可降解的二阶微分方程
7.5 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程 y f (x, y)型的微分方程 y f (y, y)型的微分方程
型的 y(n) f (x) 微分方程
y(n) f (x)
dyn1 f x
dx
yn1 f (x)dx C1
例 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 满足初值条件 y x0 1 ，
y x0 3 的特解.
解 设 y p , 则 y dp p ,
dx
dp p
2x 1 x2
dx
p y 3(1 x2 )
p |x0 y x0 3
y 1 x0
，0
t
T
型的 y f (x, y) 微分方程
方程 y f (x, y) 的右端不显含未知函数 y 令 y p , 则 y dp p , dx
p f (x, p)
设通解为 p y (x, C1) ，
y (x, C1)dx C2
两端积分并化简,得 p y C1 y
再分离变量并两端积分，得原方程的通解为 y C2eC1x
例 求微分方程 yy 2( y2 y) 满足初值条件 y |x0 1 ，
y |x0 2 的特解.
解 令 y p ，则 y p dp . 在 y 0 , p 0 时,
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3
C1
C 2
例 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设
力 F F t 在开始时刻 t 0 时 F (0) F0 ，随着时间 t 的增
CH可降阶的二阶微分方程
再次积分，得通解为: y f ( x )dx C1 dx C 2 这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程：
y( n) f ( x )
只要连续积分n次, 就可得到这个方程的含有n个 任意常数的通解.
3
x 例1 求微分方程y e sin 的通解 3 解 对所给方程连续积分两次，得
2x
1 2x x y e 3 cos c1 2 3 1 2x x y e 9 sin c1 x c2 4 3
4
例 求微分方程ye2x－cos x 的通解 解
对所给方程接连积分三次 得
1 y e2x sin x C1 2 1 y e2x cos x C1x C2 4 y 1 e2x sin x 1 C1x 2 C2 x C3 8 2
x x
三、y f ( y , y )型
y p( y ( x )) y p( y ), 解法：把y暂时看作自变量，并作变换：
特点：不显含自变量x.
问题：是否有
y p ？代入原式得 p f ( y, p ) ？
d y y dx y p y pp dp p dy
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 .
解
( 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
1 2 S1 y cot 2
S 2 y (t ) d t
0
x
S2 y P S1 1 y o x x
20
设它的通解为： y p ( y , C1 ),
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
二阶微分方程及其模型
通解结构 y Y y ,
常见类型 Pm ( x ),
x
Pm ( x )e , Pm ( x )e sin x ,
方法：待定系数法.
x
x
Pm ( x )e cos x ,
难点：如何求特解？
设非齐方程特解为 y Q ( x )e x 代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2
2 p 0,
y x 2Qm ( x )e x .
可设 Q( x ) x 2Qm ( x ),
综上讨论
设 y x k e x Qm ( x ) ,
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
例3 求初值问题 y 3 y , y(0) 1, y (0) 2的解。
1 2 pdp 3 y dy, p 2 y C 1 23 2由y(0) 1,y(0) 2 C1 0,
y p 2 y , 由y(0) 2 0, 取 号。 y 2 y , y dy 2dx, 4 y 2 x C 2 ,
P( x )e
( j ) x
P ( x )e
( j ) x
,
y1 x Qm e
k ( j ) x
设 y py qy P ( x )e ( j ) x ,
,
设 y py qy P ( x )e
( j ) x
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
例1 求方程 y 4 y 4 y 0 的通解. 解 特征方程为 解得
可降解的二阶微分方程
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
方程变为 p dp f ( y, p) dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
dy
( y,C1)
x
C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
可降阶的二阶微分方程
为曲边的曲边梯形面积
上述两直线与 x 轴围成的三角形面
例７.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线,
区间[ 0, x ] 上以
解:
于是
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,
满足的方程 .
积记为
( 99 考研 )
锗考溶倦肮评令赡算亢镰锨诽狈牛风月奈禁修践鄂群自柬秀渭禹育朝全狐可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
一般说, 用前者方便些.
