a b a b -=+，判定向量a ，b 是否平行？2．已知15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判定向量a ，b 是否平行？ 参考答案：1．平行； 2．平行精选例题：（此环节设计时刻在20－30分钟）例题1：我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法错误的是（ ）A . e 有许多个B . 不同的单位向量，它们的方向不同C . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =D . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念； 试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示） 参考答案：12e例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）13(3)()22a b a b +-+,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求老师注意总结引出以下概念：．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的,a b 是两个不平行的向量，xa yb +叫做,a b 线性组合：如图，梯形AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用b 的线性组合表示向量EF = 解：∵AB CD EF ∵AB EF =∵1()22AB DC EF a b +==-． 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生适应性在图中标出。
《24.6实数与向量相乘》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是通过实践练习，使学生掌握实数与向量相乘的基本法则和计算方法，能准确应用相关知识点解决实际问题。
通过反复的练习，巩固学生对于向量基本概念的理解，培养其运用数学知识和技能的能力。
二、作业内容本节课程的主要内容是实数与向量的乘法运算。
在掌握了向量的基本概念后，学生需通过以下步骤完成作业内容：1. 复习实数与向量相乘的定义，理解向量乘法的几何意义和代数表达。
2. 练习简单的实数与向量相乘的算式，如对向量进行数乘操作，明确乘法结果在几何上的表现。
3. 掌握实数与向量相乘的运算法则，包括分配律和结合律等，并能够熟练运用这些法则进行计算。
4. 完成一定量的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，涵盖不同难度的题目，以检验学生对实数与向量相乘的掌握情况。
5. 结合实际生活问题，设计一些应用题，如物理中的力与位移的乘法等，让学生理解数学知识的实际应用。
三、作业要求为确保学生能够准确完成作业，提出以下要求：1. 仔细阅读题目，理解题目要求及所给条件。
2. 运算过程中注意运算法则的运用，尤其是实数与向量的分配律和结合律。
3. 结果必须用准确的数学语言和符号表达，书写要规范。
4. 对于应用题，需结合实际情境分析并作答，不能只给出计算结果。
5. 独立完成作业，严禁抄袭他人答案。
四、作业评价评价学生作业时，主要从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确无误。
2. 规范性：书写是否规范，符号使用是否正确。
3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，能否正确运用所学知识。
4. 创新性：是否有独特的解题方法或思路。
五、作业反馈作业完成后，教师需进行批改和反馈：1. 对学生的作业进行详细批改，标出错误之处并给出正确答案。
2. 对学生的解题思路和答案进行点评，指出其优点和不足。
3. 根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和重点。
4. 对学生的疑问和困惑进行解答和指导。
沪教版(上海)九年级上册数学 24.7 向量的线性运算 课件(共17张ppt)
分析： 向量加法在实际生活中的应用，本例应解
决的问题是向量模的大小及向量的方向
解：如图，设 AB表示水流的
速度，AD表示渡船的速度，
AC表示渡船实际过
江的速度.(由平行四边形 法则可以得到)
D
C
5
≈5.4
A2 B
答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流
速间的夹角约为680
向量加法运算及其几何意义
流方向，所以∠DAC即为所 求
课堂练习：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
（2）已知
|
r a
|
8,|
r b
|
6, 则
|
r a
r b
|
的最大值是
__1_4__
下面我们学习向量的线性运算。
❖ 向量加法的定义：我们把求两个向量 a, b
和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 a, b
的和.
两个向量的和仍然是一个向量.
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
首尾相接，首尾连
a
b
a+b=AB+BC=AC
C
B A
向量加法的平行四边形法则
a
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
九年级数学上册 246 实数与向量相乘教案 沪教版五四制 教案
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则 （1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a=。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
沪教版九年级上册数学-24.7-实数与向量相乘-向量的线性运算-教案
一般地，设 为正整数， 为向量，我们用 表示 个 相加；用 表示 个 相加.又当 为正整数时， 表示与 同向且长度为 的向量.
要点诠释：
设P为一个正数，P 就是将 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将 的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数 与向量 的相乘所得的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
【答案】A．
【解析】
解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + ．
故选：A．
类型二、向量的线性运算
例题3．（1）3( - )-2( +2 )； （2）2(2 +6 -3 )-3(-3 +4 -2 )
【答案与解析】
解：（1）原式＝（3 -3 )+（－2） +（－2）2
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底 表示为 形式，叫做向量的分解，当 相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 .
