12.2(2)开平方和平方根
初中常用平方根口诀表
初中常用平方根口诀表
2019-09-13 09:56:42 文/颜雨 平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。一个正数有两个实 平方根，它们互为相反数，负数没有平方根。接下来给大家分享初中常用=144 √12 = 3.464
13²=169 √13 = 3.605
14²=196 √14 = 3.741
15²=225 √15 = 3.872
16²=256 √16 = 4
17²=289 √17 = 4.123
18²=324 √18 = 4.242
19²=361 √19 = 4.358
初中常用平方根表
平方表 平方根
1²=1
√1 = 1
2²=4
√2 = 1.414
3²=9
√3 = 1.732
4²=16 √4 = 2
5²=25 √5 = 2.236
6²=36 √6 = 2.449
7²=49 √7 = 2.645
8²=64 √8 = 2.828
9²=81 √9 = 3
10²=100 √10 = 3.162
20²=400 √20 = 4.472
平方根口诀
（1）11-19的平方：原数加尾数，尾平方；逢10进位 例如：132=? 13+3=16 32=9 132=169 （2）41-49的平方：尾加15，10减尾再平方，占2位 例如：432=？ 3+15=18 10-3=7 72=49 432=1849 （3）51-59的平方：尾加二十五，尾平方占2位 例如：542=？ 4+25=29 42=16 542=2916 （4）91-99的平方：尾数乘2加80；10减尾数再平方，占2位 例如：952=? 5×2+80=90 10-5=5 52=25 952=9025
初中生背平方根表1-100
初中生背平方根表1-100
平方根在数学中是一个重要的概念，对初中生来说，背诵平方根表可以帮助他
们快速计算一些常见数的平方根，从而提高计算的效率。
下面是初中生背诵平方根表1-100的方法。
一、平方根的概念
在数学中，一个数的平方根是指另一个数，使得这个数的平方等于该数。
比如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。
二、背诵平方根表1-100的方法
1.从1到10的数字，先背诵其平方根，依次是1、1.41、1.73、2、
2.24、2.45、2.65、2.83、3、
3.16。
2.对于10的倍数，如20、30、40等，可以根据已背诵的数字以及倍
数的关系进行计算。
3.对于其他数字，可以估算其平方根值，找到最接近的已知平方根，进
行修正。
4.制作一个平方根表格，将1-100的数字与其平方根对应起来，方便
查阅。
三、背诵平方根表的意义
1.通过背诵平方根表，可以提高初中生的计算速度和准确性。
2.平方根表可以帮助初中生更好地理解数学知识，巩固数学基础。
3.背诵平方根表可以锻炼初中生的记忆力和逻辑思维能力。
四、总结
初中生背诵平方根表1-100对他们的数学学习有着积极的影响，可以提高他们
的计算效率，加深对数学知识的理解。
希望通过不断的练习和巩固，初中生能够掌握更多数学知识，取得更好的成绩。
以上是初中生背诵平方根表1-100的方法，希朥对初中生的数学学习有所帮助。
平方根表及算法
这下终于明白了,设 a 为 A 的平方根的前 n 位，b 为 A 的平方根的 n 位后面的数 字，哪么（10a+b)就是 A 的平方根。有：(10a+b)(10a+b)=100a*a+20ab+b*b= A 变形后：(20a+b)b=A-100a*a 上面的计算中第一次商 2，然后从结果中减 4 实质就是 A-100a*a 第二次再预计商 3 再减去(20*2+3)*3 实质就是： A-100a*a-20ab-b*b 即：A-(10a+b)(10a+b) 此时 10a+b 看作为新的已有商 a，再求下一个 b 值。这样就可以一位一位地进 行平方根的求解了。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 快速平方根算法Algorithm 2008-04-19 16:17:38
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE 标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说 31：符号位 30-23：共8位，保存指数（E） 22-0：共23位，保存尾Part = x; convertor.intPart = 0×1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1); convertor2.intPart = 0×5f3759df - (convertor2.intPart >> 1); return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart)); }
我们可以使用二分法来计算平方根。
最新12.2-平方根和开平方(1)(1)ppt课件
第十二章 开平方
12.2 平方根和开平方（1）
问题1:小丽家一张方桌的桌面
是面积为64平方分米的正方形， 这个正方形桌面的边长是多少？
平方根:已知一个数的平方等
于a，那么这个数叫做a的平方 根，即x2=a，x叫做a的平方 根，a叫做被开方数.
