高二数学诱导公式PPT教学课件
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高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
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02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
5.3 诱导公式 课件(34张PPT)(2024年)
所以 x4 x1 , y4 y1.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
高中数学三角函数的诱导公式微课PPT课件
02
诱导公式推导与理解
周期性及对称性质
周期性
三角函数具有周期性，即函数值 在一定周期内重复出现。正弦函 数和余弦函数的周期为$2pi$，正 切函数的周期为$pi$。
对称性质
正弦函数和余弦函数具有轴对称 和中心对称性。正弦函数关于原 点对称，余弦函数关于$y$轴对称 。正切函数具有周期性对称。
奇偶性质
本题主要考察三角方程与 不等式的求解方法。通过 诱导公式和同角三角函数 关系式，我们可以将方程 转化为更简单的形式进行 求解。
求不等式 sin^2x - 3sinx + 2 < 0 的解集。
本题主要考察三角函数不 等式的求解方法。通过诱 导公式和因式分解等方法 ，我们可以将不等式转化 为更简单的形式进行求解 。
弧度。
角度与弧度的转换公式
03
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
任意角三角函数定义
正弦函数sinx
正切函数tanx
在直角三角形中，任意锐角的对边与 斜边的比值。
在直角三角形中，任意锐角的对边与 邻边的比值。
余弦函数cosx
在直角三角形中，任意锐角的邻边与 斜边的比值。
三角函数性质与图像
05
课堂小结与拓展延伸
总结本节课所学知识点和技能点
掌握了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等；
学习了三角函数的诱导公式，包括和差化积、积化和差、倍角公式等，能够灵活运 用这些公式进行三角函数的化简和计算；
通过例题和练习，提高了分析问题和解决问题的能力，培养了数学思维和逻辑推理 能力。
强调诱导公式在解题中的重要性
诱导公式是三角函数中的重要内 容，它可以将复杂的三角函数式 化简为简单的形式，从而方便求
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
高中数学三角函数诱导公式ppt课件
单调性
正弦函数和余弦函数在 $[0, pi]$和$[0, 2pi]$上单 调性不同；正切函数在$(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 上单调递增。
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
诱导公式
通过加减周期的整数倍，将任意角度 的三角函数转化为基本角度的三角函 数，实现角度的标准化。
典型例题解析
例题1
求sin(150°)的值。
01
解析
02 利用诱导公式，将150°转化为
30°，即 sin(150°)=sin(30°)=1/2。
例题2
求cos(-420°)的值。
03
解析
利用周期性质，将-420°转化 为60°，即cos(420°)=cos(60°)=1/2。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
例题2
化简表达式(sinα
+
cosα)/(sinα - cosα)。
例题3
证明恒等式(1 + sinα + cosα)/(1 + sinα - cosα) = (1 + cosα)/sinα。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
《诱导公式》PPT教学课件(第1课时诱导公式二、三、四)
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34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
20
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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12
4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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合作探究 提素养
34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
20
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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12
4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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3.2.3诱导公式_课件-湘教版必修2PPT
6π＝－
3 2.
法二 cos －361π＝cos －6π＋56π
＝cos
π－π6＝－cos
6π＝－
3 2.
(3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
•规律方法 此问题为已知角求值，主要是利用 诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三 角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三 角函数化为正角的三角函数．
跟踪演练1 求sin 2nπ＋23π·cos nπ＋43π的值(n∈Z)．
解
Байду номын сангаас
①当n为奇数时，原式＝sin
23π·－cos
4 3π
＝sin π－π3·－cos π＋3π
＝sin
π 3·cos
3π＝
23×12＝
3 4.
②当n为偶数时，原式＝sin
2 3π·cos
4 3π
＝sin π－π3·cos π＋π3
＝－
1－－132＝－2
3
2 .
∴sin (105°＋α)＝sin 180°＋α－75°
＝－sin
(α－75°)＝2
2 3.
•规律方法 解答这类给值求值的问题，第一应 把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的 特点，视察所给值的式子与被求式的特点，找 出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系， 恰当地选择诱导公式．
解
sin (1)原式＝cos
2π－α 2π－α·sin
－αcos
－α
cos π－αsin π－α
＝－cossinαα－－csoisnααscinosαα＝－csoins αα＝－tan α.
高二数学诱导公式1精选教学PPT课件
f ( 2k ) f ( )(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º ~360º 之间角的正弦、余弦、正切
公式（二）:
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
y P(x,y)
x O - P'( x,-y)
=－1.
例4．已知cos(π+α)= sin(2π－α)的值是（
1 ， 2
3 <α<2π，则 2
）． A
(A)
3 (C)－ 2
3 2
1 (B) 2
(D)± 3 2
练习：
1．求下式的值：
2sin(－1110º ) －sin960º +
提示：
)+cos(－210º ) 2cos(－225º
原式=2sin(－30º )+sin60º － 2 cos45 cos30 答案：－2.
