22.一阶线性微分方程、可降阶的二阶微分方程

P ( x ) dx
P ( x ) dx y C ( x)e C ( x) e P ( x ) dx P ( x ) dx C( x)e C ( x)[ P( x)]e
将y和y代入原方程得
C ( x)e P ( x ) dx C ( x)[ P( x)]e P ( x ) dx P( x) C ( x)e P ( x ) dx Q( x)
dx
1
1
再积分，得原二阶方程的通解：
1 2 y ln(1 x ) c1 arctan x c2 2
例 5-10 求微分方程 y
cos y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
dx cos y sin 2 y x sin y 解：上式可化为 sin 2 y x tan y , dy cos y
2x y e cos x的通解. 例5-9 求微分方程
解 对所给方程连续积分两次,得 1 2x y e sin x C1 2 1 2x y e cos x C1 x C2 4
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
第二节
一阶微分方程
二、一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
的方程为一 阶线性微分 方程
当Q( x ) 0,
dy P( x) y 0 称为齐次的. dx
dy 当Q( x ) 0, P ( x ) y Q( x ) 称为非齐次的. dx
一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 所谓一阶表示微分方程最高阶导数是1； 所谓线性是指微分方程仅含 y 的一阶导数,而且 y 及 y 都是一次幂. 例如
综合起来原方程通解为 y C2e
C1x
.
主要内容
可分离变量的微分方程及其解法 一阶线性微分方程及其解法
一阶线性齐次微分方程 一阶线性微分方程 一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程的解法: 常数变易法
三种可降阶的二阶微分方程及其解法 主要方法：降阶法
作业 P130
1、 4（5，6，13，15）
y e
u ( x ) P ( x ) dx
e
e
C ( x)e P ( x ) dx
y C( x)e
P ( x ) dx
这里 C ( x)为待定的函数.
dy 齐次微分方程 P( x) y 0 dx
y Ce 的通解
P ( x ) dx
dy 非齐次微分方程 dx P( x) y Q( x)的通解
dy
代入原方程得
dp p P dy y
2
dp dy 若p 0 上式可化为 p y
两边积分,得
ln p ln y ln C1 即 p C1 y
dy y C1 y dx
将上式分离变量并积分,得
ln y C1 x ln C2
即
y C2e
C1x
若p 0, 则立即可得 : y C
dy y x2 dx
2 y 2xy 3
是一阶线性的,
是一阶非线性的.
yy 2 xy 3
是一阶非线性的.
一阶线性齐次微分方程的通解
解法
dy 分离变后,得 P( x)dx y
dy P( x) y 0 dx
两边积分
得 即
dy y P( x)dx
1 2 y y x 微分方程 x
解法二
1 P( x) , x
Q( x) x 2
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x)e dx C ]e
1 dx 2 1 x dx x x e dx C e
第三节
可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x ) 型的微分方程
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、
y f ( x ) 型的微分方程
右端仅含自 变量 x
y f ( x )
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
dp dx p x
两边积分得 ln p ln x ln C或p 2C1 x
(C 2C1 )
将y p代入得 y 2C1 x
从而求得原方程的通解为
y C1 x C2
2
例5-11
求微分方程
(1 x 2 ) y 2 xy 的解. y x 0 1 y 3 x 0
y 3(1 x 2 )
再积分,得
y x 3x C2
2
把初始条件 y
x 0
1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为
y x 3x 1
2
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
解法 右端不显 含自变量 x
dp dp dy dp p dx dy dx dy
设y p( y),则y
dp 原方程化为 p f y, p dy 设其通解为 y p y, C1
分离变量并积分，便得原方程的通解为
dy y, C1 x C2
2 y 例5-12 求方程 y 的通解. y dp 解 设 y p( y), 则 y p
dx tan y x sin 2 y , dy tan ydy tan ydy x sin 2 y e dy C e
ln cos y ln cos y sin 2 y e dy C e
2sin y cos y dy C cos y 2cos y C cos y cos y
整理得
C ( x)e
P ( x ) dx
Q( x)
积分得
P ( x ) dx C ( x) Q( x)e dx C
所以一阶线性非齐源自文库微分方程的通解为
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x)e dx C ]e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x )e dx
对应齐次 方程通解
常数变易法
非齐次方程特解
把齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数 的方法.
1 例5-7 求微分方程 y y x 2的通解． x y
解法一 dy y dx x (2) 设
y (3) 将 y 、 y 代入原方程后,得
2
(1 x ) z 2 xz 1
2x 1 化成一阶线性方程 z z 2 1 x 1 x2
2 x 1 x2 1 x2 dx e dx C ]e 其通解为 z [ 2 1 x x c1 x c1 即 y 2 1 x 1 x2
解
dp p 设y p x , 则y dx
2x p p 于是原方程化为 2 1 x
dp 2 x dx 分离变量，得 2 p 1 x
两边积分得
ln p ln(1 x 2 ) ln C1
所以
2 p y C1(1 x )
把初始条件 y x0 3 代入上式,得 C1 3 所以
解法 右端不显 含未知数 y
dp p 设y p x , 则y dx
于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分 方程,便得到原方程的通解.
p 于 是 原 方 程 化 为 p x
分离变量，得
1 例5-10 求微分方程 y y 0的通解 x dp p 解 设y p x , 则y dx
(1) 求出对应齐次方程 y 0的通解 x dy dx y Cx y x C ( x) x ,则 y C( x) x C( x)
C( x) x
积分后得
1 2 C ( x) x C 2
1 2 所以所求方程的通解为 y x C x 2
讨论
dy Q( x ) P ( x ) dx, y y
两边积分
Q( x ) ln y dx P( x)dx y
Q( x) 记 dx为u ( x), y
故
ln y u ( x) P ( x)dx
u ( x ) P ( x ) dx
y C ( x )e
P ( x ) dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未
定式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C ( x)
dy P ( x) y Q( x) 的求解 非齐次微分方程 dx
设通解
y C ( x )e
P ( x ) dx
ln y P ( x) dx C
y e y Ce
P ( x ) dx
P ( x ) dx C
e e
C P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx
为一阶线性齐次微分方程的通解
一阶线性非齐次微分方程的通解 dy P( x) y Q( x) dx

x
2
e
ln x
dx C e

ln x

xdx C x
1 2 x C x 2
sin x 例5-8 求微分方程 y y cos x e 的通解．
解
P( x) cos x, Q( x) e sin x
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x)e dx C ]e
cos xdx cos xdx sin x e e dx C e

e
sin x
e
sin x
dx C e

sin x
x C e
sin x
例5-9 解方程 (1 x 2 ) y 2 xy 1
解： 这是一个二阶线性方程 若令 z y 则 y z 由于其中不含变量 y