开平方运算:求一个数a的平方根
3
( 1)2 __ 3
102 __
(10)2 __
规律总结：
a 2 a ( a)2 a
巩固练习
1．下列等式是否正确？不正确 的请说明理由并加以改正.
49 7
81 9
(2)2 2
(5) 2 5
巩固练习
2．求下列各数的正的平方根:
225； 0.0001； 9
121
3．若2m-5与4m-9是同一个数的 平方根，求m的值.
罗马III 功能性食管胃疾病
上海瑞金医院消化科 袁耀宗
罗马III标准中的一些变化
1. FGIDs时间限定的变化 诊断前，症状必需出现超过6个月，且近期3个
月处于活动阶段(症状符合诊断标准)。时间限定不 似罗马II标准那么严格，更易于理解和应用。 2. 分类的变化
已明确反刍综合征源于胃肠功能紊乱，故将其 从罗马II标准中的功能性食管疾病(A)移至功能性 胃-十二指肠疾病(B)。
感觉和动力异常包括中枢和周围神经功能 障碍可解释其中部分症状。
概述
内镜下无食管炎表现的烧心
食管胃酸暴露时间异常
食管胃酸暴露时间正常
食管反流表现
无食管反流表现
PPI治疗有效
PPI治疗无效
ENRD 相关烧心
功能性食管疾病
功能性烧心
初中数学平方根表
初中数学平方根表1. 什么是平方根？在数学中，平方根是指一个数的平方等于另一个数的运算。
简单来说，给定一个数x，那么它的平方根就是满足x的平方等于该数的数。
平方根的表示方法为√x，即根号x。
举个例子，如果x的平方等于16，那么x的平方根就是4，因为4的平方等于16。
2. 平方根的性质•平方根反映了平方运算的逆运算。
•平方根总是正数，即使给定的数为负数。
•一个正数可能有两个不同的平方根，一个为正数，一个为负数。
•平方根可以用分数形式表示。
3. 初中数学常见的平方根表下面是一个初中数学常见的平方根表，包含了一些常见数的平方根：数平方根1 12 1.4143 1.7324 25 2.2366 2.4497 2.6468 2.8289 310 3.16211 3.31712 3.464请注意，这些平方根都是经过近似计算得到的结果，并不是完全精确的值。
4. 如何计算平方根在计算平方根时，我们可以使用特定的算法，其中包括牛顿迭代法和二分法。
牛顿迭代法是一种迭代逼近的方法，可以通过反复逼近来计算平方根。
二分法是一种逐步缩小搜索范围的方法，可以有效地找到一个数的平方根。
在初中数学中，我们通常使用计算器或数表来获取平方根的近似值。
平方根表就是一种列出数与其平方根对应关系的表格，方便我们查找和使用。
5. 平方根的应用平方根在数学和科学中有着广泛的应用，其中一些包括：•几何学：平方根可以用于计算正方形和矩形的对角线长度。
•物理学：平方根可以用于计算速度、加速度和距离等物理量。
•金融学：平方根可以用于计算股票收益率和波动率等金融指标。
•工程学：平方根可以用于计算电路中的电压、电流和阻抗等。
总结起来，平方根是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
初中数学平方根表是帮助学生快速查找某个数的平方根的工具，方便学生能够更好地理解数学问题和解决实际问题。
希望这份初中数学平方根表对你有所帮助！。
12.2(1)平方根与开平方(励一敏老师)
x2=64
∴x=±8 （舍“-”）
[概念1]如果一个数的平方等于a， 分析：82=64
那么这个数叫做a的平方根。
分析：(-8)2=64
[概念2]求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数。
想一想：是不是任何实数都能开平方呢？
[被开方数须满足“非负实数”]
[例1]求下列各数的平方根：(1) 49
③ 2的正平方根； 2
a的正平方根；
④ 2的负平方根； 2 a的负平方根；
⑤ x2=2,求x. x 2 x2=a,求x. x a 注： a的正平方根又称“算术平方根”。
[例3]已知2x+3和x+6是同一个数的两个平方根， 求这个被开方数。 解：由已知得，(2x+3)+(x+6)=0
3x= -9 ∴x =-3
(1) 49
9 (2)
(3) 1.21 (4) 6
25
解：（1） 49 72 =7
练习：P8/2
[补充练习]
练习：P8/3
（1）正数a的两个平方根的和等于 0 ；
（2）正数a的两个平方根的积等于
。
解： a a
2
a
= -a
[一组容易混淆的概念] ①2
a (a>0)
② 2的平方根； 2 a的平方根；
9 (2)
(3) 1.21
解：（1）∵(±7)2=49，
25
∴49的平方根是±7。 [例2] 求下列各数的平方根：(1) 2 1
4
(2) 0 (3)-16
如果没有平方根，请说明理由。
解：（1） 2 1 9
44
∵ ……
（2）∵02=0， ∴0的平方根是0。
沪教版(上海)数学七年级第二学期12.2 平方根和开平方 教案
教案（首页）上海市新陆中学12.2平方根和开平方（1）教学目标1．理解平方根产生的背景和平方根的概念及其符号表示；2．知道正平方根与平方根的区别，理解正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根；3．会根据平方根、开平方的意义和运算性质求完全平方数的平方根.教学重点及难点理解开平方和平方运算的互逆关系，运用平方根的运算性质求完全平方数的平方根.教学流程设计教学过程设计一、问题导入1．小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？2．解答：设正方形桌面的边长为x分米，则可得：x2=64，因为x>0，所以x=8. 3．思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”.在解决问题时，我们联想到了哪一种运算？二、学习新课1、概念辨析：（1）已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，我们把x叫做a 的平方根，a 叫做被开方数.（2）求一个数a 的平方根的运算叫做开平方运算. 【强调】 平方运算和开平方运算互为逆运算. 