高等数学上-闭区间上连续函数的性质
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若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上连续，且 f (a), f (b) 异号，
则函数 f ( x ) 在开区间 a , b 内至少存在一个零点.
定理2可用符号表述为：
f C [a ,b ],且 f(a )f(b ) 0 x 0 (a ,b ),使 f(x 0) 0 .
从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧 y f (x)的
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
注 零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
因
f(x)a0xn1aa01xLaa0xnn,
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
定理3 (介值定理) 若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上连续,
且 f(a) f(b), 则对于介于f (a)与 f(b) 之间的任何实
数 , 在区间 a , b 内至少存在一点x 0 使得f (x0) .
证 作函数 F(x)f(x), 则 F(x)C[a,b],且
F a F b f( a ) fb 0 ,
证：设 L 为山脚到山顶的总路程，
s1 t 为运动员第一天登山在 t 时刻所走过的路程， s2 t 为运动员第二天下山在 t 时刻离开山脚的路程， s2 t s1 t 为区间0,12 上的连续函数，
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
两个端点分别位于x 轴的两侧，则曲线弧与x 轴至少有
一个交点.
y
y f x
oa
x0 b x
例 证明方程 xex0在区间(1,1)内有唯一的根.
证 令 f(x)xexC [1,1],
f(1 )f( 1 ) e 1 e 1 1 0 ,
由零点定理，必存在 x0 1,1，使得 f (x0 ) 0.
又函数 f ( x ) 是单调增加函数，故零点是唯一的.
例 任何实系数奇次多项式方程必有实根。
证 设实系数奇次多项式方程为
a 0 x n a 1 x n 1 L a n 1 x a n 0 ,
不妨设a 0 0 . 记
f(x ) a 0 x n a 1 x n 1 L a n 1 x a n ,
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连 续, 则 f ( x ) 在点 和 处
பைடு நூலகம்y f x
分别取到最大值和最小 值.
O a
bx
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
第八节 闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以 后各章的学习中经常用到. 这些性质, 从几何上是容易 理解的, 但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困 难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质, 并从几何上对这些性质予以解释.
一、最大值最小值定理
定义 设 f ( x ) 定义在区间 I 上，
并记
f(x0 )m x iInfx
例 函数 f(x)xx在整个区间上的最小值为0 ,
但无最大值.
f(x)xx,
当 0x1 ,f(x)x; 当 1x 2 ,f(x)x 1 ; 当 2 x 3 ,f(x ) x 2 ; L L L L
y fxxx
O
x
定理1 （最大值最小值定理）.
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
x0 [a,b],使 fx0.
推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射 为闭区间.
例 4 一个登山运动员从早上 7：00 开始攀登山峰，下午 7：00 到达山顶，次日早上 7：00 开始下山，下午 7：00 到达山脚. 试用介值定理说明：这个运动员在两天的某一个相同时刻经过 登山路线的同一地点.
由于区间 a , b 可以表示为
a ,b a ,a U a ,b
由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a , b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 P n ( x ) ，若存在 x 1 , x 2 使得 Pn(x1)Pn(x2)0,
则一定存在 x0 x 1 ,x2,使 P n(x0) 0 .
y
从几何上我们可以很清楚地看到 该问题的实际意义.
O
x0
x
但该问题对于一般函数而言，结论不成立.
例如，
y
f (x)xx2
x1 ,
x1
O
x
注意到： f(0)2,f(2)2, 但不存在 x0,使f(x0)0.
关键原因在于函数不连续.
定理2 (零点定理)
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在， 证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证 因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,
使得 f ( x ) 在 a,a 内有界；
若存在点 x 0 I , 使得对每一个x I 都有
f(x) f(x0), 则称 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 在区间上的最大值；x 0 为最大值点，
并记
f(x0)m x aIxfx
若存在点 x 0 I , 使得对每一个x I 都有
f (x) f (x0),
则称 f ( x 0 )为函数 f ( x ) 在区间上的最小值；x 0 为最小值点，
则函数 f ( x ) 在开区间 a , b 内至少存在一个零点.
定理2可用符号表述为：
f C [a ,b ],且 f(a )f(b ) 0 x 0 (a ,b ),使 f(x 0) 0 .
从几何上看，定理2表示：若连续曲线弧 y f (x)的
由零点定理, 存在 x0 (a,b) 使得
F(x0) 0.
即
f (x0) .
