一笔画趣味数学
浅谈一笔画问题
浅谈一笔画问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。
关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的着名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
一笔画问题是图论中一个着名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。
（三）其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。
◎偶顶点：指数为偶数的顶点。
趣味数学300题 第三章 画来画去。移来移去……
趣味数学300题第三章画来画去。
移来移去……先试一试下面五个图形可以一笔画成，这类图叫作“一笔画”。
一笔画的规则是：笔不离开纸；画线时，任何一段线都不许重复。
请你试一试。
几笔才能画成下面四个图形不能一笔画成，至少要几笔才能画成呢？铅丝要分几截在下面三个架子中，有一个只用一根铅丝就可以构成，而另外两个，要把铅丝分成几段才能构成。
请在每一个架子下注明，是用几根铅丝构成的。
擦掉哪一根线下图不能一笔画，可是，只要擦去一根线，图形就可以一笔画成。
应该擦掉哪一根线，你知道吗？走遍所有的门下图是一座房屋的平面图。
每两个相邻房间之间，都有一个门相通；除中间两个房间E和F 以外，每个房间都有门通向室外。
你能够不重复地穿过每一道门吗？提示：把每一个房间设想成一个点，室外也用一个点表示。
如果两个房间这间有门相通，设想相应的两点之间有线段连接。
画出这个图，上述问题就相当于一个“一笔画”。
十五座桥下图中有A、B、C、D、E、F六个小岛，各岛之间共有十五座桥（桥已编号）。
现在要从A 岛出发，不重复地走遍十五座桥，该怎么走呢？你是不是已经看出，这也是一笔画问题？十八世纪伟大的数学家欧拉从哥尼斯堡城的七桥入手，研究了“一笔画”问题。
因此，现代的图论著作和书籍中，都把“一笔画”称为欧拉问题，把能不重复走遍的路，称为欧拉路。
别致的画廊公园里布置了一个很别致的画廊（请看图）。
画廊分为25段，每段画廊两头的圆圈是休息处。
A处为入口，B处是出口，H处设有小吃部。
现在有一个人要不重复地看遍所有画廊，并且打算在看了8段画廊后恰好到小吃部（H处），吃点东西后，再看9段，又恰好回到小吃部（H处），最后看完剩下的8段画廊，从B处出来。
请你替这个人安排一条参观的路线。
最短路线下图是一些街道的平面图，中间九个方格是一些建筑物。
有一辆洒水车从A点出发，要往每一条街道上洒水最后仍回到A点。
洒水车在街道上必然有重复行驶，可是精心地选择行驶路线，能使重复行驶的路程尽可能少。
一笔画完园的三个扇形
一笔画完园的三个扇形
（原创版）
目录
1.引言：一笔画完园的三个扇形的趣味数学问题
2.分析：通过数学原理解析一笔画完园的三个扇形的可能性
3.解答：如何一笔画完园的三个扇形
4.结论：总结解答过程，强调数学的美妙与趣味
正文
一笔画完园的三个扇形是一个有趣的数学问题，它涉及到图论和几何学的知识。
在这个问题中，我们要求通过一笔画出三个扇形，使得它们共享一个公共的顶点，并且每个扇形的圆心角大小相等。
首先，让我们从数学原理的角度来分析这个问题。
根据图论，一个图形可以被分为若干个顶点和边。
在这个问题中，每个扇形可以被视为一个顶点，而连接三个扇形的公共顶点则是一个边。
因此，我们的目标是找到一种方法，使得这个边可以被一笔画出，并且三个扇形的圆心角大小相等。
接下来，我们来解答这个问题。
实际上，一笔画完园的三个扇形是可行的，但需要满足一定的条件。
首先，三个扇形的圆心角大小必须相等，也就是说，它们的圆心角都应该是 120 度。
其次，三个扇形之间应该共享一个公共的顶点，这个顶点是三个扇形的圆心角的公共端点。
最后，三个扇形应该两两相邻，即它们的边缘应该相连，形成一个封闭的图形。
在满足上述条件的情况下，我们可以通过一笔画出三个扇形。
具体来说，我们可以先画出一个 120 度的扇形，然后再从这个扇形的边缘出发，画出另外两个 120 度的扇形，使得它们的边缘与第一个扇形的边缘相连。
这样，我们就成功地一笔画出了三个扇形，它们共享一个公共的顶点，并且每个扇形的圆心角大小相等。
综上所述，一笔画完园的三个扇形是可行的，但需要满足一定的条件。
二年级奥数第10讲 学习一笔画带答案
第10讲学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复.它是一种有趣的数学游戏.那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点.【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况.思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连.①②③④（1）与一条线段相连的点有：（2）与两条线段相连的点有：（3）与三条线段相连的点有：（4）与四条线段相连的点有：归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点.练习11.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点.2.下面图形中有哪几个单数点？B答案：A D3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？B 答案：A BCDE F【例题2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？AC C（1） O （2）B DF（3）D【思路导航】图（1）中A 、B 、C 、D 、O 五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成.