2．例题分析：求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？（1） 0.16; （2） -259; （3） 0. 解：因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4.因为不存在一个实数的平方根为-259，所以-259无平方根.因为02=0，所以0的平方根为0. 3．性质归纳：（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a 有2个不同的平方根，记作“±a ”，它们互为相反数，其中“a ”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a ”.（3）．因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：±0=0.【说明】“a ”是一个数学符号，其意义是：非负数a 的算术．．平方根，同时它也表示一个数，这个数的平方等于a ，即（a ）2=a.三．问题拓展思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？ （1）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？ （2）2)3(的意义是什么？ 2)3(=？（3）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？ （4）2)3(-的意义是什么？ 2)3(-=？（5） 计算：2)31(=______ 2)31(-=______ 2)7(=_______2)7(-=______ 210-=_______ 2)10(--=______.2．规律总结：（1）．2a 表示a 2的正平方根，因为a 2≥0，所以2a =∣a |∣.（2）．2)a (表示数a 的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a ≥0，且2)a (=a ；2)a (-表示数a 的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a ≥0，且2)a (-=a ；综上所述，（±a ）2=a.四、巩固练习1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.（1）49-=-7; （2）2)2(-=2; （3）-2)5(-=5; （4）81=±9 2．求下列各数的正的平方根：（1） 225； （2）0.0001； （3）1219. 3．若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m 的值. 【说明】练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论：一种情况是2m-5与4m-9是一个数的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.五、课堂小结1．平方根的意义是什么？平方根的性质是什么？2．开平方运算与平方运算有怎样的关系？3、求完全平方数的平方根时要把被开方数做怎样的变形？六、作业布置1 . 课本和练习册上的练习2 . 复习所学的知识3 . 预习新课教学设计说明1．对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.2．在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”3．在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.4．要理解公式“2a=∣a∣”和“（±a）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生2a ≥0的印象，然后归纳出“2a =∣a ∣”.（2）通过对“2)3(-的意义和计算结果”的讨论，达到对“2)3(-无意义”的理解，从而总结出“（±a ）2=a ”成立的前提条件是：“a ≥0”.对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.12.2平方根和开平方（2）教学目标1、经历2是无限不循环小数的探索过程，了解无限逼近思想；2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根. 教学重点1．会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；. 2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识. 教学难点尝试用逐步逼近法探索2的近似值. 教学流程设计课堂小结问题拓展学习新课复习引入巩固练习作业布置教学过程设计一、 复习引入1．问题：2的意义是什么？根据其意义，你能否猜测2有多大？2．探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<2<2，即2的整数部分为1.3．规律总结：当 c>a>b>0时，b a c >>.二、学习新课1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；2、思考：（1）观察计算结果，你有什么发现？小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<2<1.5，所以2的十分位为4. （2）：如何求2的百分位？方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________. 因为1.412<2<1.422，所以1.41<2<1.42，得2的百分位为1. 3．巩固性问题：（1） 请求出2的千分位.（2） -2有多大？（精确到千分位）4．