柱面方程与柱面坐标
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
空间直角坐标系曲面是柱面得方程
空间直角坐标系曲面是柱面的方程一、概述空间直角坐标系是解析几何中的重要概念，其中曲面是曲线在三维空间中的延伸，而柱面是一种特殊的曲面。
在解析几何中，研究空间直角坐标系曲面的方程是一项重要的课题，本文将重点介绍空间直角坐标系中柱面的方程。
二、柱面的定义在空间直角坐标系中，柱面是由一直线（轴线）和平行于此直线的所有直线（侧面直线）组成的集合。
简单来说，柱面就是平行于同一直线的无数直线在三维空间中形成的曲面。
在数学上，柱面可以用方程表示，方程的形式与柱面的特性密切相关。
三、空间直角坐标系中柱面的一般方程1. 一般方程形式空间直角坐标系中柱面的一般方程形式为：Ax^2 + By^2 = 2Fxy + 2Gx + 2Hy + C其中A、B、F、G、H、C为常数，且A、B不全为零。
2. 方程的几何意义这一般方程实际上描述了一个二次曲面在空间中的形状。
当A、B、F、G、H、C都为实数时，这个方程表示了一个实数系数的二次曲面，它可以是一个椭圆柱面、双曲柱面或抛物柱面。
四、求解柱面的方程空间直角坐标系中的柱面方程可以通过以下步骤求解：1. 根据柱面的特性确定方程的一般形式。
2. 根据所给的条件，代入方程中的系数，得出准确的柱面方程。
五、实际应用空间直角坐标系中柱面的方程在实际生活中有许多应用。
在建筑设计中，通过对立体图形的分析，可以使用柱面方程来描述建筑物的柱状结构，在工程设计中也可以用柱面方程描述柱状物体的形状。
在数学建模中，柱面方程的求解可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
六、总结空间直角坐标系曲面是柱面的方程是解析几何中的重要内容，通过理解柱面的定义和特性，我们可以掌握求解柱面方程的方法，并且了解柱面方程在实际应用中的意义。
在学习和应用解析几何的过程中，深入研究空间直角坐标系曲面是柱面的方程，对于提高数学建模和工程设计的能力也是十分有益的。
七、参考文献[1] 董西立.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2006.[2] 高等数学教研组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2010.八、进一步探讨柱面的方程1. 柱面的参数方程除了一般方程外，柱面也可以用参数方程表示。
解析几何-柱面
y 2 2 px z 2 准线 : 2 抛物柱面 : y 2 px (4) z 0 母线 // z轴
一般地，若一曲面方程中仅含有两个变量，则此 曲面一定是柱面，它的母线平行于和缺少的那个变 量同名的坐标轴．
如: 8 x 2 25 y 2 4 xy 20 x 10 y 0 为母线平行于 z轴的柱面 .
x x 1 y y1 z z1 1 1 0 2 2 (1)
三.母线平行于坐标轴的柱面 母线 0
S
y
f ( x, y, z)=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f ( x, y, z ) 0 设柱面的准线是 xoy 坐标面上曲线 : z 0 母线平行于 z轴 , 则柱面的方程为 f ( x , y ) 0. 证 由题设 , 母线方向为 v 0,0,1 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :
§3.3
柱面
一.定义 平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线c 叫柱面的准线, 动直线l叫柱面 的母线.