注 零点定理是介值定理的特殊情况.
y
y f x
o a x0
bx
y y f x
o a x0
bx
推论1 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值 之间的任何值. 即
f C[a,b]
xm [a in ,b]f(x),x m [a a,x b]f(x),
因
f(x)a0xn1aa01xLaa0xnn,
可见：
lim f(x) ,lim f(x)
x
x
故，存在 x1 0 , 使得 f (x1) 0;
同理存在 x 2 0 , 使得 f (x2) 0.
因 f(x)C[x2,x1], 由零点定理，知存在 x0 x2,x1
使得 f (x0) 0.
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
定理3 (介值定理) 若函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上连续,
且 f(a) f(b), 则对于介于f (a)与 f(b) 之间的任何实
数 , 在区间 a , b 内至少存在一点x 0 使得f (x0) .
证 作函数 F(x)f(x), 则 F(x)C[a,b],且
F a F b f( a ) fb 0 ,
证：设 L 为山脚到山顶的总路程，
s1 t 为运动员第一天登山在 t 时刻所走过的路程， s2 t 为运动员第二天下山在 t 时刻离开山脚的路程， s2 t s1 t 为区间0,12 上的连续函数，
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
两个端点分别位于x 轴的两侧，则曲线弧与x 轴至少有
一个交点.
y
y f x
oa
x0 b x
例 证明方程 xex0在区间(1,1)内有唯一的根.
证 令 f(x)xexC [1,1],
f(1 )f( 1 ) e 1 e 1 1 0 ,
由零点定理，必存在 x0 1,1，使得 f (x0 ) 0.
又函数 f ( x ) 是单调增加函数，故零点是唯一的.
例 任何实系数奇次多项式方程必有实根。
证 设实系数奇次多项式方程为
a 0 x n a 1 x n 1 L a n 1 x a n 0 ,
不妨设a 0 0 . 记
f(x ) a 0 x n a 1 x n 1 L a n 1 x a n ,
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y
若函数 f ( x ) 在闭区间上连 续, 则 f ( x ) 在点 和 处
பைடு நூலகம்y f x
分别取到最大值和最小 值.
O a
bx
用简单的数学符号，定理1可表述为：
f C[a,b]
, [a ,b ],使 f() m a x { f(x )} , x [a ,b ] f()min{f(x)}. x[a,b]
第八节 闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有很多重要性质. 这些性质在以 后各章的学习中经常用到. 这些性质, 从几何上是容易 理解的, 但要给出完整而严格的证明, 有时却是比较困 难的. 本节我们将讨论闭区间上连续函数的某些性质, 并从几何上对这些性质予以解释.
一、最大值最小值定理
定义 设 f ( x ) 定义在区间 I 上，
并记
f(x0 )m x iInfx
例 函数 f(x)xx在整个区间上的最小值为0 ,
但无最大值.
f(x)xx,
当 0x1 ,f(x)x; 当 1x 2 ,f(x)x 1 ; 当 2 x 3 ,f(x ) x 2 ; L L L L
y fxxx
O
x
定理1 （最大值最小值定理）.
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
x0 [a,b],使 fx0.
推论2 闭区间上的不为常数的连续函数把该区间映射 为闭区间.
例 4 一个登山运动员从早上 7：00 开始攀登山峰，下午 7：00 到达山顶，次日早上 7：00 开始下山，下午 7：00 到达山脚. 试用介值定理说明：这个运动员在两天的某一个相同时刻经过 登山路线的同一地点.
由于区间 a , b 可以表示为
a ,b a ,a U a ,b
由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a , b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 P n ( x ) ，若存在 x 1 , x 2 使得 Pn(x1)Pn(x2)0,
则一定存在 x0 x 1 ,x2,使 P n(x0) 0 .
y
从几何上我们可以很清楚地看到 该问题的实际意义.
O
x0
x
但该问题对于一般函数而言，结论不成立.
例如，
y
f (x)xx2
x1 ,
x1
O
x
注意到： f(0)2,f(2)2, 但不存在 x0,使f(x0)0.
关键原因在于函数不连续.
定理2 (零点定理)
值得注意的是，定理1中的条件 f ( x ) 在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例 设函数 f ( x ) 在 a , b 内连续，且 f ( a ) 存在， 证明 f ( x ) 在 a , b 内有界.
证 因 f ( a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0 ,
使得 f ( x ) 在 a,a 内有界；
若存在点 x 0 I , 使得对每一个x I 都有
f(x) f(x0), 则称 f ( x 0 ) 为函数 f ( x ) 在区间上的最大值；x 0 为最大值点，
并记
f(x0)m x aIxfx
若存在点 x 0 I , 使得对每一个x I 都有
f (x) f (x0),
则称 f ( x 0 )为函数 f ( x ) 在区间上的最小值；x 0 为最小值点，