画时可以从任意一点出发.图（2）中A 、C 、D 、F 四个点都是双数点，B 和E 两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成.画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点.图（3）中A 、D 是双数点，B 、C 、E 和F 四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成.练习21.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1）（2）答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个2.下列图形能一笔画成吗?为什么？答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零图（2）不可以画成，因为单数点只有一个图（3）不可以画成，单数点个数大于两个3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？图（1）单数点个数为0，可以一笔画出图（2）单数点个数为4个，不可以一笔画出图（3）单数点2个，可以画出【例题3】下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？AC思路导航：题中要求两人必须走遍所有街道，最后到达C.仔细观察，可以发现图中有两个单数点：A 、C.这就是说：甲可以从A 点出发，不重复地走遍所有街道，最后到达C.而B 点是双数点，从B 点出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道的总和，而乙所走的路程一定比这个总和多，所以甲最先到达C.解：甲最先到达C.练习31.下图是某新村小区主干道平面图.甲、乙两人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C.问谁能最先到达C?答：A 先到达，因为A 是单数点，可以不重复走遍所有街道.2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？B答：A 先到达，因为A 是单数点.3.一只蚂蚁分别从A 点和B 点出发，爬遍所有的小路.如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？答：从A 点出发用时最少【例题4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？（1）（2）思路导航：此图共有9个点，其中5个点是双数点，4个点是单数点，由于超过两个单数点，因此不能一笔画成.要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到0或2），所以只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画，有时也可以将多余的两个单数点间的连线去掉，改成一笔画. 解：图（1）有4个单数点，不能一笔画成.要改成一笔画成，如图（2）练习41.将下图改成一笔画.1. 2.3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画.【例题5】邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？A G HD B思路导航：图中一共有九个点，其中单数点有2个（点D 和点F ），因此能一次不重复走过所有的路，但必须从这两个单数点中的一个出发，再回到另一个单数点.解：邮递员叔叔只能从点D （或点F ）出发，走过所有的路后，再回到点F(或点D) .练习51.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设在哪儿呢？答：可以从任一点出发.2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？答：从A点出发，终止于B点.或从B点出发，终止于A点.3. 下图是“儿童乐园”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走？D CAB答案：从A点出发，终止于C点或从C点出发，终止于A点【拓展提高】1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？答：从A点出发，终止于B点；或从B点出发，终止于A点2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成.3、小明和玲玲玩“过木桥”的游戏（如下图），他们谁能不走重复的路？小明玲玲答：小明，因为他处于奇数点4、在王大爷家的花园中有一些路（如下图），王大爷每次给花浇水时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给花园加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画.。
小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一） 一笔画以及多笔画【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】 右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门． 本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9； 图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】 邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过 这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局 他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。