准线
c
l
柱面是直纹面
母线
二.柱面的方程
F1 ( x , y , z ) 0 已知准线方程为 : F2 ( x , y , z ) 0 母线的方向为 : l , m , n 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 2 ) 又 M 1在准线上 , 故 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : F ( x, y, z ) 0
柱面的概念定义411在空间
y2+(z – 2)2 = 4
L
0
.
x
y2 = – 4x
y
x x
Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z
Zt Zt
0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y2
2
x2
2
，z2 而1，母线的方向数是
y2 z2 2
， 1,0,1
的圆柱面的方程
l3 : x 1 y 1 z 2
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2
z
1
a2 b2
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系
吗？
o
y
x
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程
所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标） 的同名坐标轴。
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
.
x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
8x
12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z ) L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
§3柱面方程与柱面坐标
§3柱⾯⽅程与柱⾯坐标§3 柱⾯⽅程与柱⾯坐标⼀母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程1 定义：⼀动直线l在运动过程中，总是平⾏于⼀定⽅向V。
，且总与⼀曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱⾯，其中V。
——柱⾯的⽅向，c——柱⾯的准线，l的任⼀位置——柱⾯的母线。
2 ⽅程及特征：定理：在空间坐标系下，三元⽅程F（x,y,z）=0为⼀母线，平⾏于z轴的柱⾯的⽅程〈═〉该⽅程同解于⼀关于x,y的⼆元⽅程f（x,y）=0证： "═〉"设三元⽅程F（x,y,z）为⼀母线平⾏于z轴的柱⾯Σ的⽅程，则Σ与⾯的交线c：〈═〉其中f（x,y）≡F（x,y,0），可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M点的坐标满⾜f（x,y）=0，∴f（x,y）=0是Σ的⽅程，从⽽F（x,y,z）=0与f（x,y）=0同解。
"〈═"若F（x,y,z）=0同解于f（x,y）=0，记以c：为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为Σ，可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M的坐标满⾜f（x,y）=0∴f（x,y）=0表⽰柱⾯Σ，从⽽F（x,y,z）=0亦表⽰柱⾯Σ例：在直⾓坐标系下，圆柱⾯，双曲柱⾯，平⾯和抛物柱⾯的图形如下：(图2.4)(图2.5)(图2.6) (图2.7)⼆柱⾯坐标：1 圆柱⾯的参数⽅程：设圆柱⾯Σ的中⼼轴重合于z轴，半径=R对P∈Σ，记P在x.y⾯上的投影为P′θ=∠（i，OP′），则r= = + = Rcosθi+Rsinθj+uk————⽮量式参数⽅程⽽ 0≦θ<2π,∣u∣<——————坐标式参数⽅程2 定义：空间中建⽴了直⾓坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则 M落在以z轴为中⼼轴，以ρ为半径的圆柱⾯上，从⽽θ，u，使（*）反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依据（*）式也可确定空间中⼀点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱⾯坐标，记作M（ρ，θ，u）注：1°空间中的点与其柱⾯坐标并⾮⼀⼀对应2°曲柱⾯坐标求直⾓坐标,利⽤(*)即可,⽽由直⾓坐标求柱⾯坐标,则需按下式进⾏.。
、柱面和锥面解析
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
0 0 z 0 0 x x0 yy 0 z z0 u
z u
消去x0,y0,z0得： f ( x, y ) 0
由于u可取任意值，故柱面方程为：f ( x, y) 0
反过来，任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0，我们 考虑以曲线C’
g ( x, y ) 0 z0
g ( x, y) 0
为准线，以z轴为母线方向的柱面，由以上讨论知， 该柱面的方程为
1
x12
消去参数x0,y0,z0，得
2 2 yu 1 x u 4 zu 5
2 2
再消去参数u，最后得
100 x 25 y 4 z 0
2 2 2
2.5 圆锥面
1. 对于圆锥面，它有一根对称轴 l ，它的每一 条母线与轴 l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆 锥面的半顶角. 2. 如果已知顶点的坐标和轴 l 的方向向量 v 以 及半顶角 ，则点 M ( x , y , z )在圆锥面上的充分 必要条件是：
x, y, z 的齐次方程表示的曲面（添 2. 定理3.2 上原点）一定是以原点为顶点的锥面.
证明: 设 F ( x , y , z ) 0 是n次齐次方程， 它表示的曲面添上原点后记作S.