均可.
有时用后者方便 .
例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?
答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
金啄辜八落底斋幢业齐趋妊腿意彤校隅菠疾践糠晤股源肉茅娄秩雇暑谰炭可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
再利用 y (0) = 1 得
利用
得
两边对 x 求导, 得
定解条件为
方程化为
利用定解条件得
得
故所求曲线方程为
佐古拖蕾氯官保站拆言痉已掐护杯角逾格蘑傲磐沉杯湛葛汐郁告充宴纺评可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法
—— 降阶法
逐次积分
令
令
诧塘些啸邢磅堆蒙秉巡蕉宁锰想坊弹早撼镭墨辩黄泳钦蛊硕排梆间颐饥矣可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程
提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有
去分母后两边对 x 求导, 得
又由于
设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v
常微分1-二阶可降阶的微分方程
常微分方程Ordinary Differential Equations 第一讲可降阶的二阶微分方程内容提要实例可降阶的二阶微分方程的解法 模型求解与分析例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.背景这是历史上一个著名的力学问题,它最初是由雅克布.伯努利在1690 年提出的. 在此之前,伽里略曾关注过该问题, 并猜想这条曲线是抛物线, 但后来发现是不对的,最后是由约翰.伯努利解决的. 莱布尼兹将其命名为悬链线,它在工程中有广泛的应用.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线解第一步建立数学模型设绳索的最低点为D , 取y 轴通过点D 铅直向上, x 轴水平向右, 且点D 到原点O 的距离为一定值a . 由题意, 曲线在点D 处的切线斜率为零.如图, 建立坐标系.例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线(,) ,,, .M x y DM s DM 设 为绳索上任一点 的弧长为 绳索的线密度为 下面分析弧段 的受力情况解第一步建立数学模型,.D M 由于绳索是柔弱的 故在点和处的张力沿切线方向例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.悬链线sin ,cos ,T gs T H θρθ==tan .gsH ρθ=于是可得解第一步建立数学模型, ,,D H MT 设点处的张力大小为点处的张力大小为 因弧段处于平衡状态 则有例1 悬链线方程问题设有一条质量均匀、柔软且不能伸缩的绳索, 两端分别被固定在两个不同的位置, 它在重力作用下处于平衡状态. 试求绳索在平衡状态时所对应的曲线方程.解第一步建立数学模型tan .gsH ρθ=20tan ,1d ,xy s y x θ''==+⎰将代入上式并求导得21(1)1,(0),(0)0,.H y y y a y a a gρ''''=+===问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?背景这曾是美国原子能委员会提出的处理核废料的方案.生态学家和科学家担心这种做法不安全而提出疑问.原子能委员会向他们保证：圆桶绝不会破裂.经过周密的试验,证明圆桶的密封性是很好的.但工程师们又问：圆桶是否会因为与海底碰撞而发成破裂?随后他们进行了大量的试验后发现：当圆桶的速度超过12.2m/s时,圆桶会因碰撞而破裂.那么圆桶到达海底时的速度到底是多少呢?它会因碰撞而破裂吗?问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?安全隐患:(1) 圆桶密封性; (2) 圆桶因碰撞而破裂实验结论:(1) 圆桶所受阻力与圆桶的下沉方位无关,与下沉速度成正比, 比例系数k=0.12;(2) 圆桶速度超过12.2米时,圆桶会因碰撞而破裂.核废料的定义：核废料泛指在核燃料生产、加工和核反应堆用过的不再需要的并具有放射性的废料.核废料的特征：①放射性: 核废料的放射性不能用一般的物理、化学和生物方法消除, 只能靠放射性核素自身的衰变而减少.②射线危害: 核废料放出的射线通过物质时, 发生电离和激发作用, 对生物体会引起辐射损伤.③热能释放: 核废料中放射性核素通过衰变放出能量，当放射性核素含量较高时, 释放的热能会导致核废料的温度不断上升, 甚至使溶液自行沸腾, 固体自行熔融.处理方法:核废料的处理，国际上通常采用海洋和陆地两种方法处理核废料. 一般是先经过冷却、干式储存，然后再将装有核废料的金属罐投入选定海域4000米以下的海底,或深埋于建在地下厚厚岩石层里的核废料处理库中. 美国、俄罗斯、加拿大、澳大利亚等一些国家因幅员辽阔、荒原广袤, 一般采用陆地深埋法.封装处置法盛放曼哈顿计划核废料的瓶子问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?所用常数:圆桶重量: W=239.456 Kg海水浮力: 1025.94kg/m3圆桶体积: V=0.208 m3问题将核废料装在密封的圆桶里沉到水深约91米的海里. 