例题分析：用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数） （1）8 （2）294 解：（1）8±≈±2.828. （2） 942±≈±1.563.三、巩固练习1、用计算器求值（近似值保留四位小数） （1）5 （2）78.53、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？(1)3 (2) 12 (3) 72 【说明】求a 的整数部分一般有两种方法：（1） 找到与被开方数a 最接近且比它大的一个完全平方数n 2，那么一定有“n2>a ≥（n-1）2”，从而“n >a ≥n -1”，可以确定a 的整数部分为n-1；（2） 用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.四．问题拓展1．思考：满足x 2<2006的整数x 有多少个？2．阅读理解题：用逐次逼近法求平方根的计算步骤是： （1）．任意取x 1>0，作为a 的第一个估计值；（2）由x1出发，计算x2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+11xax21，作为a的第二个估计值；（3）分别由x2、x3、x4、…出发，重复步骤（2），求出x3、x4、x5、…作为a的第三个、第四个、第五个、…的估计值；由此得到x2、x3、x4、…将一个比一个更接近a的不同精确度的近似值.请用逐次逼近法，求5的近似值.（保留4个有效数字）五、课堂小结1．“逐步逼近法”的基本原理.2．求一个正数的正平方根的整数部分其本质就是用“逐步逼近法”求算术平方根的近似值，只是结果保留整数.3．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.4．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方根.六、作业布置1 . 课本和练习册上的练习2 . 复习所学的知识3 . 预习新课教学设计说明1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“a”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.2．为了更加清楚地说明“2”的大小，笔者认为，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.。
沪教版七年级上册12.2平方根和开平方(1)教案
12.2平方根和开平方（1）教学目标：1．理解平方根、开平方的概念，知道平方根的符号表示．2．理解正平方根与平方根的区别，知道正数的两平方根之间的关系及实数范围内负数没有平方根．3．会根据开平方与平方的逆运算关系求完全平方数的平方根．教学重点及难点：重点：根据开平方与平方的逆运算关系求完全平方数的平方根．难点：对课本第七页公式的理解．教学过程:一、 问题导入师：我们知道加法与减法是互逆的运算，乘法与除法是互逆的运算，乘方的结果是幂，那么它的逆运算是什么？今天我们就来研究最简单的一种．思考1：填空（1） 2(3)+=______；2(3)-=______； 211=______； ()211-=______； （2） ( _____ )2=9； ( _____ )2=121．师：上述填空题中第（1）题组是我们以前学习的“已知一个数，求这个数的平方是多少”，而第（2）题组则是“已知一个数的平方是多少，去求这个数”，这是一种新的运算，我们把这种运算称为“开平方”，“开平方”与“平方”是互逆的运算．二、学习新课1、平方根和开平方的概念辨析：平方根：已知一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．如果x 2=a ，我们把x 叫做a 的平方根，a 叫做被开方数．开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方运算．问1：实数a 可以取任何数吗？为什么？问2：求64的平方根，就是要对64进行“开平方”，64是被开方数．这就是要找出满足x 2=64的数x ，那么64的平方根是多少？例题1 求下列各数的平方根：（1）0.16； （2）925； （3）0； （4）7． 解：（1）因为（±0.4）2=0.16，所以0.16的平方根是±0.4．（2）因为239()525±=，所以259的平方根是35±． （3）因为02=0，所以0的平方根是0．（4）7的平方根是．练习：求下列各数的平方根：（1）25； （2）8116； （3）0.36．问：通过刚才的学习，我们已经知道负数没有平方根，那么根据上题你能说出正数、0的平方根是怎样的？2．性质归纳：（1）负数没有平方根；（2）正数a 的两个平方根互为相反数，可以用“a 的正平方根（又叫做算术平方根），读作“根号a ”，表示a 的负平方根，读作“负根号a ”；（3）0的平方根就是0，记作0=0．思考2 计算下列各题（1）2=________，2(=________；（2．思考3 从上题中，你能否发现并总结某些规律？为什么？归纳小结：因为开平方与平方互为逆运算，根据平方根的意义，我们可以得到（1）当a ＞0时，2a =，2(a =（2）当a ≥0a =， 当a ＜0a =-．0000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ．例题2 求下列各数的正平方根：（1） 225； （2）0.0001； （3）1219． 分析：学习了”的意义后，225的平方根可以用“”来表示，那么225．解：（115=； （20.01=；（3）311==．课堂练习：A 组1．下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.（1）49-=-7； （2）2)2(-=2； （3）－2)5(-=5； （4）81=±9 ； （5）2*2________．*3．若一个正数的两个平方根分别是2m -5与4m -9，求m 的值．B 组1．下列等式是否正确？如果不正确，请改正：（1）7-49-=； （2）()33-2=； （3）()55--2=；（4）981±=．2．学校要围一个占地面积为144平方米的正方形花圃，需要准备多长的竹篱笆？三、课堂小结1．平方根和开平方的概念是什么？2．平方根的性质是什么？四、作业练习册12.2（1）堂堂练12.2（1）。