M 0 不是原点. 于是 在S上任取一点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ， 直线 OM 0上任一点 M1 O 的坐标 ( x1 , y1 , z1 ) 适合
高等代数课件-§3--2 柱面和锥面
x1 x 0 t , y 1 y 0 t , t 0. z z t, 0 1
从而有 F ( x1 , y1 , z1 ) F ( x0 t , y0 t , z 0 t ) t n F ( x0 , y0 , z 0 ) 0. 故M1在S上，从而整条直线OM0均在S上，这说明 S是锥面.
分别表示母线平行于z轴的双曲柱面、抛物柱 面（分别如图3.11、3.12）.
2.4 锥面方程的建立
1.定义3.3 在空间中，由曲线C上的点与不在C上的 一个定点 M 0 的连线组成的曲面称为锥面. M 0称为 顶点，C称为准线，C上的点与 M 0 的连线称为母线. 平面也是锥面. 锥面的准线不唯一 . 2. 设一个锥面的顶点为
x0 ,y0 ,z0 , 得： x-u =y 2 + z + 2u 2 x-u = 2 z + 2u
4x +25 y +z +4xz-20x-10z =0
2 2 2
x0 =y +z x0 = 2 z0 x =x0 +u y =y 0 z =z0 -2u
§2
柱面和锥面
2.1 柱面方程的建立
1.定义3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线C 平行移 动时所形成的曲面称为柱面. l 称为母线，C 称为 准线. 按定义，平面也是柱面. 对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一 .与每 条母线均相交的曲线均可作为准线。 n) 2.设一个柱面的母线方向为v (l , m,， 准线C 的 方程为 F ( x , y , z ) 0,
f ( x, y ) 0 z0
点M在此柱面上的充要条件是：存在准线C上的一点 M0(x0,y0,z0)，使得M在过M0且方向为v(0,0,1)的直线 上，从而有： f ( x , y ) 0
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
柱面的讲解
柱面方程
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定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。
4.1,4.2柱面和锥面
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
证明一个曲面方程表示柱面的两种有效途径
证明一个曲面方程表示柱面的两种有效途径
柱面是在数学上十分重要的几何体，它就像圆形柱体，通常在二维投影中表示为一条曲线。
它可以由曲面方程表示，那么有哪些有效的途径可以证明它呢？
首先，可以使用柱面的特征方程来证明它。
特征方程是柱面所有经过其上任意一点的平面所共有的方程，这个方程一般为 ax+by+cz=d ，其中有四个常数 a 、b 、 c 和 d 。
因此，根据这个方程的参数值，可以判断它是否代表一个柱面。
其次，也可以使用柱面的距离函数来证明它。
距离函数是描述柱面某点到中心点距离之间的关系式，一般来说，其形式为 (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = d ，其中 a 、 b 、 c 和 d 分别是柱面中心点的坐标和其距离的平方。
根据这个函数的参数值，可以判断它是否代表一个柱面。
以上就是用一个曲面方程来表示柱面的两种有效途径。
他们使用不同的数学工具，将矩阵与向量转化为可实现的关联，从而轻松解决柱面的证明问题。
柱面方程与柱面坐标
§3 柱面方程与柱面坐标 一 母线平行于坐标轴的柱面方程1 定义：一动直线l 在运动过程中，总是平行于一定方向V 。
，且总与一曲线c 相交，则l 的运动轨迹称为柱面，其中V 。
——柱面的方向，c——柱面的准线，l 的任一位置——柱面的母线。
2 方程及特征： 定理：在空间坐标系下，三元方程F （x,y,z ）=0为一母线，平行于z 轴的柱面的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y 的二元方程f （x,y ）=0 证： “═〉”设三元方程F （x,y,z ）为一母线平行于z 轴的柱面Σ的方程，则Σ与面的交线c ：〈═〉y x ⎩⎨⎧==00),,(z z y x F ⎩⎨⎧==00),(z y x f 其中f （x,y ）≡F（x,y,0），可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 点的坐标满足f （x,y ）=0， ∴f（x,y ）=0是Σ的方程，从而F （x,y,z ）=0与 f （x,y ）=0同解。