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。
这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。
教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。
三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。
4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.向量线性运算的实质和运算规律。
3.学生对向量线性运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。
4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。
2.向量模型和实物模型。
3.练习题和测试题。
4.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。
利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。
这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。
通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。
但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。
2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。
2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。
2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。
3.分组学生，进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。
2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。
3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
24.7向量的线性运算-沪教版(上海)九年级数学上册课件(共17张PPT)
因为 AC = AB + BC = a + b
D
b
a C AC = AD + DC = b a.
b
rr
A
aB
所以 a +b =
(
)
(
A
D
) a
(a b) c a (b c).
C
b
B
向量的加法满足 交换律和结合律.
向量加法运算及其几何意义
学以致用：
• 例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速 度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向 东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度）.
归纳小结：
知识方面： 1、一个概念: 向量的加法 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
3、两条运算律: 向量加法的交换律 a +b =b+ a
结合律 a +0= 0+a = a
(a +b) + c= a +(b+c)
向量加法运算及其几何意义
谢谢指导 再见
24.7 向量的线性运算
复习回顾：
1、向量： 既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。 与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从 向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量 的运算。
九年级数学上册24-7平面向量的分解(第1课时)教案沪教版五四制
教学过程设计 一、新课导入
我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化 为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以 组合起来，如果没有括号， 那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
九年级数学上册 24-7 平面向量的分解（第 1 课时）教案沪教版五四制
教学目标设计
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线 性组合． 教学重点及难点 线性运算的意义， 线性组合的概念； 线性组合的简单应用. 教学内容分析
二、探 索新知
例题 1 已知两个不平行的向量
求 作： 解:略
，
.
_D
_B _O
_A
_E _C
四、课堂小结
五、作业布置 练习册 24.7（1）
沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《平面向量的分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析《平面向量的分解》是沪教版数学九年级上册第24章第7节的内容，本节课主要介绍了平面向量的分解概念和方法。
通过本节课的学习，学生能够理解平面向量分解的意义，掌握平面向量分解的基本方法，并能够运用分解后的向量进行问题的求解。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面向量的基本概念和运算，具备一定的数学基础。
但学生在学习过程中，可能对向量分解的理解和运用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解向量分解的本质，并通过适量练习，提高学生运用向量分解解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平面向量分解的概念，掌握平面向量分解的基本方法；2.过程与方法：通过实例分析，引导学生掌握平面向量分解的步骤，培养学生的动手操作能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平面向量分解的概念及其方法；2.难点：平面向量分解的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究平面向量分解的方法；2.利用多媒体辅助教学，直观展示平面向量分解的过程；3.采用合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力；4.通过适量练习，巩固所学知识，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作平面向量分解的教学课件，包括向量分解的定义、方法及实例分析；2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一个实际问题，引导学生思考如何将问题中的向量进行分解。
例如，展示一个平面直角坐标系中的向量，让学生思考如何将该向量分解为两个互相垂直的向量。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍平面向量分解的定义和方法。
九年级数学上册24.7向量的线性运算(2)教案沪教版五四制
根据向量加法的意义a+b所得的和向量是向量a与b的合成.如果a、b是两个不平行的向量，c=ma+nb(m，n是实数)，那么向量c就是向量ma与nb的合成.
用a、b的线性组合表示向量c，也可以说是对向量c分解，向量ma与nb是向量c分别在a、b方向上的分向量，ma+nb是向量c关于a、b的分解式.
向量的线性运算
课题
24.7(2)向量的线性运算
课型
新授课
教学
目标
1.知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量.
2.在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法.
重点
画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量
难点
向量的线性组合与分解的的辩证关系.
教学
准备
学生活动形式
讲练结合
教学过程
课题引入：
课前练习一
课前练习二
备注：
本题既要证明线段平行,又要说明线段之间的数量关系，有一定难度。
注意：OB分别在a、b方向上的分向量是2a和-b
本题对于学生有一定难度，结合学生反馈，师生共同完成解题。本题讲解速度不宜太快。
知识呈现：
新课探索一
例题1如图，已知平行四边形ABCD，点E，F在边AB上，AE=EF=FB，点P是边AD的中点；直线EG、FH都与AD平行，分别交DC于点G、H；直线PQ与AB平行，分别交EG、FH、BC于点O、M、Q，设OM=a，OG=b，试用a、b的线性组合表示向量:OC、OD、OA、OB、OQ.
2.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.(用作图的方法可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.)
