可降阶的二阶微分方程55575
微积分第二版课件第三节可降阶的二阶微分方程
例 求微分方程y'' 1 y' xex的通解. x
解 设y' p，则y'' p，代入原方程，得 一阶线性微分方程 p 1 p xex 由通解公式得
x
p
e
(
1 x
)dx
[
xe
x
e
(
1 x
)dx
dx
C'1]
eln x[ xe x eln xdx C'1]
分方程，求解一阶微分方程可得通解. 过程如下：
（1）做变换 y' p, 则y'' dp dy p dp dy dx dy
代入原方程，得y 的一阶微分方程
p dp f ( y, p)， dy
（2）求此一阶微分方程，得通解 p ( y,C1)
（3）将 y' p 回代得一阶微分方程 y ( y,C1)
（4）求解微分方程 y ( y,C1)
微分方程两端分离变量
dy dx
( y,C1)
方程两端积分，得通解
(
dy y, C1 )
x
C2
例 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP ,
dy
代入原方程得 y P dP P2 0, 即 P( y dP P) 0,
第三节 可降阶的微分方程
一、y(n) f (x) 型微分方程 方程特征：方程左侧为未知函数的n 阶导数 y(n) 方程右侧为变量x 的函数 f (x) . 方程解法：方程两端直接依次积分 n 次. 即 原方程 y(n) f (x) 方程两端积分一次, 得 y(n1) f (x)dx C1
方程两端再积分一次, 得 y(n2) f (x)dx C1 C2
7.5 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程 y f (x, y)型的微分方程 y f (y, y)型的微分方程
型的 y(n) f (x) 微分方程
y(n) f (x)
dyn1 f x
dx
yn1 f (x)dx C1
例 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 满足初值条件 y x0 1 ，
y x0 3 的特解.
解 设 y p , 则 y dp p ,
dx
dp p
2x 1 x2
dx
p y 3(1 x2 )
p |x0 y x0 3
y 1 x0
，0
t
T
型的 y f (x, y) 微分方程
方程 y f (x, y) 的右端不显含未知函数 y 令 y p , 则 y dp p , dx
p f (x, p)
设通解为 p y (x, C1) ，
y (x, C1)dx C2
两端积分并化简,得 p y C1 y
再分离变量并两端积分，得原方程的通解为 y C2eC1x
例 求微分方程 yy 2( y2 y) 满足初值条件 y |x0 1 ，
y |x0 2 的特解.
解 令 y p ，则 y p dp . 在 y 0 , p 0 时,
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3
C1
C 2
例 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设
力 F F t 在开始时刻 t 0 时 F (0) F0 ，随着时间 t 的增
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
可降阶的二阶微分方程
代入方程，得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p dp f ( y, p)
dy
这是关于y, p的一阶微分方程，设它的通解为
则原方程的通解为 y' p (x,C1)
分离变量并积分,便可得方程的通解为
y
dy
( y,C1)
x
C2
例1.3 求 yy'' y' 2 0 的通解，并满足初始条件y|x=0=1, y′|x=0=2的特解.
当y≠0, p≠0时, 积分得
dp dx py p C1 y
再分离变量后积分，得通解为
y C2eC1x 利用初始条件y|x=0=1, y′|x=0=2可得C1=2, C2=1 故所求特解为
y e2x
高等数学
dx
C
eln
x
xex
1 x
dx
C
xe x
Cx
即
dy x ex C
dx
所以原方程的通解为
y
xex Cx
dx
xex
ex
C1 2
x2
C2
xex ex C1x2 C2
例1.2 求微分方程 y'' 3y' 2 0 满足初始条件y|x=0=0, y′|x=0=-1 的特解.
高等数学
可降阶的二阶微分方程
定义1.1 二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程. 其中最简单的阶微分方程为 y(n) f (x)
对方程两边逐次积分,得 y(n1) f (x)dx C1
y(n2)
f
(
x)dx
C1
dx
C2
……
连续积分n次后,得到其通解y的表达式(其中含n个任意独立常数.