初中数学平方根口诀表
初中数学平方根口诀表
平方根又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根。
下面整理了记忆平方根的口诀，供大家参考。
平方根表
巧记平方根口诀
负数方根不能行，零取方根仍为零。
正数方根有两个，符号相反值相同。
2 作根指可省略，其它务必要写明。
负数只有奇次根，算术方根零或正。
注：方根均指平方根。
平方根公式
如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，（a≥0），那么这个非负数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为√a ，读作“根号a”，a叫做被开方数。
求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方。
结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大（对所有正数都成立）。
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
显然，如果知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
负数在实数系内不能开平方。
只有在复数系内，负数才可以开平方。
负数的平方根为一对共轭纯虚数。
例如：-1的平方根为±i，-9的平方根为±3i，其中i为虚数单位。
规定：i²=-1或i=√-1，-i=-√-1。
一般地，“√￣”仅用来表示算术平方根，即非负数的非负平方根。
规定：0的算术平方根为0。
八年级数学下册12.2二次根式的乘除积的算术平方根性质是什么素材苏科版
积的算术平方根性质是什么？
难易度：★★★
关键词:二次根式、乘除法运算
答案：
积的算术平方根性质：（a≥0,b≥0）
【举一反三】
典例:计算：．
思路导引:本题主要考查了二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用。
可直接利用平方差公
式求解．原式=
标准答案：22
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some
unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
12.2 平方根和开平方 讲义
第十二章 第2讲 平方根和开平方学习目标理解平方根、开平方运算、被开方数、根指数的概念和意义，掌握“一个数的平方和平方根”的区别，掌握平方根的符号表示方法；经历平方根的意义推导过程，感受求一个数的平方和平方根的互逆运算，体会文字语言和符号语言的对应关系；在加减、乘除互逆运算基础上，扩充到乘方和开方的互逆运算，而且运算符号法则遵循有理数的法则，知识间存在联系。
知识精要1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的两个平方根可以用a ±来表示，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
2.算术平方根：正数a 的正平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
平方根与算术平方根的区别与联系：区别：(1)定义不同；(2)结果不同；a ±和a 。
联系：(1)平方根包含算术平方根；(2)被开方数都是非负实数；(3)0的平方根和算术平方根均为0。
注意：在平方根的概念中，涉及到平方运算。
我们规定无理数的平方遵循同有理数一样的符号法则。
3.开平方：求一个数a )0(≥a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
平方与开平方互为逆运算。
求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。
另外，还可以利用计算器求任意一个正数的正平方根或它的近似值，具体按键顺序参考计算器的使用说明书。
通常使用计算器求a ，正数a 的位数不超过十个。
如果所显示的结果其位数超过5个，那么这个结果是a 的一个近似值；否则是准确值。
4.平方根的性质(1)当0>a 时，a a =2)(，a a =-2)(。
(2)当0≥a 时，a a =2；当0<a 时，a a -=2。
即 ⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,2a a a a a a经典题型精讲(一)计算平方根例1.写出下列各数的平方根：(1)1219 (2)2)9(- (3)16925 (4)81 (5)3 (6)51 (7)49.0 (8))0(>a a例2.从1到100之间所有自然数的平方根的和为________．举一反三：一个数的平方根是3x +和12-，求x 的值.例3.写出下列各数的算术平方根(1)225 (2)9 (3)49151 (4)64.0例4.若4a -没有平方根，则a 的取值范围是__________.举一反三：若___________。
1平方根和开平方课件(1)
例题帮助理解
6
例题1.
7
针对例题1.，我们的解法二
8
思考1.
零有平方根吗？ 负数有平方根吗？
9
例1:求下列各数的平方根，并
根据你的解答过程总结：正数、 0、负数的平方根有什么不同？
9
-0.16
0
25
知识点1.0
我们可以看到，一个正数有两个平方根，他们互为相 反数。 零的平方根是零。 负数没有平方根。 （负数的平方根问题在高中数学中将进一步得到研究）
12.2数的开方
12.2（1）平方根与开平方
1
回顾复习
2
问题1.