诱导公式（一）
在直角坐标系中，α与α+2kπ (k∈Z)的 终边相同，由三角函数的定义，它们的三角 函数值相等，
公式（一） cos( k 2 ) cos
sin( k 2 ) sin tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
=－sin 4
2 2
例2．求下列各式的值：
4 （1）sin( )；(2)cos(－60º )－sin(－210º ). 3 4 解：（1）sin(－ 3 ) =－sin(π+ ) 3 3 =sin = 2 3
（2）原式=cos60º +sin(180º +30º ) =cos60º －sin30º 1 1 = 0 2 2
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p(x,y） -1
y
1 180°+α
α o
1
x
p'(-x,-y） -1
sinα= y cosα= x sin(180°+α)= -y cos(180°+α)=
-x
因此 sin(180°+α)= - sinα
cos(180°+α)= - cosα
又根据同角三角函数间的基本关系式，有
ta1n8(0)csio1 1 ns8 8(( 0 0 )) csio nstan co1t8(0)csio1 1 ns8 8(( 0 0 )) csio nscot
3、形如180°-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 利用公式三和公式五，可以推出，当α为任意角时：
sin(180°-α)= sin〔180°+（-α)〕= -sin(-α)=sinα cos(180°-α)= cos〔180°+（-α)〕= -cos(-α)= -cosα tan(180°-α)= tan〔180°+（-α)〕= tan(-α)= -tanα cot(180°-α)= cot〔180°+（-α)〕= cot(-α)= -cotα
于是我们得到一组公式（公式二）
sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)= -cosα tan(180°-α)= -tanα cot(180°-α)= -cotα
4、形如360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的 关系 利用公式一和公式五，自己推出：
于是我们得到一组公式（公式四）
§5.5.4 诱导公式
一、复习：终边相同的角的三角函数的值相等
（公式一） sin(k.360°+α)=sinα cos(k.360°+α)=cosα tan(k.360°+α)=tgα cot(k.360°+α)=ctgα (k∈α)
二、学习目的：
在初中求 0°—— 90°间角的三角函数值，可以 通过查表；利用公式一，可以把求任意角的三角函数 值转化为求0°—— 360°间的角的三角函数值。
为使讨论具有一般性，这里假定α为任意角。
下面依次讨论180°+α ， -α ，180°- α， 360°-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
1、形如180°+α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
单位圆：以原点为圆心，等于单位 长的线段为半径作一个圆
已知任意角α的终边与这个圆相 交与点p(x,y），由于角 180°+α 的终边就是角α的终 边的反向延长线，角180°+α 的终边与单位圆的交点p‘(-x,-y) ，又因单位圆的半径 r=1，由 正弦线和余弦线的定义得到：
cos(90°+α)= -sinα cot(90°+α)= -tanα
公式八 sin(270°-α)= -cosα tan(270°-α)= cotα
cos(270°-α)= -sinα cot(270°-α)= tanα
公式九 sin(270°+α)= -cosα cos(270°+α)= sinα tan(270°+α)= -cotα cot(270°+α)= -tanα
因此，如果能把求90° ——360°间的角的三角函 数值转化为求0°—— 90°间的角的三角函数值，那 么就可以求任意角的三角函数值了。
三、角度之间的关系
对于90°—360°的角，可用下面的形式来表示：
设0°≤α≤ 90°，那么 90°— 180°间的角，可以写成180°- α 或90°+α 180°— 270°间的角，可以写成180°+α 或270°-α 270°— 360°间的角，可以写成360°- α 或-α或 270°+α
sinα = y cosα = x
y
1
p(x,y）
-1 M α o
1
-α
x
p'(x,-y） -1
sin(-α)= -y cos(-α) = x
因此 sin(-α)= - sinα cos(-α)= cosα
于是我们得到一组公式（公式五） sin(-α)= -sinα cos(-α)=cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
sin(360°-α)= -si-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式：
公式一 sin(k.360°+α)= sinα cos(k.360°+α)= cosα tan(k.360°+α)= tanα cot(k.360°+α)= cotα
于是我们得到一组公式（公式三）
sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα
2、形如-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
任意角α的终边与这个圆相交与 点p(x,y），角-α 的终边与单 位圆的交点p‘(x,-y)，又因单位 圆的半径 r=1，由正弦线和余 弦线的定义得到：
α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐 角时原函数值的符号
除公式一、二、三、四、五外，还有诱导公式六、七、八、九：
公式六 sin(90°-α)= cosα tan(90°-α)= cotα
cos(90°-α)= sinα cot90°-α)= tanα
sin(90°+α)= cosα 公式七 tan(90°+α)= -cotα
sin(360°-α)= -sinα cos(360°-α)= cosα 公式四 tan(360°-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
公式五 sin(-α)= -sinα tan(-α)= -tanα
cos(-α)= cosα cot(-α)= -cotα
概括为：k 360°+α（k∈Z），180° -α。180°+α，360°-α，-
公式二 sin((1k8∈0°α)-α)= sinα cos(180°-α)= -cosα tan(180°-α)=-tanα cot(180°-α)= -cotα
公式三 sin(180°+α)= -sinα tan(180°+α)= tanα
cos(180°+α)=-cosα cot(180°+α)=cotα