“〈═”若F （x,y,z ）=0同解于f （x,y ）=0，记以c ：为⎩⎨⎧==00),(z y x f 准线，母线平行于z 轴的柱面为Σ，可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 的坐标满足f （x,y ）=0 ∴f（x,y ）=0表示柱面Σ，从而F （x,y,z ）=0亦表示柱面Σ 例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面222R y x =+12222=-b y a x 和抛物柱面的图形如下：1=+z y )0(22>=p px y(图2.4)(图2.5)(图2.6) (图2.7)二 柱面坐标：1 圆柱面的参数方程：设圆柱面Σ的中心轴重合于z 轴，半径=R对P∈Σ，记P 在x.y 面上的投影为P′∀ θ=∠（i ，OP′），则 r= = + = Rcosθi+Rsinθj+uk ————矢量式参数方程OP P O 'P P ' 而 0≦θ<2π,∣u∣<——————坐标式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===u z R y R x θθsin cos ∞ 2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对M （x,y,z ），设其到z 轴的距离为ρ，∀则 M 落在以z 轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u ，使∃ （*）⎪⎩⎪⎨⎧===u z y x θρθρsin cos 反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u （∣u∣<）,依据（*）式∀∞也可确定空间中一点M （x,y,z ），称有序三数组ρ，θ，u 为M 点的柱面坐标，记作M （ρ，θ，u ）注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应 2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下式进行. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=z u y x y y x x y x 222222sin ,cos θθρ。
柱面的方程
z
M(x,y,z)
o
L
y
x
M1(x,y,0)
2.几种常见的柱面
1.椭圆柱面 2.双曲柱面 3.抛物柱面
x y 2 1 2 a b
x2 y2 2 1 2 a b
2
2
x 2 py
2
4.特殊的平面
Ax By C 0
1.椭圆柱面
-2 Y 0 2 -1
X 0 1
2
x y 2 1 2 a b
2 2 f ( x0 y0 , z 0 ) 0 (1)
o x
M(x,y,z),有
f ( x 2 y 2 , z ) 0 (2)
若点M(x,y,z)，则其坐标x,y,z不满足(2)式。 故(2)式为此旋转曲面的方程。 故对曲线C:f(y,z)=0： 绕z轴旋转而成的曲面方程为
y2 z2 1, 9 4 x0
x2 z2 1, 16 4 y0
再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截这个曲面，所 得截痕的方程是
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
M ( x, y , z ) , 过点M的母线交准线于点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ), 则有
x x0 t y y0 t z z t 0
2 2 从而x 2 y 2 ( x0 y0 )t 2 R 2t 2 z0 t z2 2 2
f ( x 2 y 2 , z ) 0
曲线C绕y轴旋转而成的曲面方程为 f ( y, x 2 z 2 ) 0 类似地，可考虑其他的在某一坐标平面上的曲线绕相应的坐 标轴 旋转而成的旋转曲面的方程。
7.4.2 三重积分的计算(柱面、球面)
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参数方程： 参数方程：
x = s cos ω t y = s sin ω t z = vt
y v z = arctan = θ ω x ω
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v
是圆域时， 当 Ω 在 xOy 面上的投影区域 D 是圆域时， 用柱面坐标计算三重积分比较方便
在“先一后二”的二重积分中需要用极坐标 先一后二” 积分时， 积分时，我们实际上就在使用柱面坐标计算 三重积分
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例4.4
∫∫∫ ( x + y )dV
2 2 Ω
Ω: x + y ≤ z ≤ 2
2 2
Ω
是一个圆锥体
z=2
z = x2 + y 2
它的投影区域是一个圆域 宜用柱面坐标计算
z = x + y z = 2
2
2
D
D:x + y ≤ 4
2 2
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dσ
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with(plots):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2):
高数 空间曲面讲解
将上述方程展开得
x2
?
y2
?
z2
?