一笔画完的规律
一笔画完的规律摘要：一、引言1.一笔画完的概念2.一笔画完的趣味性和挑战性二、一笔画完的规律1.基本规律a.起点和终点相同b.只能向一个方向画线c.不可重复经过已画过的线段2.特殊情况a.多边形b.连续相同线段c.转折点三、应用和挑战1.实际应用a.设计游戏b.益智类玩具2.挑战与研究a.寻找更复杂的一笔画完图形b.探究一笔画完与其他数学领域的关联四、总结1.一笔画完规律的重要性2.未来研究方向正文：一、引言在闲暇时光，你是否曾经尝试过一些有趣的涂鸦游戏，例如一笔画完？这个游戏看似简单，只需一根连续的线条，却充满了趣味性和挑战性。
那么，你是否了解一笔画完背后的规律呢？本文将为你揭示这笔画完的神秘规律。
二、一笔画完的规律要了解一笔画完的规律，首先我们要明确其基本概念。
一笔画完是指用一根连续的线条，不离开纸面，不重复经过已画过的线段，将图形中所有的点连接起来。
根据这个定义，我们可以总结出一笔画完的三条基本规律：1.起点和终点相同2.只能向一个方向画线3.不可重复经过已画过的线段在遵循这三条基本规律的前提下，我们可以尝试解决一些特殊情况。
1.特殊情况a.多边形对于一个多边形，我们可以从一个角点出发，连接到与之相邻的另一个角点，这样就能保证一笔画完。
b.连续相同线段当遇到连续相同的线段时，我们可以选择从其中一段开始，沿着这个方向画线，直到遇到不同的线段。
c.转折点在转折点处，我们需要判断哪个方向是符合规律的。
一般来说，从较长的线段转向较短的线段是符合规律的。
三、应用和挑战了解了一笔画完的规律，我们可以将其应用到实际生活中。
例如，设计一款基于一笔画完的游戏，或者制作一些具有益智功能的玩具。
此外，我们还可以挑战自己，寻找更复杂的一笔画完图形，或者探究一笔画完与其他数学领域的关联。
四、总结总的来说，一笔画完的规律为我们提供了一个理解这个趣味游戏的理论基础。
通过掌握这些规律，我们可以更好地享受这个游戏带来的乐趣，同时也可以挑战自己的智慧。
二年级奥数：《有趣的一笔画》
二年级奥数：《有趣的一笔画》（预热）前铺知识一、认识单双数单数：1、3、5、7、9、11……双数：0、2、4、6、8、10……（注意：0是最小的双数）二、了解一笔画的初步概念对于一笔画的具体条件，我们上课的时候会加以说明，但是一笔画出的意义，可以让孩子提前有所认识：笔不离开纸，不来来回回重复画，一笔画成.比如：乙日十这三个字中，前两个是可以用一笔写出来的，而第三个则不可以.三、找规律品川这两个字显然都不能用一笔画画出，它们之间有什么共同点呢？尝试可以发现要想画完整笔都得离开纸，也就是说是断开的，没有连通，也叫不连通.所以一笔画的要求是首先得是连通图.本讲重点这一讲的知识实际上是比较特别的，是否能够一笔画用数学知识来概括的非常的复杂，但是同学们却能够通过找规律发现本堂课的知识并很好的掌握.同时可以培养孩子平时找规律的习惯，这也是数学题目中常见的一种方法，也是一种非常科学的思维习惯——归纳与演绎.三年级的时候我们会进一步教同学们多笔画的知识，对奇点偶点的判断也是学习这类型问题的基础.如何预习？为了保护孩子课前的好奇心和学习兴趣，以及保证课堂效果，家长在给孩子预习的时候，一定要把握好度.预习，切忌给孩子讲解书本上的例题和知识点，因为孩子容易先入为主，如果家长选取的方式方法不当，那么孩子很难转换思路了；另外，家长给孩子讲过例题后，孩子可能会觉得自己已经学会了，上课的时候就不愿意认真听了.我们预习的目的是回顾这一讲课前的铺垫知识，以及引起孩子的思考，因此家长可以把我们的这份预习资料打印出来，让孩子自己看一看，如果孩子有不明白的，您可以适当点拨.《有趣的一笔画》【知识点总结】一、什么是一笔画？特点：笔不离纸，不重复，一笔画成.前提：能一笔画的图形必须是连通图.【例】：下面的图形能不能一笔画成？都不能，因为都不是连通图.二、单数点和双数点1. 单数点：从该点出发一共有单数条线的点；2. 双数点：从该点出发一共有双数条线的点.判断小技巧：可以想象自己站在那个点有几条路可以走.（上，下，左，右）三、一笔画的判定1. 图形是连通图2. 有0个或2个单数点的能一笔画3. 超过2个单数点的不能一笔画【例】下面的图形哪些可以一笔画成？2个单数点4个单数点0个单数点可以一笔画不能一笔画可以一笔画四、如何一笔画1.有0个单数点的：同进同出.意思是从哪一个点开始画就哪一个点结束.2.有2个单数点的：单进单出.意思是从一个单数点开始画，另一个单数点结束.五、多笔画变一笔画方法：添（去）单数点之间的线【例】下面的图形都不能一笔画，想办法给每个图形添加一条线段让它变成可以一笔画的图形.（1）（2）（1）（2）本来的图形都有4个单数点不能一笔画，单数点多了，至少得变成2个单数点才能一笔画，那就想办法让其中两个单数点变成双数点，只要在任意两个单数点间添上一条线就可以了.六、一笔画的应用方法：画点线图画法：区域成点，通道成线.【例】下图是一幅简易地图，能不能一次性不重复地走完所有的路.乙村甲村丙村首先要明白题意，把人看成笔，就变成了一次性不重复地画完所有的路，其实就是一笔画！先画出点线图：甲村，乙村，丙村看成点，道路看成线.再判断：有两个单数点，可以一笔画.甲→乙→丙→甲→乙【学习建议】本讲讲的是一笔画，首先要了解什么是一笔画，再学会如何判断能不能一笔画，怎么画？问清楚自己这几个问题简单的一笔画就没问题了.然后再去拓展一笔画的应用，以及初步掌握多笔画如何变成一笔画，更多关于多笔画的内容我们在三年级还会遇到.最后，学习这讲的内容还需要同学们勤标记，多尝试，记规律.《有趣的一笔画》练习1. 判断下面的图形能不能一笔画？为什么？A B C D2. 下面的图形都是不能一笔画成的，你能不能去掉一条线，使他们变成一笔画？3. 