可降阶的二阶微分方程55575

二、 yf(x,y)型的微分方程
设 yp(x),则yp,原方程化为一阶方程
设其通解为 则得
pf(x,p)
p(x,C 1)
y(x,C 1)
再一次积分, 得原方程的通解
y(x,C 1)dxC 2
(1x2)y2xy
例２. 求解
y x0 1, y x0 3 解: 设 yp(x),则yp,代入方程得
(1x2)p2xp 分离变量
dv dt
dv d y d y dt
v
dv dy
o
代入方程得
vdvkyM2 dy,
积分得
v2
2kM y
C1
利 vt 0 用 y t 0 0 ,y t 0 l,得C1
2kM l
v2 2kM11, 即v 2kM ly
y l
ly
注意“－”号
v d y , dt l
y dy
dt
2kM ly
定解条件为
y(0 ) 1 , y(0 )1
令 yp(y)则 , y p dp, 方程化为
dy
ypdp p2
第六节 可降阶的二阶微分方程
一、 y(n) f(x)型的微分方程 二、 yf(x,y)型的微分方程 三、 yf(y,y)型的微分方程
一、 y(n) f(x)型的微分方程
令 zy(n1), 则dz y(n)f(x),因此 dx
zf(x)dxC 1
即
y(n 1)f(x)dxC 1
同理可得 y (n 2 ) f(x)dxC1d x C 2
两端积分得 t
l 2k M
lyy2larccoyls C 2
利y用 t0l,得C20,因此有
t l ( lyy2larccyo) s
2kM
l
m
d2 y d t2
k
mM y2
,
v 2kM ly ly
y l
R
t l ( lyy2larccyo) s
2kM
l
o
由于 y = R 时 yg,由原方程可得 k g R 2 M
R l
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
例６. 解初值问题 yyxe02y 0,0 y x0 1 解: 令 yp(y),则y pdp, 代入方程得
dy pdpe2ydy
积分得 1 2p21 2e2yC1 利用初始条件, 得C10,根据 py0yx010,得
dy p ey dx 积分得 eyxC 2,再y由 x00,得C21 故所求特解为 1eyx
y(y,C 1)
分离变量后积分, 得原方程的通解
(dy,yC1) xC2
例４. 求解 yyy20.
解: 设 yp(y),则 y d p d p d y p d p dx d y d x d y
代入方程得 ypdpp2 0, 即 d p dy
dy
py
两端积分得 ln p ln y lC n 1,即 pC1y, y C 1 y (一阶线性齐次方程)
tan 1 s
a
(其中 aHg)
故有
y
1 a
x
0
1y2 dx
y1 1y2 a
设OA a,则得定解问题:
y
y1a 1y2 yx0a, y x00
悬链线
M
令yp(x),则y d p, 原方程化为 H aAgs
dx
dp
1 p2
1 dx a
ox
A srp hln (p1p2)
两端积分得 Asrhpx aC1,由 yx00得C10,
dp p
2 x dx (1 x2)
积分得 ln p l( n 1 x 2 ) ln C 1,即 pC 1(1x2)
利用 y x0 3, 得C13,于是有 y3(1x2)
两端再积分得 yx33xC2 利用 y x0 1, 得C21,因此所求特解为
yx33x1
例３. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受
故所求通解为 yC2eC1x
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2y d t2
k
mM y2
M : 地球质量
l
m : 物体质量
R
yt0l, yt00
设
v
dy, dt
则d2y dt2
则有
y shxa
两端积分得 yachxaC2,由 yx0a,得C20
故所求绳索的形状为
y
a ch
x
a(exa
x
e a)
a2
三、yf(y,y)型的微分方程
令 yp(y),则 y d p d p d y p d p dx d y dx d y
故方程化为
pdp f (y, p) dy
设其通解为 p(y,C 1),即得
( 99
考研
)
解: 因 y (0 )为 1 ,y (x ) 0 ,所y以 (x)0.
设曲 y线 y(x)在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
S1
1y2cot
2
y2 2 y
S2 0xy(t)dt
S2 y
S1
1
P y
ox x
利用 2S1S21,得
y2 y
0xy(t)dt
1
两边对 x 求导, 得 yy(y)2
f (x)dx dxC1xC2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1. 求y解 e2xcox.s
解: y e 2 x cx o d x s C 1
12e2xsinxC1
y
来自百度文库
1 e2x 4
co xsC1xC2
y
1 8
e2x
sixn
C1x2C2xC3
此处 C112C1
例７.设函 y(x)(x 数 0)二阶可导, 且 y(x)0, y(0)1,过曲 y线 y(x)上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 S1 , 区间[ 0, x ] 上以 y( x)为曲边的曲边梯形面积
记为 S2, 且 2 S 1S2 1 ,求yy(x)满足的方程 .
重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ?
解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况:
A 点受水平张力 H
y
T
M
M 点受切向张力T
H
弧段重力大小 gs ( : 密度, s :弧长)
Ags
ox
按静力平衡条件, 有 Tco sH ,Tsin gs
两式相除得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
vyR
2gR(lR) l
tyRR 1 2lg(
lRR2larccRo ) s l
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
m
d2 y d t2
k (l
m
M y)2
o
yt00, y t00 令 v d y ，解方程可得
dt v22kM( 1 1) ly l