2x0 x
?
2 y0 y ?
2z0z ?
x2 0
?
y2 0
?
z2 0
?
R2
即 x 2 ? y2 ? z2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
其中 a
?
? x0
,b ?
? y0
,c ?
? z0
,d
?
x2 0
?
y2 0
下面考虑母线为平面曲线的情形 ,把曲线所的 平面取作坐标面 ,把旋转轴取作坐标轴 .
设 yoz 面上的一条曲线 L ,其方程为
F (y, z) = 0 x =0
L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面 (如图6.9).
求该旋转面的方程 .
z
设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点 ,将该点旋转
P1(0,y1,z1) P(x, y, z)
建立球心在点 P 0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P( x, y, z) 在球面上 ,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为 : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0)2 ? (z ? z0 )2 ? R 2
若球心在坐标原点 ,则球面方程为 :
所表示的曲面称为 单叶双曲面 .
o
y
它关于三个坐标面对称，关于 x 三个坐标轴和坐标原点都对称 .
称为 准线 .（图 6.1）
z
下面建立柱面方程 .
设有一柱面 , 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于 z轴, 点P(x, y, z)
解析几何版第四章《柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面》课后习题答案
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
x c z y x ==,解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去，得到：x 25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎩⎨⎧==c z yx ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000而在准线上，所以0M ⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去后得到：t 02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
⎩⎨⎧=+=zx z y x 222解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1-任取准线上一点，过的母线方程为：),,(0000z y x M 0M ⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y tx x tz z y y t x x 2200000而在准线上，所以：0M ⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去，得到：t 010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线的圆柱面方程。
211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为0=++z y x ，这三点所定的在平面上的圆的圆心为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--0=++z y x ，圆的方程为：1513,1511,152(0--M ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++075981513(1511(152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
以曲线为准线,母线平行于x=y=z的柱面方程
题目：以曲线为准线，母线平行于 x=y=z 的柱面方程1.概述曲线和几何图形在数学中具有重要的地位，它们在解决实际问题中发挥着重要的作用。
本文将讨论以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程。
2.曲线为准线的柱面方程柱面方程可以用一般式表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，而(x, y, z)为空间中的一点坐标。
3.母线平行于x=y=z的柱面方程当柱面的母线平行于x=y=z时，可以得到以下条件：a) 柱面的母线方向与x=y=z的方向平行，即柱面的母线向量与(1, 1,1)成比例。
b) 母线的平行方向向量是(1, 1, 1)的倍数，因此柱面的方向向量是(λ, λ,λ)，其中λ为任意非零实数。
c) 柱面方程中关于母线方向的项A、B、C相等，且大于0，即A=B=C>0。
