2-1随机变量及其分布

x
x
F() lim F(x) lim P(X x) 0
x
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x) tx0
例： 已知随机变量X在整个实轴上取值,其分布
函数为
A Bex , x 0
F(x) {
0,
x0
其中 0为常数,求常数A, B的值.
解 由分布函数的性质知
X () 0 ,
=反面
例 {1, 2, 3,4,5,6} 定义: X()
R
X : 按一定法则 实数 X ()
一、随机变量的概念
1.定义:定义在概率空间(, P)上，取值为实数 的函数X (（ ) ）,称为(, P)上的一个 随机变量(random var iable). 简记为r.v. X .
1
且α 0,则β 1 α
2、已知随机变量ξ只取-1，0，1三个值，相应的概率
依次为
1 2
c,
3 4
c,
5 8
c,则常数c
8 15
, P{ξ 0 | ξ 0}
4 9
二、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable） 取值的统计规律性给出一种统一的描述 方法，下面引进分布函数的概念.
第二章
随机变量的分布与数字特征
第2.1节 随机变量及其分布
一、随机变量的概念
二、离散型随机变量的分布
三、分布函数的概念
四、连续型随机变量的分布
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.
例 抛掷一枚硬币可能出现
1, =正面
的两个结果 , 可以用一个 变量来描述.
解
(1)由1
3
2i a( )
a
38
, 得a
27
i 1
3
27 2
38
(2)由1
2i a( )
a
3
3a,得a 1 .
i 1
3
1 2
2
3
注：设D.r.v.X的概率分布为{p( xi )， 1，2， }
则由X生成的任一事件的概率可由其概率分布求出。
P{a X b} P{ { X xi }} P( xi )
注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,… 或小写希腊字母 ,η, ζ,….等表示.
（2）随机变量的特点
定义域
样本空间
随机性
r.v. X 的可能取值不止一个,
试验前只能预知它的可能取值，但不
能预知取哪个值
概率特性 X 以一定的概率取某个值
（3）随机变量的取值表示事件
可用r.v.取值的等式或不等式表示随机事件
(2) pk 1. k 1
注：凡满足(1)(2) 的一组数 { pk , k 1, 2, }
都可以成为一个D.r.v. 的概率分布。
例2.2 设D.r.v.X的概率分布为
(1)P{ X
i}
a
2 i 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
i
1, 2, 3;
(2)P{ X
i}
a
2 3
i
,
i
1, 2,
分别求上述各式中的常数a.
a xi b
a xi b
P{X I} P( xi ) xi I
例2.3 设X的概率分布由例2.2(1)给出，求下列事件 的概率。
P{ X 1}, P{ X 1}, P{ X 2},
P{ X 2.5}, P{ X 3}
解：P{X 1} 0
27 2 9 P{X 1} P{X 1}
P{ X xk } P( xk ) pk , k 1, 2, . 称此式为离散型随机变量 X 的概率分布.
X
x1 x2
xk
P
p1 p2
pk
例如：X
()
1, 0 ,
正面 反面
P( xk )
1
X0 1
P1 1
22
1 2
o
•
1
xk
概率分布表
概率分布图
2、基本性质
(1) pk 0, k 1,2,;
F() A 1.
由分布函数的右连续性
练习：P68 6
F(0 0) A B F(0) 0
P(a X b) P(X b) P(X a) F(b) F(a)
（]
]
a
b
P(X a) lim P(X a x) x0 lim F (a x) x 0
F(a 0)
P(X a) 1 P(X a) 1 F(a)
P(X a) F(a) F(a 0) 请 P(a X b) F(b) F(a 0) 填 P(a X b) F(b 0) F(a)
1.分布函数的定义 设 X 是一个 r.v.，
称 F( x) P{X x} ( x )
为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x).
．．Ax ． ．．
．．
X—(—) —x |—x —>
注:(1)F(x) 是实轴上的一个普通实值函数， 它具良好的性质。
(2)分布函数的作用
2、r.v. 分类
离散型(D.r.v.) 非离散型(N.D.r.v.)
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.(C.r.v.)
引入 r.v.
重要意义
◇ 随机现象可被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法
讨论解决问题
二、离散型r.v.的分布
1、概率分布 ------完整描述D.r.v.的统计规律性 定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk (k 1, 2, ), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X xk }的概率为
例如 : { | X a},{ | a X () b},{ | X x}
I R, {X () I}F
------由r.v.X生成的事件
（4）在同一个样本空间可以同时定义多个 r.v.
例如 : {1, 2, 3,4,5,6}
定义: X()
1 1，3，5 Y () 0 2，4，6
空
P(a X b) F(b 0) F(a 0)
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.
2、分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2, F(x1) F(x2)
练习：P68 7
0 F(x) 1 且
F() lim F(x) lim P(X x) 1,
38 3 19
P{X 2} P{X 1} 9
P{ X
2.5} P{X
19 1} P{X
2}
9
27 4 15
19 38 9 19
P{X 3} P{X 1} P{X 2} P{X 3} 1
练习：
1、D.r.v.X的概率分布为P{X k} αβk (k 1, 2, )