下面是一座公园的道路设计图，问能不能一次不重复的把所有小路都走遍？要从哪里开始？HGA D FE CB4、小明要把四个三角形和一个正方形一次性从纸上剪下来，他能做到吗？5、平安小镇上有两个邮递员，甲邮递员喜欢从A 点出发开始送信，乙邮递员喜欢从B点出发开始送信，他们俩都选择最优路线，谁能更快的跑遍多有的街道呢？6. 幸福乡有四个村庄，幸福河从村庄间流过，村民们在河上一共建了5 座桥，问来到幸福乡的人能不能一次不重复地走遍所有的桥.答案解析1.①0个单数点，可以一笔画；②0个单数点，可以一笔画；③4个单数点，不可以一笔画；④2个单数点，可以一笔画2. 答案不唯一.3.图中有两个单数点A和H，从A或H开始就能一笔画.4.有两个单数点，可以一次性剪下所有的图形.5.图中有两个单数点A和E，从单数点出发可以不重复地跑遍所有街道，从B点出发必须要重复才能跑遍多有街道，所以从A点出发的甲邮递员更快.6. 画点线图如下，有两个单数点，所以可以一次不重复走遍所有的桥.。
(小学一年级作文)趣味数学-笔画和欧拉的七桥问题
趣味数学-笔画和欧拉的七桥问题老师要求一笔要画完，左边的这三个，很简单啊，多好看的飞机、大树和鱼儿呀！
老师给我们讲了一个故事：在德国的有个人提出一个问题：一个步行者从这四块陆地的任何一块出发，怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥？很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决这个问题。
直到____年，数学家欧拉研究并解决了此问题，他把这个问题归结为“一笔画”问题，证明上述走法是根本不可能的。
1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
3、其他情况的图都不能一笔画出。
以后，一笔画一个图形的问题再也难不倒我了！欧拉的故事告诉我，做任何事情都需要认真细致的去观察，除了多次的尝试去做，也需在反复做的过程中去总结，才会发现真理！
老师通过一个画画小游戏，给我们讲解了数学家欧拉七桥故事，让我们明白了做任何事情都需要认真细致的去观察，除了多次的尝试去做，也需在反复做的过程中去总结，才会发现真理！。
小学奥数奇妙的一笔画题库教师版
奇妙的一笔画例题精讲所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点哪些点是奇点【解析】奇点：J D H F偶点：A E B C G I【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．【解析】图a能，因为有2个奇点，图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为因为图中全是奇点【例 3】下面图形能不能一笔画成若果能，应该怎样画【解析】图1能因为图中全是偶点，图2能因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点．【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出哪些不能一笔画出【解析】第1个能，2、3不能【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁该怎样爬【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形【解析】可以．【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F和I点．【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-【例 10】观察下面的图，看各至少用几笔画成【解析】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出．【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出．图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出．一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【例 12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥【解析】能【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走【解析】不能【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米【解析】8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米【解析】最多34厘米【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：B【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短全程多少千米【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30 千米．走法参考右下图(走法不唯一)．。
一笔画完的规律
一笔画完的规律
【实用版】
目录
1.一笔画完的定义与特点
2.一笔画完的规律
3.一笔画完的应用实例
4.结论
正文
一笔画完的定义与特点
一笔画完，又称连通图，是指在一个平面内，通过一笔连续的线段将所有点连接起来，并且线段不能重复经过已经连接过的点。
一笔画完是一个具有挑战性和趣味性的数学问题，它涉及到图论的知识，具有广泛的应用。
一笔画完的规律
一笔画完的规律可以归纳为以下几点：
1.所有点必须处于连通状态，即从一个点出发，可以通过线段到达所有其他点。
2.奇数点时，必须有一个点是起点或终点，否则无法连接所有点。