问这种处理方法是否安全?解如图, 建立坐标系设W 表示重量,B 表示浮力, D 表示阻力, 则F =W －B －D,B=1025.94×V =213.396,D=kv=0.12v .x Oy y 根据牛顿第二定律F =ma ,得.0)0()0(,0)0(=='=v y y 22d d (2),d d y y W B k m t t--=可降阶的二阶微分方程的类型型微分方程(,)y f x y'''=型微分方程(,)y f y y'''=(),y p x '=设,y p '''=则特点.y 右端不含解法),(.1y x f y '=''二、解法(),.p x y 先求出然后求() p x 于是原方程化为关于函数的一阶方程(,).p f x p '=(),y p y '=设d d d ,d d d p y p y p y x y''=⋅=则():p y 代入原方程得到新函数的一阶方程特点.x 右端不显含自变量解法d (,).d p p f y p y=),(.2y y f y '=''(),.p y y 先求出然后求例1211,(0),(0)0.y y y a y a''''=+==(),,y p x y p ''''==令则于是原方程化为,cosh .x y p y a a '==将 代入并积分 解得悬链线方程为22221cosh 1()21cosh .2x x x o x a ax y a y a x a a =++==+ 当||很小时，由泰勒展开知悬链线方程近似于抛物线注记211.p p a'=+三、模型求解解2ln(1 ), sinh x x p p p a a++==积分并代入初值可得即.解法1(),,y v x y v ''''==令则于是原方程化为(1),k t m W B v e k--=-解得2d d t t2()().k t m W B m W B m y t e k kk ---=+-.k W B v v m m-'+=91,.y t v =需要令求出时间然后求出速度问题回答非常困难!!解法22d d t t(),,y v y y v v ''''==令则于是原方程化为2()ln().mv m W B W B kv y k k W B---=---求解可得91?y v =令求问题.v 仍难求的精确值回答13.64(m /s).v ≈通过近似方法，如牛顿法，求出(m/s)(m/s),13.6412..2>因为所以圆桶可能发生破裂.这种处理核废料全的方法不安结论.mv v W B kv '=--补充利用软件Mathematica 计算v 的近似值2()ln(),=91.mv m W B W B kv y y k k W B---=---感谢大家的聆听！参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 周义仓, 靳祯, 秦军林. 常微分方程及其应用(第二版).北京: 科学出版社, 2010.[3] 王树禾. 数学模型选讲(第二版). 北京: 科学出版社,2008.[4] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations withModeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.参考文献[1] 王宪杰, 侯仁民, 赵旭强. 高等数学典型应用实例与模型. 北京: 科学出版社, 2006.[2] 王树禾. 数学模型选将. 北京: 科学出版社, 2008.[3] D. G. Zill. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 10 th edition. Boston: Brooks / Cole Publishing Company, 2013.。
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
第三节·可降阶的二阶微分方程
dp . dy Substituting into the given equation we obtain dp yp − p 2 = 0, dy that is, Solution
⎛ dp p⎜ y − ⎝ dy
From p = 0, we have
⎞ p⎟ = 0 ⎠
or
dy = 0, so y = C. dx
x=∫
dy + C2 . g ( y , C1 )
8
Differential Equations of Second Order Solvable by Reduced Order Methods
Example 14
Find the general solution of the equation yy′′ − ( y′ )2 = 0. Let y′ = p, then y′′ = p
⎧ p = 0, ⎪ ⎨ y dp − p = 0. ⎪ ⎩ dy
9
Differential Equations of Second Order Solvable by Reduced Order Methods
Example 14
Find the general solution of the equation yy′′ − ( y′ )2 = 0. From the equation y
Solution (continued)
p = C1 y
so that
or
dp − p = 0 we can obtain dy dy = C1 y , dx
y = C 2 e C1 x .
