(完整版)基础随机变量及其分布知识点,推荐文档
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第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
五、二项分布
一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次
试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1, 2,, n
(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
四、n 次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中，记 Ai 是“第i 次试验的结果”，显然，
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
99.7%
x
x
x
2σ
4σ
6σ
练习：
1.正态分布有两个参数 与 ，( )相应的正态曲线的形状越扁 平。 A． 越大 B． 越小 C． 越大 D． 越小
2．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布 (100,36) ，那么
考试成绩在区间 88,112内的概率是
A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．9974
曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以 x 轴为渐近线Hale Waihona Puke Baidu向它无限靠近．
(5)μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定． σ 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ 越小，曲线越“高”，总体分布越集中；
3．3σ 原则： 对于正态总体 N (, 2 ) 取值的概率：
68.3%
95.4%
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
（1） Pi ≥ 0,i 1, 2,, n （2） p1 p2 pn 1
常见的两种分布：
1．两点分布
如果随机变量 X 的分布列为
X01
P 1-p p 则称 X 服从两点分布，并称 p=P(X=1) 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，
随机变量及其分布
一、离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1, x2 ,, xi ,, xn ，X 取每一 个值 xi (i 1, 2,, n) 的概率 P( X xi ) pi ，则称以下表格
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列.
X0
1…k…n
P
Cn0 p0qn
… … Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
Cnn pnq0
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n, p) ，并称 p 为成功概率.
六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量 X 的概率分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn 则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为 X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平 均水平. 1．若Y aX b ，其中 a，b 为常数，则 Y 也是变量
.
1．若 X 服从两点分布，则 D(X ) p(1 p) 2．若 X ~ B(n, p) ，则 D(X ) np(1 p) 3． D(aX b) a2D( X )
X
.
8、正态分布
1.正态分布一般记为 N(μ，σ2)． μ 为正态分布的均值； σ 是正态分布的标准差
2．结合正态曲线，归纳其以下性质： (1)曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交． (2)曲线关于直线 x＝μ 对称． (3)当 x＝μ 时，曲线位于最高点． (4)当 x＜μ 时，曲线上升(增函数)；当 x＞μ 时，
注：超几何分布的模型是不放回抽样
二、条件概率
一般地，设
A,B
为两个事件,且
P( A)
0
,称
P(B
|
A)
P( AB) P( A)
为在事件
A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. 0 ≤≤P(B | A) 1
三、相互独立事件 设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响
七、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量 x 的概率分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称D为X随机(x变1 量E的( X方))差2 p1 (x2 E( X ))2 p2 (xn E( X ))2 pn
并称为D随X机变量的标准X 差
(即 P( AB) P( A)P(B) ),则称事件 A 与事件 B 相互独立。 即A、相B互独立 P( AB) P( A)P(B)
一般地，如果事件 A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P( A1A2...An ) P( A1)P( A2 )...P( An ) . 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
Y ax1b
ax 2 b … axi b … ax n b
P p1
p2 … pi … pn
则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE( X ) b
2．一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么
E( X )=1 p 0 (1 p) p
即若 X 服从两点分布，则 E(X ) p 3．若 X ~ B(n, p) ，则 E(X ) np
则事件X k发生的概率为：
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
, k 0,1, 2,3,..., m
则随机变量 X 的概率分布列如下：
X
0
1
…
P
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
m
C C m nm M NM CNn
其中m且 minM , n, n N, M N, n, M , N N * 。
3．若 x～N(0,1), 求 P(x>2). P(x<-1)．
五、二项分布
一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次
试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1, 2,, n
(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
四、n 次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中，记 Ai 是“第i 次试验的结果”，显然，
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 ) P( An )
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
99.7%
x
x
x
2σ
4σ
6σ
练习：
1.正态分布有两个参数 与 ，( )相应的正态曲线的形状越扁 平。 A． 越大 B． 越小 C． 越大 D． 越小
2．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布 (100,36) ，那么
考试成绩在区间 88,112内的概率是
A．0．6826 B．0．3174 C．0．9544 D．0．9974
曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸 时，以 x 轴为渐近线Hale Waihona Puke Baidu向它无限靠近．
(5)μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定． σ 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ 越小，曲线越“高”，总体分布越集中；
3．3σ 原则： 对于正态总体 N (, 2 ) 取值的概率：
68.3%
95.4%
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
（1） Pi ≥ 0,i 1, 2,, n （2） p1 p2 pn 1
常见的两种分布：
1．两点分布
如果随机变量 X 的分布列为
X01
P 1-p p 则称 X 服从两点分布，并称 p=P(X=1) 为成功概率. 2．超几何分布 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，
随机变量及其分布
一、离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1, x2 ,, xi ,, xn ，X 取每一 个值 xi (i 1, 2,, n) 的概率 P( X xi ) pi ，则称以下表格
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列.
X0
1…k…n
P
Cn0 p0qn
… … Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
Cnn pnq0
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n, p) ，并称 p 为成功概率.
六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量 X 的概率分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn 则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为 X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平 均水平. 1．若Y aX b ，其中 a，b 为常数，则 Y 也是变量
.
1．若 X 服从两点分布，则 D(X ) p(1 p) 2．若 X ~ B(n, p) ，则 D(X ) np(1 p) 3． D(aX b) a2D( X )
X
.
8、正态分布
1.正态分布一般记为 N(μ，σ2)． μ 为正态分布的均值； σ 是正态分布的标准差
2．结合正态曲线，归纳其以下性质： (1)曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交． (2)曲线关于直线 x＝μ 对称． (3)当 x＝μ 时，曲线位于最高点． (4)当 x＜μ 时，曲线上升(增函数)；当 x＞μ 时，
注：超几何分布的模型是不放回抽样
二、条件概率
一般地，设
A,B
为两个事件,且
P( A)
0
,称
P(B
|
A)
P( AB) P( A)
为在事件
A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. 0 ≤≤P(B | A) 1
三、相互独立事件 设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响
七、离散型随机变量取值的方差和标准差
一般地,若离散型随机变量 x 的概率分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称D为X随机(x变1 量E的( X方))差2 p1 (x2 E( X ))2 p2 (xn E( X ))2 pn
并称为D随X机变量的标准X 差
(即 P( AB) P( A)P(B) ),则称事件 A 与事件 B 相互独立。 即A、相B互独立 P( AB) P( A)P(B)
一般地，如果事件 A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P( A1A2...An ) P( A1)P( A2 )...P( An ) . 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
Y ax1b
ax 2 b … axi b … ax n b
P p1
p2 … pi … pn
则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE( X ) b
2．一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么
E( X )=1 p 0 (1 p) p
即若 X 服从两点分布，则 E(X ) p 3．若 X ~ B(n, p) ，则 E(X ) np
则事件X k发生的概率为：
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
, k 0,1, 2,3,..., m
则随机变量 X 的概率分布列如下：
X
0
1
…
P
C C 0 n0 M NM CNn
C C 1 n1 M NM CNn
…
m
C C m nm M NM CNn
其中m且 minM , n, n N, M N, n, M , N N * 。
3．若 x～N(0,1), 求 P(x>2). P(x<-1)．