可降阶的二阶微分方程
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例７.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
锗考溶倦肮评令赡算亢镰锨诽狈牛风月奈禁修践鄂群自柬秀渭禹育朝全狐可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
金啄辜八落底斋幢业齐趋妊腿意彤校隅菠疾践糠晤股源肉茅娄秩雇暑谰炭可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
佐古拖蕾氯官保站拆言痉已掐护杯角逾格蘑傲磐沉杯湛葛汐郁告充宴纺评可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
诧塘些啸邢磅堆蒙秉巡蕉宁锰想坊弹早撼镭墨辩黄泳钦蛊硕排梆间颐饥矣可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
去分母后两边对 x 求导, 得
又由于
设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
第三节·可降阶的二阶微分方程
dp . dy Substituting into the given equation we obtain dp yp − p 2 = 0, dy that is, Solution
⎛ dp p⎜ y − ⎝ dy
From p = 0, we have
⎞ p⎟ = 0 ⎠
or
dy = 0, so y = C. dx
x=∫
dy + C2 . g ( y , C1 )
8
Differential Equations of Second Order Solvable by Reduced Order Methods
Example 14
Find the general solution of the equation yy′′ − ( y′ )2 = 0. Let y′ = p, then y′′ = p
⎧ p = 0, ⎪ ⎨ y dp − p = 0. ⎪ ⎩ dy
9
Differential Equations of Second Order Solvable by Reduced Order Methods
Example 14
Find the general solution of the equation yy′′ − ( y′ )2 = 0. From the equation y
Solution (continued)
p = C1 y
so that
or
dp − p = 0 we can obtain dy dy = C1 y , dx
y = C 2 e C1 x .
It is easy to see that the solution y = C may be obtained from the general solution by choosing C1 = 0. Therefore, the general solution of the given equation is the one shown in the last equation. Finish.
4-2可降阶的二阶微分方程
微积分
例5、悬链线方程
如下图所示 张力大小为 , 绳索仅受重力作用
4.5
微分方程
, 其线密度为 , A 处 .
H , 沿水平方向 . 试建立悬链线方程
y
T A
a
M ( x, y)
Hox来自返回微积分例6、目标追踪问题
如图 , A 点有一目标沿平行于 从 O 点发射一导弹 若要击中目标 时的位置 .
返回
微积分
四、应用
4.5
微分方程
例4、交通事故勘察
如图 : 若在事故现场测得拖痕 刹车前的车速 长度为 10 m , 试判定
.( 车轮与地面摩擦系数为
)
10 m O
若 1 . 02 , g 9 . 81 m / s
2
x
则 v 0 14 . 15 m / s 50 . 9 km / h
4.5
微分方程
y 轴方向以速度
v 0 前进 ,
, 始终以对准目标
5 v 0 速度飞行 . 目标被击中
, 求导弹运行曲线方程及
y
y y( x )
P( x, y)
Q (1 , v 0 t )
o
y 5 8
4
A (1 ,0 )
x
5 24
返回
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
.
问题： 若 y ( n ) f ( x ), 怎么解 ?
返回
微积分
二、 y f ( x , y ) 型 特点：不显含 y . 解法： （1）换元
令 y p ( x ), 则 y dp dx .
4.5
高等数学 上、下册6_5 可降阶的二阶微分方程
复合函数的求导法则，有
y d p d p . d y p d p , dx dy dx dy
代 入 方 程 （ 3 ）， 得
p d p f ( y, p), dy
这 是 关 于 y, p 的 一 阶 微 分 方 程 .如 果 可 求 得 其 通 解 为
p
( y,C1),即
d d
y x
(y,C1)， 再 分 离 变
dy
当y 0, p 0时，约去p 并分离变量，得
dp dy, py
积分得
p C1y,
即
y C1y.