3.偶数点时，起点和终点必须相邻，否则无法连接所有点。
4.所有线段不能相交，否则会导致无法通过一笔画完连接所有点。
一笔画完的应用实例
一笔画完在实际生活中有很多应用，例如：
1.旅行商问题（TSP 问题）：在给定的城市之间选择最短路径，使得
一辆卡车能够一次性地经过所有城市并返回起点。
2.电子电路设计：在印刷电路板上设计线路，使得所有元件能够通过一笔画完连接。
3.物流配送：在一定区域内设置仓库和配送点，使得所有客户能够通过一笔画完的方式接收货物。
结论
一笔画完问题不仅是图论领域的一个有趣问题，同时也具有广泛的实际应用。
了解一笔画完的规律和特点，有助于解决实际生活中的许多问题。
数学新思维一笔画
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我能用一笔画出 下面这些图形。
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例1：判断下列图形是否能一笔画成，并说明理由。
我发现这些图形中都有好多点。 这些点对我们的判断有帮助吗？
这些点叫做线段的端点。
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（1）从一个端点引出的线段条数是双数的，叫 做双数点（偶点）。 （2）从一个端点引出的线段条数是单数的，叫 做单数点（奇点）。
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端点数
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例3：下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而 又不重复，出、入口应该设在哪里？
分析
这个图形中有2个单数点（I、E），7个 双数点。怎样才能一笔画这个图形呢？
一笔画的要求是，以一个单数点为起点，以另 一个单数点为终点。所以出、入口应该分别设在I 点、E点。
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例4：下面的图形能不能一笔画成？如果不能，请你加一条线 使这个图形能一笔画成。
分析
这个图形中有4个单数点，4个双数点。怎样才 能一笔画这个图形呢？
这个图形要想一笔画成， 就得全是双数点或只有 两个单数点，怎么办呢？
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在两个单数点之间 添上一条线就能使这两个 单数点变成双数点了！
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例5：下面的图形能不能一笔画成？如果不能，请你添加线段 使其能一笔画成。
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分析
这个图形中有4个单数点，5个双数点。怎样才能一笔画这个图 形呢？
1、参观博物馆
——一笔画
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程程和朋朋要参观完博物馆的每个角落，但是他们又不想走 重复的路线。
你能帮他们制定出合理的参观路线吗？
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不走重复路线，就是数学中一笔画的问题。
“一笔画”是指笔不离开纸， 而且每条线都只画一次不准
重复而画成的图形。
“一笔画”是一种有趣的数学游戏，什么样的图形可以一笔画成呢？ 试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。
兴趣 七桥问题与一笔画
仔细观察并找出规律
①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关. 其个数是0或2. ②其中若奇点个数为0，可选任一个点做起点，且一笔画后可 以回到出发点。若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点， 而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。图 形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有 点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点 的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一 点结束。在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇 点的图形。
仔 细 观 察 并填写
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一 试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？ 对于图①②③⑥⑦有什么共 同的特点？如果它们能一笔 画，必须从什么样的点出发 ？你得到了那些结论？ 对于图①②③④⑤⑥⑨有什 么共同的特点？如果它们能 一笔画，必须从什么样的点 出发？你得到了哪些结论？
我们是个设计规划师
知识来源于生活，通过学以致用，把在探究活动中学到的 知识又服务日常生活之中。在此设置三道练习题，让学生 分析问题及解决问题的能力在此得到升华，同时也增强数 学的趣味性。 一辆洒水车要给某 城市的街道洒水， 街道地图如下：你 能否设计一条洒水 车洒水的路线，使 洒水车不重复地走 过所有的街道，再 回到出发点？
1、今天你学到了你想要的只是了吗？ 2、所学的知识能够对你解题有帮助吗？ 3、有没有你想学但是没有学到的知识。 4、...... . . . . . .