小丽家一张方桌的桌面是面积为 64平方分米的正方形，这个正方 形桌面的边长是多少？
3
分析解答
4
引入新概念
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根。(也叫二次方根）
（即x2=a，x叫做a的平方根。）
2.求一个数a的平方根的运算叫做开平方. a叫做被开方数。（被开方数≥0）11来自知识点2.012
问题拓展:由以下计算你能
否发现并总结某些规律？
(3)2 __ ( 3) 2 __ ( 3) 2 __
( 3)2 __
(1)2 __ 3
( 1)2 __ 3
102 __
(10)2 __
问题拓展:由以下计算你能 否发现并总结某些规律？
(3)2 __ ( 3) 2 __ ( 3) 2 __
( 3)2 __
(1)2 __ 3
( 1)2 __ 3
102 __
(10)2 __
规律总结：
a 2 a( a )2 a
知识点3.0
15
例题2.
16
苏科版数学八年级下册《12.2二次根式的乘除》说课稿5
苏科版数学八年级下册《12.2 二次根式的乘除》说课稿5一. 教材分析苏科版数学八年级下册《12.2 二次根式的乘除》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是二次根式的乘除法运算，这是初中数学中的一个重要内容，也是学生学习过程中比较难以理解的内容。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的乘除法运算规则，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的基本性质，对二次根式的加减法运算有一定的了解。
但是，由于二次根式的乘除法运算涉及到分数的乘除法运算，以及根号内的乘除法运算，这些内容对学生来说是比较陌生的，因此，学生在学习本节课的时候可能会感到困惑。
同时，由于二次根式的乘除法运算的规则不是直观易懂的，需要学生通过大量的练习才能够理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的乘除法运算规则，能够熟练地进行二次根式的乘除法运算。
2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流和教师的引导，培养学生的运算能力、解决问题的能力和合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体验到成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的乘除法运算规则，能够熟练地进行二次根式的乘除法运算。
2.教学难点：理解二次根式的乘除法运算的规则，能够灵活运用规则进行二次根式的乘除法运算。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流和教师的引导相结合的教学方法。
在教学过程中，我将充分利用多媒体教学手段，通过动画、图像和文字的结合，使抽象的二次根式的乘除法运算变得形象直观，帮助学生理解和掌握二次根式的乘除法运算规则。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的加减法运算，引导学生进入二次根式的乘除法运算的学习。
2.自主学习：学生自主探究二次根式的乘除法运算的规则，教师给予适当的引导和帮助。
12.2(2)平方根与开平方
12.2（2）平方根和开平方班级姓名学号一、复习1、一个正数a的算术平方根有个，平方根有个，并且互为，0的平方根是。
2、负数有没有平方根，为什么？3、计算下列各式的值:（1）（2）－（3）±（4）－解：（1）（2）（3）(4)二、问题：2究竟有多大？探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<2<2，即2的整数部分为.探究1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=________；2、思考：（1）观察计算结果，你有什么发现？小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：，所以2的十分位为.（2）：如何求2的百分位？方法讨论：用计算器计算：1.412=，1.422=. 因为 1.412<2<1.422，所以，得2的百分位为.3．巩固性问题：（1）请求出2的千分位.用计算器计算：因为，所以，得2的千分位为.（2）-2有多大？（精确到千分位）例1、用计算器求值（近似值保留四位小数）（1）5（2）78.5解：（1）（2）例2：用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）4（1）8 （2）29解：（1）（2）3、求下列各数的整数部分.(1)3 (2) 12 (3) 72练习1、平方根起源于正方形的面积，若一个正方形的面积为A ，那么这个正方形的边长为2、判断下列说法是否正确（1）5是25的算术平方根， （2）65是3625的一个平方根 （3）()42-的平方根是－4 ， （4）0的平方根与算术平方根都是03、下列各式是否有意义，为什么？（1） －3（2）3-（3）()22-（4）1021解：（1）（2）（3)(4)4、求下列各式的x 的值:（1）2x ＝25 （2）2x －81＝0 （3） 22x －18＝0 解：5．思考：满足x 2<2006的整数x 有多少个？6．用逼近法，求5的近似值.（保留3个小数）。
七年级数学-12.2 平方根与开平方
知识要点1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）； a“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.【识记】：1、0的平方根是0,0的算术平方根也是0；2、____________的算术平方根是它本身；3、正数有两个平方根，它们的和为_________；零的平方根是零；负数没有平方根；总结：【知识点二、平方根的性质】识记： 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()20a a =≥家庭作业一、选择题：1)一个数的平方根是它本身，那么这个数是(A )。