d) 由于母线位于柱面上，故柱面的点满足以下条件：与柱面上的一点P(x0, y0, z0)及其上的切向量N(xn, yn, zn)方程为xn(x-x0) + yn(y-y0) + zn(z-z0) = 0则得到的柱面方程为：A(x-x0)^2 + B(y-y0)^2 + C(z-z0)^2 = 04.以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程现在考虑以曲线为准线，母线平行于x=y=z的情况。
设曲线方程为φ(u)=(f(u), g(u), h(u))，则柱面的方程可以表示为：A(f(u)-x0)^2 + B(g(u)-y0)^2 + C(h(u)-z0)^2 = 0其中(u, v)为曲线上的点坐标，(x0, y0, z0)为柱面上的一点坐标。
5.结论根据以上推导，以曲线为准线，母线平行于x=y=z的柱面方程可以表示为柱面的方向向量与(1, 1, 1)成比例，且柱面方程中关于母线方向的项A、B、C相等，且大于0。
柱面坐标方程
柱面坐标方程
在数学中，柱面坐标方程是描述空间中柱面的一种数学方法。
柱面是一种表面，其形状类似于一个圆柱体，但不一定是封闭的。
柱面坐标系由径向和极角两个参数组成，通常用符号$(r,\\theta,z)$表示。
其中r表示到柱面表面上的点的极径，
$\\theta$表示点相对于柱面的主轴的极角，z表示点在柱面主轴上的高度。
在三维直角坐标系中，柱面坐标系与笛卡尔坐标系的关系可以通过下面的公式
进行转换：
$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$
$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$
z=z
柱面坐标方程通常表示为$r = f(\\theta,z)$的形式，其中f是某种函数。
通过柱
面坐标方程，我们可以描述空间中各种复杂的柱面形状和表面。
柱面坐标系在物理学和工程领域中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，柱面
坐标系可以用来描述行星轨道的形状。
在工程学中，柱面坐标系常用于描述圆柱形物体的表面。
总之，柱面坐标方程是一种描述空间中柱面形状的重要数学工具，通过柱面坐
标系可以更方便地描述和分析复杂的柱面结构。
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§3 柱面方程与柱面坐标
一 母线平行于坐标轴的柱面方程
1 定义：一动直线l 在运动过程中，总是平行于一定方向V 。
，且总与一曲线c 相
交，则l 的运动轨迹称为柱面，其中V 。
——柱面的方向，c ——柱面的准线，l 的任一位置——柱面的母线。
2 方程及特征：
定理：在空间坐标系下，三元方程F （x,y,z ）=0为一母线，平行于z 轴的柱面
的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y 的二元方程f （x,y ）=0
证： “═〉”设三元方程F （x,y,z ）为一母线平行于z 轴的柱面Σ的方程，
则Σ与y x 面的交线c ：⎩⎨⎧==00),,(z z y x F 〈═〉⎩
⎨⎧==00),(z y x f 其中f （x,y ）≡F （x,y,0），可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 点的坐标
满足f （x,y ）=0， ∴f （x,y ）=0是Σ的方程，从而F （x,y,z ）=0与 f （x,y ）=0同解。
“〈═”若F （x,y,z ）=0同解于f （x,y ）=0，记以c ：⎩⎨⎧==0
0),(z y x f 为准
线，母线平行于z 轴的柱面为Σ，可以证明M （x,y,z ）∈Σ〈═〉M 的坐标满足f （x,y ）=0
∴f （x,y ）=0表示柱面Σ，从而F （x,y,z ）=0亦表示柱面Σ
例：在直角坐标系下，圆柱面222R y x =+，双曲柱面122
22=-b y a x ，平面1=+z y 和抛物柱面)0(22>=p px y 的图形如下：
(图2.4)
(图2.5)
(图2.6) (图2.7)
二 柱面坐标：
1 圆柱面的参数方程：
设圆柱面Σ的中心轴重合于z 轴，半径=R
对∀P ∈Σ，记P 在x.y 面上的投影为P ′
θ=∠（i ，OP ′），则 r= OP = P O ' + P P ' = Rcos θi+Rsin θj+uk ————矢量式参数方程
而⎪⎩
⎪⎨⎧===u z R y R x θθsin cos 0≦θ<2π,∣u ∣<∞——————坐标式参数方程
2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对∀M （x,y,z ），设其到z 轴的距离为ρ，则
M 落在以z 轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而∃θ，u ，使
⎪⎩
⎪⎨⎧===u z y x θρθρsin cos （*）
反之，对∀给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u （∣u ∣<∞）,依据（*）式
也可确定空间中一点M （x,y,z ），称有序三数组ρ，θ，u 为M 点的柱面坐标，
记作M （ρ，θ，u ）
注：1°空间中的点与其柱面坐标并非一一对应
2°曲柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱面坐标,则需按下
式进行. ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+=+=z u y x y y x x y x 22222
2sin ,cos θθρ。