It is easy to see that the solution y = C may be obtained from the general solution by choosing C1 = 0. Therefore, the general solution of the given equation is the one shown in the last equation. Finish.
高等数学_第6章节_可降阶的二阶微分方程
3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 ( 1 x 2 )
两端再积分得 利用 y
x0
y x 3 3 x C2
1 , 得 C 2 1, 因此所求特解为
y x 3 x 1
3
例5. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
y
M
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T
弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
( : 密度, s :弧长)
T
H
A
gs
x
o
两式相除得
故有 y 1 a
0
x
1 H ) tan s (其中a g a 1 2 2 y 1 y 1 y dx a
求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.
例2.
2x 解 y e cos x d x C1
1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C3 8
y f ( x, y )
y f ( y , y )
(n) y f ( x) 型 一、 ( n 1) , 令 zy
因此
z f ( x ) d x C1
即 同理可得 y ( n 2 )
d x C 2
d x
C1 x C 2
例9.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
重点可降阶的二阶微分方程和二阶常系数线性微分方程的定义和解(精)
x e x , e 2 x 线性无关; 例如 当x ( , )时， e ，
1， cos2 x , sin2 x 线性相关.
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
y1 ( x ) 特别地: 若在区间 I 上有 常数， 则函 y2 ( x ) 数 y1 ( x )与 y2 ( x )在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个 线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1) 的通解.
例如 y y 0的两个特解是y1 cos x, y2 sin x,
y2 且 tan x 常数, 则其通解是y C1 cos x C2 sin x. y1
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
解 建立坐标系如图所示，设曲线方程为 y f ( x), 由题意得 T sin S , T cos H , 将此两式相除，得
1 tan S , ( a H ) a x tan y' , S 1 y' 2 dx
第七章
微 分 方 程
课题二十七 简单的二阶微分方程
3．二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) ( 2) 的 一 个
*
特解 , Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解 , 那么
y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
1 1 p 2 ，并分离变量得 将 y ' p ， y p 代入得， p' a x x C 1 dp 1 e a ① dx ，两端积分，得 p 1 e a 2
高等数学 可降阶的二阶微分方程
2.解法：变形为
yndyP(x)y1nQ(x)， dx
令z y1n，从而有
dz(1n)yndy, yndy 1 dz,
dx
dx dx n1dx
代入原方程得 dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx
这是关于 z的一阶线性微分方程. 求出通解后将
z y1n 代入即得 dyP(x)yQ(x)yn的通解.
e 设 yu( x )eP(x)令dx是v(xd) yuP((xx))yQ(x)的解.
dx 5
设 yu( x e) P(x)dx是 dyP(x)yQ(x)的解.
dx
y u (x )e P (x )d x u (x ) P [(x )e ] P (x )d x ,
( 2 )代入原方程得：uxdu(u),即 du(u)u.
dx
dx x
y
( 3 )求此可分离变量方程的解，并回代 u
. x
1
若 d x ( x )， 令u x . 其它换元法：uxy, uxy.
dy y
y
如方程：d y x y, dx
令 uxy,
则
d y du 1， dx dx
将 y, y代入原方程得
u (x )e P (x )d x u (x ) [P (x )e ]P (x )d x p(x)u(x)eP(x)dx
Q(x), 化简得 u(x)eP(x)dxQ(x),
即 u(x)Q(x)eP(x)dx,
积分得 u (x)Q (x)eP(x)dxdxC ,
dx 特点：它是关于 y, y的一次方程. Q ( x )：自由项.