A.0B.1C.±1D.0或12)下列语句正确的是( D )。
A.4的平方根是2B.0没有算术平方根C.-1的算术平方根是-1D.3有两个平方根 3)5表示( B )。
A.5的平方根B.5的算术平方根C.5的负的平方根D.5开平方 4)9的平方根是±3，用数学符号表示为( D )。
A.39=B.39=±C.39±=D.39±=± 5)以下各数没有平方根的是(B )。
A.261⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.261⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.261⎪⎭⎫ ⎝⎛± D.61 6)下列说法正确的是( D )。
A.4的平方根是±2B.2a -一定没有平方根C.0.9的平方根是±0.3D.12+a 一定有平方根 7)下列结果错误的有( C )。
①2)2(2±=-； ②16的算术平方根是4； ③4112的算术平方根是27； ④2()π-的平方根是π A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8)下列语句写成式子正确的是(B )。
沪教版七年级(下)数学一课一练及单元测试卷和参考答案
七年级下数学一课一练及单元测试卷和参考答案目录第十二章实数12.1 实数的概念（1） 3 12.2 平方根和开平方（1） 6 12.3 立方根和开立方（1）9 12.4 n次方根（1）13 12.5 用数轴上的点表示数（1）17 12.6 实数的运算（1）22 12.7 分数指数幂（1）26 七年级(下)数学第十二章实数单元测试卷一30 第十三章相交线平行线13.1 邻补角、对顶角（1）34 13.2 垂线（1）38 13.3 同位角、内错角、同旁内角（1）42 13.4 平行线的判定（1）46 13.5 平行线的性质（1）50 七年级(下)数学第十三章相交线平行线单元测试卷一54 第十四章三角形14.1 三角形的有关概念（1）59 14.2 三角形的内角和（1）63 14.3 全等三角形的概念与性质（1）67 14.4 全等三角形的判定（1）7114.5等腰三角形的性质（1）77 14.6等腰三角形的判定（1）81 14.7等边三角形（1）85 七年级(下)数学第十四章三角形单元测试卷一90第十五章平面直角坐标系15.1 平面直角坐标系（1）94 15.2直角坐标平面内点的运动（1）98 七年级(下)数学第十五章平面直角坐标系单元测试卷一103 参考答案107数学七年级下 第十二章 实数12.1 实数的概念（1）一、选择题1．|－32| 的值是 （ ）A ．－3 B. 3 C ．9 D ．－92．下列说法不正确的是 （ ） A ．没有最小的有理数 B ．没有最大的有理数C ．有绝对值最小的有理数D ．有最大的负数 3．在3.0,2,2313,1010010001.0,4,0,)3(0π-，这七个数中，无理数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列命题中正确的是 （ ） A ．数轴上的点与有理数一一对应 B ．有限小数是有理数 C ．数轴上的点与实数一一对应 D ．无限小数是无理数5．下列说法：①无限小数都是无理数；②正数、负数统称为有理数；③无理数的相反数还是无理数； ④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤无理数与无理数的和一定还是无理数；⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数。
1平方根和开平方课件(3)
当 c>a>b>0时， c a b
请用计算器计算：
1.12=__，1.22=__，1.32=__， 1.42=__，1.52=__。
请用计算器计算：
1.12=__，1.22=__，1.32=__， 1.42=__，1.52=__。
视察：
由上述计算结果，可以得到 2 的十分位 是多少？
请用计算器计算： 1.12=__，1.22=__，1.32=__， 1.42=__，1.52=__。
视察：
由上述计算结果，可以得到
2 的十分位 是多少？
思考：
如何求 2 的百分位？
巩固性问题：
1、要求出 2 的千分位。 2、 2 有多大？(精确到千分位)
例题分析：
求下列各数的平方根的近似值 (结果保留三位小数)。
第十二章 开平方
12.2 平方根和开平方（2）
复习:
问题1： 2 的意义是什么？ 根据其意义，你能否猜测 它有多大?
复习:
问题2：比较面积分别为1、2和 4的三个正方形边长的大小， 能 否得到1、2和 2 之间的大小关 系？
复习:
问题2：比较面积分别为1、2和 4的三个正方形边长的大小， 能 否得到1、2和 2 之间的大小关 系？
8；
24
9
巩固练习
1、用计算器求值（近似值
保留四位小数）
5
5.78
2、求下列各数的整数部分， 你可以用几种方法？
3 12 72
问题拓展
思考：满足x2<2006的整数x 有多少个？
课正数的两个平方根？
作业布置
1 . 课本和练习册上的练习； 2 . 预习新课.。
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12.2 平方根和开平方（2）
教学目标：
1、经历2是无限不循环小数的探索过程，尝试用夹逼方法估计一个无理数的大小；
2、会用计算器求一个正数的正平方根，并按指定精确度取近似值；
3、会根据一个正数的正平方根求它的负平方根.
教学重点：
1、会用计算器对任意正数进行开方运算，并按指定精确度取其近似值；.
