圆中比例线段 课件 通用

证△ ADE ∽△ BDA
DE AD
AD2 ? DE.DB得DE ? 5 4
A
D
BD ? 25 ? 5 ? 5 44
j
E
B
C
O
例如图， P是平行四边形 ABCD 的边AB 的边AB 的 延长线上一点， DP与AC，BC分别交于点 E，F，
EG是过B，F，P三点圆的切线， G为切点，求证
EG=DE
CE ? EF (1) AE DE CE ? DE (2) AE EP
如图，△ ABC 中，∠C=90°，O为AB 上一点，以 O为圆心，OB为半径的圆与 AB 相交于点 E，与AC 相切于点 D，已知AD=2 ，AE=1 ，那么BC=
提示：可考虑先求出半径，连 OD
BC ? AB ;BC ? ABO? D
OD AO
AO
?
4? 1?
3
2 3
?
1源自文库 5
2
C D
A
E
O
B
PC 2 ? PF.PA
EF ? AP
CE ? AD
D
? EP2 ? PF.PA
PC ? PE
PC E
F
A
O
B
15；如图，已知在三角形 ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线， DE⊥BE交AB 于D，⊙O是△BDE 的 外接圆。
（1）求证； AC 是⊙O的切线
（2）若AD=6 ，AE= 6 6 ，求DE的长
提示：根据对称性，考虑用相交弦定理。
设ED=x, x(1+x)=1 ×1 x=
5?1
2
A F
G
圆心
B
C
D
E
14;如图；已知 AB 为圆的直径， C为圆上一点，延 长BC至D，使CD=BC ，CE⊥AD于E，BE交圆于F， AF 交CE于 P，证 PE=PC
连OC则CO∥AD ，∴CE⊥CO，则CE为切线；
PH=
12 ? PC ? PB(1)
12 ? PH ? PO(2)
PO ? PB ? OB ? PB ? 1 BC
1 ? PH ? (PB ? 1 BC)
2
2
A
PH ? 1 ? 1
PB ? PC a
P
C HO
B
13、如图，△ ABC是圆O的内接正三角形，弦 EF经 过BC的中点D，且EF∥AB ，若AB=2 ，求DE的长。
（11）如图，AB 为圆的直径，若 AB=AC=5 ，
BD=4 则
AE ? BE
5×（5+AE ）=4×（4+4） AE=7/5
BE2 ? 82 ? (5 ? 7 )2 BE ? 24
5
5
? AE ? 7 BE 24
E A
5
5
C
B
4 D4
12；如图， P是半圆O的 直径BC延长线上一点， PA 切半圆于点 A，AH⊥BC于H，若PA=1 ，PA+PC=a
则PB=
由3×6=2×TD可得TD=9 PT ? (6 ? ?)2 ? 92
PT 2 ? ?(9 ? ?)
? ? 15
C
3A
D O
2
6
B
？
P
T
如图，在平行四边形 ABCD 中，过A，B，C三点的 圆交AD于点E，且与CD相切，若 AB=4 ，BE=5 ， 则DE的长为
连AC ，CE AC=BE=5 ，∠BAC= ∠ACD= ∠ABC ，
连PO交AB 于H，设DE=x 则
PAP2 ? E.PC ? 2(x ? 3)...(1),
xA? D.DB...................(3)
由(1)(2)
由(4)-(5)
PA2 ? PHH2 ? A2........(2) 2 ? x ? PHD2 ? H 2.......(4) PHA2 ? H 2 ? 2(3 ? x)...(5)
圆中比例线段
（1）相交弦定理
C
如图（ 1），若圆内两条弦 AB ，CD相交于点 P，则 PA.PB=PC.PD
A
P
B D
P
（2）切割线定理；如图（ 2）
从圆外一点 A引圆的切线 AP
A
和割线ACB ，则
C
PA2 ? AC.AB
B
（3）割线定理；如图（ 3）若 从圆外一点引圆的两条割线 PAB ，PCD，则PA.PB=PC.PD
C P
A
D B
例1；如图1，△ABC 内接于直径为 d的圆，设 BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高CD=
连CO，并延长 CO交圆于E，连BE；
证△ ACD ∽△ EBC
CD b ?
ad
CD ? ab d
b
A
C
D
a
d
O
B
E
例1，如图 2，PT切圆于点 T，PA 交圆于 A ， B 两点， 且与直径 CT交于点D，CD=2，AD=3 ，BD=6
∠1+∠4=90°，∠1=∠2=∠3 ∠3+∠4=90°
AC 是⊙O的切线
(6 2)2 ? 6 AB AB ? 12
EB CB ?
EB2 ? BD.CB ? 6 ? 4
BD EB
A
EB ? 2 6 DE ? 36 ? 24 ? 23
C
E 34 k1
D
2 O
B
16；如图； PA，PB是⊙O的两条切线， PEC是一 条割线， D是AB 与PC的交点，若 PE=2，CD=1， 求DE的长
CD BO 证△ BDO ∽△ACD
（2）延长CD，BA 交于G，证△CDE∽△CAG
CE ? CD ? CE ? 25 ? CE ? 5 CG AC 45 3 ? CE
AG.GB ? GD.GC
AG ? (4 5)2 ? 82 ? 4 A
G
D
k
E
4(? 4 ? AB) ? 2545?
AB ? 6; BC ?B10 O C
P
AH 2 ? DH 2 ? 2(3 ??x)2 ? x
BD.AD ? 4 ? x ? x ? 2
EH
AD
B
O
C
17；如图；△ ABC 是锐角三角形，以 BC为直径作⊙ O
AD是⊙的切线，从 AB 上一点E作AB 的垂线交 AC的延 长线于F点。若 AB = AE 求；AD=AE
AF AC
连CG ∴CG⊥AB ，CG∥FE
则AC=BC=AD=5 ，DC=AB=4
16
DE=
5
D
C
E 5
4
B
A
例3；如图，已知圆是三角形 ABC 的外接圆， BC 是圆的直径， D是劣弧 的中点， DB交AC于点 E(1)求证AD2 ? DED. B
若BC ? 5 , CD ? 5 , 求DE的长
2
2
由AD.AD=DE.DB; 得
AD DB ?
由（ 1）（ 2）知
DE2 ? EF ?EP
D
CG
GE2 ? EF ?EP(3)
E
F 圆心
c1
A
B
P
例5如图，BC是半圆O的直径， D是
的中点，
四边形ABCD 的对角线AC，BD交于点E，
（1）求AC. BC=2BD.CD;
(2)AE=3,CD=2 , 求弦AB 和直径BC的长 （1）∵BC=2OB ∴AC.OB=BD.CD AC ? BD