例如 d y y x2, dxxsintt2, 线性的;
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
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1． y 1 y2
2. y ( y)3 y
3. y 2 y2 0 1 y
4. y x sin x
5. xy y 0
二 、 试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线
y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一 1. y ln cos( x C1 ) C2
y 原方程的通解为 C2 eC1x .
小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f (x) 逐次积分
2. y f (x , y)
令 y p(x) , 则 y dp
dx
3. y f ( y , y)
令 y p( y) , 则 y p dp
dy
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
关于x, p的 一阶微分方程
故方程的通解为：y ( x,C1)dx C2
例2 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 1
满足初始条件 y x0 0, y x0 1的特解.
解
设 y
p
p(x)，则 y
d
p
p
代入方程得
dx
(1 x2 ) p(x) 2xp(x) 1
整理有
p(x) 2x p(x) 1 ，
1 2
e2x
cos
x
C1
y
1 4
e2x
sin
x
C1 x
C2
y
1 e2x 8
cos
x
C1 2
x2
C2 x
C3
二、y f ( x, y) 型
特点： 不显含 y.
解法：设 y p p(x)，则 y
d
p
p
方程变为 p f（x，p）. d x
设其通解 p (x,C1 )
即
d d
y x
(x,C1 )
即 y (n1) f (x) d x C1
再次积分得 y(n2) ( f (x) dx C1 ) dx C2
( f (x) dx ) dx C1 x C2
依次n次积分, 得含n个任意常数的通解 .
例1 求 y e2x sin x 的通解.
解 积分得
y e2x sin x dx C1
特点： 方程中不显含x.
解法：设 y p p( y)，则
y d p d p d y p d p
dx dy dx dy
dp 方程变为 p f ( y, p)
dy
关于y, p的一阶微分方程
设通解为：p ( y,C1 ) 即 y ( y,C1 )
分离变量并积分，可得原方程的通解为：
dy
2. y arcsin(C2e x ) C1；
3. y 1 1 . C1 x C2 x
4.
y
1 6
x3
sin
x
c1 x
c2
5. y c1 ln x c2
二、 y 1 x3 1 x 1. 62
即 y x C1
1 1
x2
)
C1
arctan
x
C2
,
由 y x0 0, y x0 1 得
0
1
1
2 0
1
ln 1
C1 02
C1
arctan 0 C2
故
CC21
1 0
所以
y 1 ln( 1 x2 ) arctan x. 2
三、y f ( y, y) 型
( y,C1) x C2.
例3 求 yy ( y)2 0 的通解.
解一 设 y p p( y)，则
y dp dy p dp ,
dy dx dy
代入原方程得 y p dp p2 0,
即
p(
y
dp
p)
dy
0,
dy
由 y dp p 0，得 1 d p 1 d y
dy
p
y
故 p C1 y,
即 dy dx
C1 y，分量变量得
1 y
d
y
C1
d
x
所以原方程的通解为 y C2 eC1x .
解二 两y端y同y2乘y2不为dd零x (因yy子) y102,,
故 y C1 y,
从而通解为 y C2 eC1x .
y y 解三 原方程变为 ,
y y 两边积分得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
第四节 可降阶的二阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程 二、y f (x, y) 型的微分方程
三、y f ( y, y) 型的微分方程
一、y(n) f (x) 型
特点：等式右端仅含有自变量x.
解法：令 z y(n1) , 则 dz y (n) f (x) ,
dx
因此 z f (x) dx C1
1 x2
1 x2
故方程的通解为：
p(x) (
1 1 x2
e
2 1
x x
2
dx
d
x
C1
)e
2 1
x x
2
dx，
(
1 1 x2
eln(1x2 )d x
C1 ) e ln(1x2 )
1 1 x2
(
1
1 x
（1
2
x
2）d
x
C1
)，
1 ( 1 x2
1d x C1 )，
1
1 x2
(x
C1 )，