2．理解“逐步逼近数学思想”基本原理，对“极限”思想有初步认识.
教学难点：
尝试用逐步逼近法探索2的近似值.
教学过程：
一、复习引入：
1．问题：2的意义是什么？（面积为2的正方形的边长可用根号2来表示，它是一个无理数）
根据其意义，你能否猜测2有多大？
2．书第9页的探索：2的意义是“面积为2的正方形的边长”；比较面积分别为1、2和4的三个正方形的大小可知：因为面积1<2<4，所以边长1<2<2，即2的整数部分为1.
3．规律总结：当 c>a>b>0时，b
>.
c>
a
二、新授：
1、请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，
1.42=________，1.52=________；
2、思考：
（1）观察计算结果，你有什么发现？
小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<2<1.5，所以2的十分位为4.
（2）：如何求2的百分位？
方法讨论：用计算器计算：1.412=________，1.422=________.
因为1.412<2<1.422，所以1.41<2<1.42，得2的百分位为1. （3）请求出2的千分位.
师：从中可以看出，随着左右夹逼根号2的两个小数的位数不断增加，根号2与这两个小数的差别越来越小。
书第9页下半段：……
3、师：在实数范围内，任意一个正数都有两个平方根，求出了它的正平方根，可知它的相反数就是另一个平方根。
对于任意给定的一个正数a，可以利用计算器来求它的正平方根或求得正平方根的近似值。
4．例题分析：
（1）例题3：用计算器，求值（近似值保留四位小数）：
师：根号a的近似值，由计算器显示的结果按保留几位小数的要求用“四舍五入”的方法截取。
对于“开不尽”的正数的正平方根，只需
根据指定的精确度要求取近似值。
根号5可表示5的正平方根的准确值，也可以表示对5进行开平方运算求它的正平方根，这时按精确度取近似值。
（2）例题4：用计算器求下列各数的平方根的近似值（保留三位小数）[注意：解题的表达形式]
师：一个正数的平方根有两个，他们是互为相反数；通常可利用计算器求任意一个正数的平方根，先求它的正平方根，然后写出负平方根。
（在等式中要慎用“+”号，以免引起歧义）
三、巩固练习：
1、书第11页的练习
2、求下列各数的整数部分，你可以用几种方法？
(1)3 (2) 12 (3) 72
【说明】求a的整数部分一般有两种方法：
（1）找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“n2>a≥（n-1）2”，从而“n>a≥n-1”，可以确定a的整数部分为n-1；
（2）用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去.
四、小结：
1．“逐步逼近法”的基本原理.
2．用计算器求平方根的近似值不同于“逐步逼近法”，最后结果要用“四舍五入”法保留要求的精确度.
3．根据正平方根的近似值取其相反数可以得到一个正数的两个平方
根.
五、作业：练习册
教学设计说明
1．无理数是学生刚刚开始接触、与有理数完全不同的另一类数，其表示方法也是全新的，部分学生对“a”还没有真正的理解，只处于模仿的阶段；而“逐步逼近法”又是一个比较抽象、难以理解的数学思想方法，二个难点碰到一起，本节课处理不好，学生一节课的学习不但不会有太大的收获，同时还可能造成对数学的恐惧和厌恶.
为避免学生在学习过程中感到“难、烦”，可以把课堂教学各个环节设计地尽可能明晰，每个环节的任务明确，结论单一，同时，环节宜少不宜多.
在这种思路引领下，笔者设计了本节课，实施教学时，目标基本达到.
2．为了更加清楚地说明“2”的大小，利用其意义“面积等于2的正方形的边长”来引入既起到了复习的作用，同时，在上节课基础上利用拼正方形、比较三个正方形的面积，把面积的大小比较转化为边长的大小比较，渗透了“转化”的数学思想方法，而在动手操作中由可以更加直观地发现“逐步逼近法”的原理，为进一步探究问题打下基础.
3．在问题探究时，笔者设计利用几个子问题（先求整数部分、再求十分位、最后求百分位，而巩固性问题中继续求千分位）搭起台
阶，学生对使用计算器是很有热情的，因此请他们用计算器计算，然后把计算结果与2进行大小比较，可以提高他们的参与热情和学习兴趣.而几个子问题具有相同的解决方法，在这样不断重复的过程中，逐步逼近法的本质就被发现并掌握了.
4．部分学生的理解和学习能力较强，为了这部分学生能够有更多的收获，同时加强对逐步逼近法的理解，我设计了拓展性问题，引进“逐次逼近法”.这两种方法都体现了“极限思想”.。