同学们，下节课再见！
聪明在于学习，天才在于积累。
哥尼斯堡问题
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
答：因为奇点个数为4，所以七桥问题不能一笔画，也就 是说，不能不重复地走过所有的七座桥，再回到出发点 。
一笔画出的数学题
一笔画出的数学题
今天数学课老师给我们出了一道很有趣的数学题目，让我们用一笔画出一个图形，使得图形上每个点都只被画一次，最后得到的图形可以分解成若干个三角形。
我们思考了一会儿，尝试了几次，发现好像不太容易完成这个任务。
但是，我们并没有放弃，而是继续尝试。
我们发现，要想一笔画出图形，并且满足上述条件，就必须先找到一些规律。
我们发现，所有的三角形都是由三个点组成的，而且这三个点之间的连线不会相交。
于是我们开始寻找这些点，不断尝试，最终找到了一组符合要求的点序列。
然后，我们就开始画图了。
画图的过程中，我们需要依次连接这些点，但是不能出现交叉的情况。
这个过程中，我们需要不断调整方向和角度，才能最终完成任务。
最终，我们成功地用一笔画出了这个数学题，得到了一个可以分解成若干个三角形的图形。
这个过程虽然有些困难，但是我们也学到了很多。
我们明白了，只有不断尝试，才能发现问题的规律，并最终解决问题。
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一笔画练习题
一笔画练习题一笔画练习题是一种有趣而具有挑战性的智力游戏。
它要求玩家在不抬笔、不重复线段，且必须将所有点连接起来的条件下来画出一个特定的图形。
这种练习题既可以锻炼我们的空间想象力，又能提高我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将对一笔画练习题的原理进行解析，并提供一些经典的练习题供读者挑战。
一笔画练习题的原理是利用图论中的欧拉图和哈密顿图的概念。
欧拉图是指一种只有0个或2个奇数度顶点的连通图。
换言之，如果一个图中存在奇数度顶点的个数大于2，那么这个图就不可能被一笔画出。
相反，如果一个图中所有顶点的度数都是偶数，那么这个图就可以被一笔画出。
哈密顿图是指一种包含每个顶点且不重复经过每条边的图。
如果在一笔画的过程中，我们能够遍历每个点恰好一次，并且每条线段都恰好被经过一次，那么这个题目就可以被正确解答。
接下来，我们来看几个经典的一笔画练习题。
1. 五个点的一笔画题目题目要求：画出一个正五边形，五个顶点依次为A、B、C、D、E。
解答：根据欧拉图的原理，五个顶点都是偶数度，因此可以一笔画出。
首先，我们可以从A点开始，按照顺时针或逆时针的方向连接四个线段分别到达B、C、D、E五个顶点，最终回到A点，形成一个正五边形。
2. 六个点的一笔画题目题目要求：画出一个六边形，六个顶点依次为F、G、H、I、J、K。
解答：根据欧拉图的原理，六个顶点中有两个顶点的度数为奇数，所以不可能一笔画出。
这也是六个点的一笔画题目中常见的例子，可以提醒我们在做一笔画题时要注意图的结构。
3. 七个点的一笔画题目题目要求：画出一个正方形，七个顶点依次为L、M、N、O、P、Q、R。
解答：根据欧拉图的原理，七个顶点中有一个顶点的度数为奇数，所以不可能一笔画出。
我们可以设想，从任意一个顶点开始，我们无法回到这个顶点，因为每次画线段都必须经过一个未访问的点，而这个未访问的点最后不能回到起点。
因此，无论从哪个点开始，都无法满足条件。
通过以上的例子，我们可以看出在一笔画练习题中，图的结构对是否能够一笔画出影响很大。
一笔画趣味数学
甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发
以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出 发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)。 如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
一笔画图片欣赏
一笔画图片欣赏
课后作业
请你观察生活，设计一个运用“一笔 画”的数学知识来解决的实际问题，并与 同伴交流。
谢谢！
A
B
C
D
欧拉：“一笔画图”的规 规律律3：
如果没有奇点，那么每个点都能作为起点；
如果有两个奇点，那其中一个必为起点，另 一个必为终点。
怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？
零食区
服
文
装家电区具区区日常用品区课堂练习
下面是一公园的平面图，要使游客走 遍每一条路，且不重复，问出入口应设在 哪里？
让我们先来了解两个新概念
1、奇点：有奇数条边相连的点 2、偶点：有偶数条边相连的点
探究“一笔画”与奇偶点个数之间的关系
图形 能否一笔画成 奇点个数 偶点个数
能
2个
2个
能
2个
4个
能
0个
6个
能
0个 10个
能
0个
8个
能
0个
9个
欧拉：“一笔画图”的规
规律律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；
规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关，其个数是0或2.
把与奇数条边相连的结点叫做奇点， 把与偶数条边相连的点称为偶点.
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成； 画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为 终点画完此图。
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图， 一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点， 另一个奇点为终点。
小学奥数著名问题之——一笔画问题习题集
一笔画问题（教师必备）一、欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
