全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
延长AD 到E,使DE=AD,
则三角形ADC 全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=5
2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12
CD AB
3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2
证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所
以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF。

又因为 ∠ABC=∠AED。

所以 ∠ABE=∠AEB。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

B
A
D
B
C
C
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC
证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC
5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C
证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，
∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF
所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE
12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,
则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.
C
D
B A
B
A C
D
F
2 1 E
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C
AB//ED,AE//BD 推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F
14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD<BC 时，E 点是
射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。

所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.
15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB 作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB
16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE ∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F
因为，∠1 =∠2，BE⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=CFAC-A
B=AC-AF=CF=BF=2BE
17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC
作AG∥BD 交DE 延长线于G
AGE 全等BDE AG=BD=5AGF∽CDF
AF=AG=5 所以DC=CF=2
18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．
D
C
B A F E A B
C
D P D A
C
B F
A
E D
C B
延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC;
三角形ABD 全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC
19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．
求证：∠OAB =∠OBA
因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA
20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交
AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．
证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，
又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE⊥BF，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF 与三角形BEC
为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B
证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，
AD=AD ∴△ADE≌△ADC 。

DE=CD ，∠AED=∠C∵AB=AC+CD ，
∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B
P
E
D
C B
A
D
C
B
A
22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解：（1）连接BE ，DF ．∵DE⊥AC 于E ，BF⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC 和Rt△BFA 中，∵AF=CE，AB=CD ，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF ； （2）连接BE ，DF ．∵DE⊥AC 于E ，BF⊥AC 于F ，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC 和Rt△BFA 中，∵AF=CE，AB=CD ，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF 是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF ． 23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相
等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： (1)DC∥AE，且DC=AE ，所以四边形AECD 是平行四边形。

于是知AD=EC ，且∠EAD=∠BEC。

由AE=BE ，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD 都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE O
E
D C B
A
F
E D
C
B
A
25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM∴AM 是△ABC 的中线.
27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。

求证：BD ⊥AC 。

三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角ADB 和角CDB 相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD 垂直AC
28、（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中AB=ACBD=DCAD=AD
∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与
△FDC 中
BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD∴BF=FC 29、（12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE 。

因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB
∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.
证：∵AB 平行CD （已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME 和△CMF 中 BE=CF
M
F
E
C
B
A
F
E D
C
B
A
D
C
B
A F
D
C
B
A
F
E D C B A
（已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF（SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E，M ，F 在同一直线上
31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE∥DF，BE ＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．
证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF ∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS ）
32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF 得AE=AF
33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6
34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE ，BC 平行EF 所以角A+角EDF ，角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等
35．已知：如图，AB =AC ，BD
AC ，CE AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：
BE =CD ．
证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD
D
B
C
A F
E
654
32
1E D
C
B
A
A
C B D
E
F
36、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF
37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的
长？
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=5
38．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC 证明∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形∴∠B=∠C 又∵ME=MF，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM∴MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：
已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD ，在四边形ADBC 中，连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。

即：在四边形ABCD 中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC 因为
∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C ，∠A=∠B ，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB ︒=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E 1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；
A
E
B F
D
C
B E
C
M
F E A B
C Ｄ Ｅ
若不成立，说明理由.
（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN 于D ，BE⊥MN 于E ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC 和Rt△CEB 中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS ），∴AD=CE，DC=BE ，∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS ），∴AD=CE，DC=BE ，∴DE=CE -CD=AD-BE ； 41．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF （1）证明;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角
EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC 和三角形FAB
全等所以EC=BF 角ECA=角F
（2）(2)延长FB 与EC 的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF 因为角CAF=90度所以EC 垂直BF 42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 连接BF 、CE ，
证明△ABF 全等于△DEC（SAS ），
然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC 平行于EF
F B
C A M N
E 1
23
4A E B M C F
44．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN BE 为公共边, 所以三角形EBN 全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
证明：∵AD 是中线∴BD=CD∵DF=DE，
∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
46、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC 和Rt△BFA 中，DE=BF ，AB=CD ，∴Rt△DEC≌Rt△BFA ，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
【待定】
48、 (10分)如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：CE>DE 。

当∠AEB 越小，则DE 越小。

证明：过D
作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB 由已知条件知AFDE
为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且△DFB 为等腰三角形。

RT△BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中
∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中，A C E
D
B A D E
C
B
F .
342
1D
C B A
∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB
A
D 在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
B E C
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=
∠DCG=45°∵∠ACB=90°
AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠A
CF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵ AC=CB ∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE
∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE A B
C
D
E
F
图9。