再分离变量后积分，得通解为
y C2eC1x . 利用初始条件 y |x0 1, y |x0 2, 立刻得到C1 2,C2 1, 故 所求的特解为
y e2x.
当 p=0 时，即 y 0，从而 y C2.这是通解中C1 0的 情形.
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f(x) 逐次积分
2. yf(x,y) 令 yp(x), 则 y d p
dx
3. yf(y,y)
作业
令 yp(y), 则y p dp
dy
P234 1(3), 2(3)
谢谢大家！
量
后
求
积分，便
可 求 得 原 方 程 （ 3） 的 解 .
例 3求 yyy20的 通 解 ， 并 求 满 足 初 始 条 件
y|x 01 ,y|x 02的 特 解 .
解 原方程是不显含自变量x 的方程.
令y p,则y pd p,于是原方程化为 dy
ypd p p2 0, dy
即
p(y d p p2) 0.
3x 1
dy dx . 3x 1
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
第五节可降阶的二阶微分方程
第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示★ ())(x f y n =型★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ ),(y x f y '=''型★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型★ 例8★ 例9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—5★ 返回内容要点：一、 )(x f y =''型在方程)(x f y =''两端积分，得1)(C dx x f y +='⎰ 再次积分，得[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程)()(x f y n =，只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dydp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy +=⎰ϕ例题选讲：)(x f y =''型例1（讲义例1）求方程x ey x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.),(y x f y '=''型例4（讲义例3）求方程02)1(222=-+dx dy x dxy d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y的特解.例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.),(y y f y '=''型例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.课堂练习1. 求方程x y ln ='''的通解.2.求微分方程223y y =''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。
第五节可降阶的二阶微分方程PPT课件
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逐次积分的解法可用于解高阶微分方程
y(n) f (x)
解法: 只要连续积分 n 次即得通解 .
y(n1) f ( x)dx C1,
y(n2) f ( x)dx dx C1,
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二、 程
y f ( x, y)
两端积分,得原方程通解为
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例2
解
代入原方程 x2P xP 1 ,
解线性方程, 得
P
1 (ln x
x
C1 )
即
y
1 (ln x
x
C1 )
两端积分,得原方程通解为
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例4 解 代入原方程 (1 x2 )P xP 0 ,
解线性方程, 得 P C1
即 y C1
1 x2
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C 0 , y P y2 1 ,
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y
dy 2
1
dx
,
dy y2
1
dx
,
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
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四、可降阶二阶微分方程的应用举例
1、 y 3
y
1
0
,
y
x1
1
,
y
x
1
0；
2、 y ay 2 0 , y x0 0 , yx0 1；
3、 y 3 y , y x0 1 , yx0 2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
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定解条件为
y(0 ) 1 , y(0 )1
令 yp(y)则 , y p dp, 方程化为
dy
ypdp p2
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
vyR
2gR(lR) l
tyRR 1 2lg(
lRR2larccRo ) s l
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
m
d2 y d t2
k (l
m
M y)2
o
yt00, y t00 令 v d y ，解方程可得
dt v22kM( 1 1) ly l
两端积分得 t
l 2k M
lyy2larccoyls C 2
利y用 t0l,得C20,因此有
t l ( lyy2larccyo) s
2kM
l
m
d2 y d t2
k
mM y2
,
v 2kM ly ly
y l
R
t l ( lyy2larccyo) s
2kM
l
o
由于 y = R 时 yg,由原方程可得 k g R 2 M
dv dt
dv d y d y dt
v
dv dy
o
代入方程得
vdvkyM2 dy,
积分得
v2
2kM y
C1
利 vt 0 用 y t 0 0 ,y t 0 l,得C1
2kM l
v2 2kM11, 即v 2kM ly
y l
ly
注意“－”号
v d y , dt l
y dy
dt
2kM ly
tan 1 s
a
(其中 aHg)
故有
y
1 a
x
0
1y2 dx
y1 1y2 a
设OA a,则得定解问题:
y
y1a 1y2 yx0a, y x00
悬链线
M
令yp(x),则y d p, 原方程化为 H aAgs
dx
dp
1 p2
1 dx a
ox
A srp hln (p1p2)
两端积分得 Asrhpx aC1,由 yx00得C10,
例７.设函 y(x)(x 数 0)二阶可导, 且 y(x)0, y(0)1,过曲 y线 y(x)上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 S1 , 区间[ 0, x ] 上以 y( x)为曲边的曲边梯形面积
记为 S2, 且 2 S 1S2 1 ,求yy(x)满足的方程 .