上海教育版数学九上24.7《向量的线性运算》(第2课时)word教案
第二十四章24.7（2）向量的线性运算
一、【教学目标】教学目标与要求的双向细目表
说明：
1、学习目标的排列与教学过程中目标的呈现顺序相一致。
2、学习要求分为A、B、C、D四个等级：
A：识记、了解、感知；
B：理解、领会、解释；
C：掌握、应用；
D：探究、评价。
二、新知应用
（一）课内检测题
1．如图六，已知平行四边形ABCD，点 M、N是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=分别求向量MN、BN关于a、b的分解式.
图六
2．如图七，已知平行四边形ABCD的对角线AC 与BD相交于点 O，设,
OA a
=OB b
=，分别求向量OC、OD、AB、BC关于a、b的分解式.
C
A
图七
检测题达成度﹪（二）课后检测题：
1．如图，已知四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC 的中点，设AB a
=，AD b
=，分别求向量AM、AN、MN关于a、b的分解式．
A B
C
D M
N
2．如图，已知四边形ABCD ，点E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，AE 、CF 与对角线BD 分别交于点G 、H ，设BH a =，AG b =．
（1）试用a 、b 的线性组合表示向量CH 、CB ；
（2）作出向量CD 分别在a 、b 方向上的分向量．
G
H
F
A
B
C
D
E
检测题达成度 ﹪
三、教学效果检测
（检测题双向细目表）。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》这一节主要介绍了实数与向量相乘的概念和性质。
学生需要掌握实数与向量相乘的定义，理解实数与向量相乘的几何意义，并能熟练运用实数与向量相乘解决相关问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了实数和向量的相关知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于实数与向量相乘的概念和性质的理解还需要进一步引导和深化。
三. 教学目标1.理解实数与向量相乘的定义和性质。
2.掌握实数与向量相乘的几何意义。
3.能够运用实数与向量相乘解决相关问题。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的几何意义。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和性质，激发学生的兴趣和积极性。
同时，运用案例分析和问题解决的方法，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的几何意义。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备多媒体教学材料，如PPT等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过向学生提问：“实数与向量有什么关系？”引导学生回顾已学的实数和向量的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）向学生介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过示例和讲解，让学生理解实数与向量相乘的几何意义。
3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用实数与向量相乘的知识，巩固所学的内容。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固实数与向量相乘的概念和性质。
5.拓展（5分钟）引导学生思考实数与向量相乘的应用，如在几何图形中的运用等。
6.小结（5分钟）让学生总结实数与向量相乘的概念和性质，以及解题方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业题，让学生巩固所学的内容。
8.板书（5分钟）板书实数与向量相乘的定义和性质，以及解题方法。
本节课通过问题驱动法和案例分析法，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和性质。
九年级数学上册 24.7 向量的线性运算(1)教案 沪教版五四制
课外
作业
练习册
预习
要求
24.7(2)向量的线性运算
课堂
时间
安排
教师主导活动时间： 分
学生主体活动时间： 分
教学
后记
向量的线性运算
课 题
24.7(1)向量的线性运算
设计
依据
教材章节分析：
学生学情分析：
课 型
新授课
教 学
目 标
1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果.
2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．
重 点
线性运算的意义，线性组合的概念；
知识呈现：
新课探索一
新课探索二
新课探索三
例题2 如图，点M是△ABC的边AB的中点，设CA=a，CB=b，试用a、b的线性组合表示向量CM.
课内练习:书p49
课堂小结：平面向量的分解
(1)向量的线性运算：
向量加法，减法，实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.
(2)线性组合：
a、b是两个不平行向量，x，y是实数，则xa+yb叫做a、b的线性组合.
难 点
线性组合的简单应用.
