辅助圆——重要的辅助线

辅助圆——不太熟悉但很重要的辅助线
添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．
一、根据圆的定义作辅助圆
例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．
E D C
B
A
解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D三点在⊙A上．延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为
DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD＝．
例2 如图，PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．
E
C
D
B
A
P
解析：以点P 为圆心、P Ｂ为半径的作⊙P ．因为PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，所以点Ａ、B 、C 在⊙P 上．此时⊙P 的直径BE ＝10，DE ＝8，DB ＝2，由相交弦定理，得AD·DC ＝DE·DB ＝８×２＝16
二、作三角形的外接圆
例3 如图，D 、E 为△ABC 边BC 上的两点，且BD=CE ，∠BAD=∠CAE ，求证：AB=AC ．
N M O
E
D
C
B
解析：作△ADE 的外接圆，分别交AB 、AC 于点M 、N ，连结MD 、NE ． 因为∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE+∠DAE ，即∠NAD ＝∠MAE ．因为∠BDM ＝∠MAE ，∠CEN ＝∠NAD ，所以∠BDM ＝∠CEN ．
又BD ＝CE ，DM ＝EN ，所以△BDM ≌△CEN ，所以∠B ＝∠C ，即AB ＝AC ．
例4 如图，△ABC 中，BF 、CE 交于点D ，BD ＝CD ，∠BDE ＝∠A ，求证：BE ＝CF ．
解析：作△ABC 的外接⊙O ，延长CE 交⊙O 于G ，连接BG ．
因为∠G ＝∠A ，∠BDE ＝∠A ，所以∠G ＝∠BDE ，所以BG=BD ．又BD ＝CD ，所以BG ＝CD.
又因为∠G ＝∠CDF ，∠GBE ＝∠DCF ，所以△GBE ≌△DCF ． 所以BE ＝CF ．
例 5 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：BC ＝BD ＋AD ．
C
解析：作△ABD 的外接圆交BC 于E ，连结DE ．
因为BD 是∠ABC 的平分线，所以弧AD ＝弧DE ，所以AD ＝DE ． 在△BDE 中，∠DBE ＝20°，∠BED ＝180°―100°＝80°，所以∠BDE ＝80°， 所以BE ＝BD ．
在△DEC 中，∠EDC ＝80°―40°＝40°，所以EC ＝DE ． 所以BC ＝BE ＋EC ＝BD ＋AD ．
三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆
例 6 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，D 是边BC 上的一点，且A Ｄ＝１，求BD·DC 的值．
解析：以点A 为圆心、AB 为半径作
⊙A ，交直线AD 于点E 、F ，则点C 在⊙A 上，DE ＝13-，DF ＝13+．
由相交弦定理，
得BD·DC ＝DE·DF ＝)13)(13(+-＝2．
例7 如图，在△ABC 中，∠DAB ＝∠C ，∠B 的平分线BN 交AD 于M ．求证：（1）AM ＝AN ；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN ．
F
E
N
M
C
B
A
解析：（1）略；（2）由（1），得AM＝AN．以点A为圆心、AM为半径作⊙A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在⊙A 上，且AE＝AF＝AN．由割线定理，得
BM·BN＝BE·BF＝(AB－AE)(AB＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，即AB 2－AN 2＝BM·BN．
四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆
例8 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？
解析：以AD为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O与直线BC 有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．因为⊙O的半径
r＝
2
2
c
AD
=，圆心O到直线BC的距离d＝
2
2
b
a
DC
AB+
=
+
．所以，当d≤r，即a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．
例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

解析：经过A 、B 、C 三点作⊙M ，设⊙M 的半径为R ，由正弦定理，得
R
R AB ACB 26
2sin =
=
∠． 由此可见，当R 取得最小值时，∠ACB 取得最大值．而当点⊙M 与x 轴的相切于点C 时，R 取得最小值．
根据切割线定理，得OC 2＝OB·OA ，所以OC ＝4． 故当点C 的坐标为 (4，0)时，∠ACB 取得最大值．
例10 已知Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是边AB 上的动点，Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ ＝90°，求线段CQ 的取值范围． O
Q
P
C
B
A
解析：以CQ 为直径作⊙O ，根据直径所对的圆周角是直角，若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ 就为直角．
当⊙O 与AB 相切时，直径CQ 最小．由切线长定理，得AP ＝AC ＝5，所以BP ＝13―5＝8．再根据切割线定理，得BP 2＝BQ·BC ，所以 BQ ＝
3
16
，CQ ＝3
20． 当点Q 与点B 重合时，直径CQ 最大，此时ＣＱ＝１２． 综上所述，
3
20
≤CQ≤12．
五、四点共圆
判断四点共圆的常用方法有（1）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（2）同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆．判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题．
例11如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE．
F
解析：连接DB、DF．因为∠CBF＝45°，∠DBC＝45°，所以∠DBF＝90°．又∠DEF＝90°，所以D、E、B、F四点共圆，所以∠DFE＝∠DBE＝45°，所以FE＝DE．
例12如图等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点．
R
解析：连接PM、AM、DM，因为M是QR的中点，所以∠PMQ＝90°．又∠PAQ＝90°，所以A、Q、M、P四点共圆，所以∠MAP＝∠MQP＝60°．同理，∠MDP＝60°．所以△MAD是等边三角形，即点M为不动点．
例13 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14，求PB的长．
C
B
解析：连接OA、OB．因为∠OPB＝∠OAB＝45°，所以A、B、O、P四点共圆，所以∠APB＝∠AOB＝90°．
在Rt△APB中，设PA＝5x，PB＝14x，根据勾股定理，得(5x)2＋(14x)2＝
1989，解得x＝3，所以PB＝42．。