二、顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。
如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。
所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。
如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。
将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。
一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。
如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。
所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
三、到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画，看下面的例题：1.下列图形分别是几笔画？怎样画？2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？4.下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。
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探究“一笔画”与奇偶点个数之间的关系
图形
能否一笔画成 奇点个数 偶点个数
能
能 能 能 能
2个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2个 0个
2个 4个
6个 10个
8个
0个
0个 0个
能
9个
欧拉：“一笔画图”的规 规律律 1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；
规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关， 与奇点个数有关，其个数是0或2.
从哥尼斯堡 七桥问题谈起
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸 联系起来，
那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方， 人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样 才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到 出发点呢？
直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个 问题的不可能性。 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形（如下图）能否一笔画出的问题了.
课前小游戏——科学家的生日都有此规律
按照以下方法计算其结果都能等于“9”，你 也用你的生日来试试吧！看看你有成为科学家的 潜质吗？
将生日日期组成一个八位数 如：爱因斯坦的生日1879年3月14日，即18790314 任意重新排列这些数字 如：37140819 用大数减去小数 如：37140819-18790314 =18350505 把差的各位上的数字加起来 如果加起来会等于9；或将得到的两位数相加 能等于9（如1+8+3+5+0+5+0+5=27 2+7=9） 你能等于“9”吗？
A
B
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成； 画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为 终点画完此图。 ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图， 一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点， 另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
让我们先来了解两个新概念
1、奇点：有奇数条边相连的点 2、偶点：有偶数条边相连的点
欢迎您多提宝贵意见！
甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发 以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出 发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)。 如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
一笔画图片欣赏
一笔画图片欣赏
课后作业
请你观察生活，设计一个运用“一笔 画”的数学知识来解决的实际问题，并与 同伴交流。
世界是美的， 只要有一双发现美的眼睛； 数学是美的， 只要有一颗发现美的心灵。
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B
C
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欧拉：“一笔画图”的规 规律律 3：
如果没有奇点，那么每个点都能作为起点； 如果有两个奇点，那其中一个必为起点，另 一个必为终点。
怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？
零食区 服 装 区 家电区 日常用品区 文 具 区
课堂练习
下面是一公园的平面图，要使游客走 遍每一条路，且不重复，问出入口应设在 哪里？