( 99
考研
)
解: 因 y (0 )为 1 ,y (x ) 0 ,所y以 (x)0.
设曲 y线 y(x)在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
S1
1y2cot
2
y2 2 y
S2 0xy(t)dt
S2 y
S1
1
P y
ox x
利用 2S1S21,得
y2 y
0xy(t)dt
1
两边对 x 求导, 得 yy(y)2
故所求通解为 yC2eC1x
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2y d t2
k
mM y2
M : 地球质量
l
m : 物体质量
R
yt0l, yt00
设
v
dy, dt
则d2y dt2
y(y,C 1)
分离变量后积分, 得原方程的通解
(dy,yC1) xC2
例４. 求解 yyy20.
解: 设 yp(y),则 y d p d p d y p d p dx d y d x d y
代入方程得 ypdpp2 0, 即 d p dy
dy
py
两端积分得 ln p ln y lC n 1,即 pC1y, y C 1 y (一阶线性齐次方程)
f (x)dx dxC1xC2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1. 求y解 e2xcox.s
解: y e 2 x cx o d x s C 1
12e2xsinxC1
y
1 e2x 4
co xsC1xC2
y
1 8
e2x
sixn
C1x2C2xC3
此处 C112C1
二、 yf(x,y)型的微分方程
设 yp(x),则yp,原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
pf(x,p)
p(x,C 1)
y(x,C 1)
再一次积分, 得原方程的通解
y(x,C 1)dxC 2
(1x2)y2xy
例２. 求解
y x0 1, y x0 3 解: 设 yp(x),则yp,代入方程得
(1x2)p2xp 分离变量
则有
y shxa
两端积分得 yachxaC2,由 yx0a,得C20
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a(exa
x
e a)
a2
三、yf(y,y)型的微分方程
令 yp(y),则 y d p d p d y p d p dx d y dx d y
故方程化为
pdp f (y, p) dy
设其通解为 p(y,C 1),即得
R l
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
例６. 解初值问题 yyxe02y 0,0 y 0 1 解: 令 yp(y),则y pdp, 代入方程得
dy pdpe2ydy
积分得 1 2p21 2e2yC1 利用初始条件, 得C10,根据 py0yx010,得
dy p ey dx 积分得 eyxC 2,再y由 x00,得C21 故所求特解为 1eyx
第六节 可降阶的二阶微分方程
一、 y(n) f(x)型的微分方程 二、 yf(x,y)型的微分方程 三、 yf(y,y)型的微分方程
一、 y(n) f(x)型的微分方程
令 zy(n1), 则dz y(n)f(x),因此 dx
zf(x)dxC 1
即
y(n 1)f(x)dxC 1
同理可得 y (n 2 ) f(x)dxC1d x C 2
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小 gs ( : 密度, s :弧长)
Ags
ox
按静力平衡条件, 有 Tco sH ,Tsin gs
两式相除得
dp p
2 x dx (1 x2)
积分得 ln p l( n 1 x 2 ) ln C 1,即 pC 1(1x2)
利用 y x0 3, 得C13,于是有 y3(1x2)
两端再积分得 yx33xC2 利用 y x0 1, 得C21,因此所求特解为
yx33x1
例３. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受