教 学
准 备
学生活动形式
讲练结合
教学过程
课题引入：
前练习一
课前练习二
备注：
复习向量的加法,减法以及实数与向量相乘等运算和类似于实数加法和乘法的运算律。
复习用平行四边形法则(三角形法则)作两个向量的和或差
为新课扫平障碍
注：如学生有困难，教师可适当提示：通过已知向量你能先表示出那些向量？他和所要求的向量有何关系？如何表示？
《24.7向量的线性运算》讲义
《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。
这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。
那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。
有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。
那风筝线就好像是一个向量。
风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。
所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。
咱们再来说说向量的表示方法。
通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。
就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。
在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。
比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。
一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。
还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。
然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。
那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。
咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。
这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。
2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。
想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。
你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。
那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。
在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。
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24.6-24.7 实数与向量相乘 向量的线性运算 教案【学习目标】 1．理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；3．认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.【要点梳理】要点一、实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，为向量，我们用a n 表示n 个相加；用a n -表示n 个-相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与同向且长度为a m n 的向量. 要点诠释： 设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2．向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3. 实数与向量的相乘的运算律：设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 要点二、平行向量定理1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a =.2.平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释：（1）定理中，b m a =，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点三、向量的线性运算1．向量的线性运算定义： 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释： （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解决平面几何问题：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、实数与向量相乘例题1. 已知非零向量a ，求作,a 3,a 25 - 并指出它们的长度和方向. 【答案与解析】 解：如下图， (1)在平面内任取一点O ，作OA a =；(2)在射线OA 上，取5OB OA 2=，则5OB a 2=；a 25 的长度是5a 2且与a 同向. (3)在射线OA 的反向延长线上，取OC 3OA =，则OC 3a =-；长度是3a 且与a 反向.举一反三：【变式】已知单位向量e ，若向量a 与e 的方向相同，且长度为4，则向量a = （用e 表示）.【答案】4e例题2.已知在△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设=，=，那么向量用向量、表示为（ ） A ．+ B ．﹣ C ．﹣+ D ．﹣﹣【答案】A ．【解析】解：如图所示：∵在△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，∴BD=DC ， ∵=， ∴=， ∵=， ∴=+=+．故选：A ．类型二、向量的线性运算例题3．（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c )【答案与解析】解：（1）原式＝（3a -3b )+（－2）a +（－2）2b＝ 3a -3b －2a －4b＝a -7b（2）原式＝2(2a )+2（6b ）-2（3c ）+（-3）(-3a )+（-3）)（4b ）+（-3）(-2c )＝（4a +12b -6c )+9a -12b +6c＝（4+9）a +（12-12）b +（-6+6）c＝13a举一反三：【变式】计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---；【答案】解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ．例题4．已知向量a 和向量b ，求作向量a -2b .【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，2OB b =，则2BA OA OB a b =-=-即BA 即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用. 举一反三：【变式】已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a+b 表（ ）.A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km【答案】A例题5.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，且=．（1）求的值． （2）如果，请用表示．【答案与解析】 解：（1）∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△DOC ，∴==， ∴=；（2）由（1）知，AD=AO ，∴=﹣=﹣．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，记=，=，点P 为BC 的中点，则= （用向量、来表示）【答案】+ 提示：∵=，=， ∴=﹣=﹣， ∵点P 为BC 的中点， ∴==﹣， ∴=+=+﹣=+．类型三、平面向量定理的应用例题 6. 如果2,3a b c a b c +=-=，其中c 是非零向量，求证：//a b【答案与解析】证法一：由2,3a b c a b c +=-=，可得：3()2()a b a b +=-， 化简得：5a b =-由平面向量定理得：//a b证法二：把已知的向量关系式看作关于,a b 的方程，得向量组： 23a b c a b c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得: 51,22a cbc ==- 由平行向量定理得：//,//a c b c所以//a b例题7.如图，已知向量,OA OB 和,p q ，求作：（1）向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量；（2）向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.【答案与解析】解：(1)如图1，作向量OP p =；再过点P 分别作//PE OA ,//PD OB ,E 为直线PE 与直线OB 的交点，D 为直线PD 与直线OA 的交点，作向量,OD OE , 则,OD OE 是向量p 分别在,OA OB 方向上的分向量.(2) 如图2，作向量OQ q =；再过点Q 分别作//QF OA ,//QG OB ,F 为直线QF 与直线OB 的交点，G 为直线QG 与直线OA 的交点，作向量,OG OF , 则,OG OF 是向量q 分别在,OA OB 方向上的分向量.类型四、综合应用例题8.如图，已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点A 1、B 1、C 1在射线ON 上，111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==.设OA a =，1OA b =. （1） 分别求向量111AA BB CC 、、关于a 、b 的分解式；（2） 判断向量111AA BB CC 、、是否平行，再指出直线111AA BB CC 、、的位置关系. 【答案与解析】解：（1）111OB OB k OA OA ==，121OC OC k OA OA ==. 设OA a =，1OA b =可得：12,OB k a OC k a ==，1112,OB k b OC k b == 由向量减法的三角形法则可得：11AA OA OA b a =-=-， 11111()BB OB OB k b k a k b a =-=-=-； 11222()CC OC OC k b k a k b a =-=-=-(2)由（1）得：111BB k AA =, 121CC k AA = 由平行向量基本定理得： 11//BB AA ,11//CC AA , 所以 111////BB AA CC ，又它们所在的直线不共线， 所以直线111AA BB CC 、、相互平行. 举一反三：【变式】设1e 和2e 是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+ ，1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线.【答案】证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+∴122,CA e e =--又1224,CD e e =--∴2,CD CA =∴CD 与CA 共线，∴A 、C 、D 三点共线.。