高一数学复习专题一
高一上学期数学重点知识点复习
高一上学期数学重点知识点复习1.高一上学期数学重点知识点复习篇一函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数。
2.高一上学期数学重点知识点复习篇二求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。
人教版高一数学上学期期末复习专题(一)--直线与方程
高一数学上学期期末专题复习（一）----直线与方程【基础知识】一、直线的倾斜角α与斜率k 的关系1．直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为00；（2）直线的倾斜角的范围：00180α≤<．2．直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率．k ＝tan α(α≠90°)；（2）倾斜角为90°的直线没有斜率．3．经过两点11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线的斜率公式为()212121x x x x y y k ≠--=；【注意1】每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率． 【注意2】若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k =tan α=1212y y x x --．二、直线方程的五种形式经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示；三、直线1l 与直线2l 的的平行与垂直判断方法： （1）已知直线1l ：11y k x b =+，222:l y k x b =+，① 1l //2l ⇔12k k =，且12b b ≠；② 1l ⊥2l ⇔121k k =-； ③1l 与2l 相交⇔12k k ≠ 说明：这种判断方法要求两条直线的斜率都存在；； （2）已知直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l①1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=； ②1l //2l ⇒12210A B A B -= ；③1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠ 四、几个公式（1）两点间的距离公式：12||PP =（2）已知111222(,),(,)P x y P x y 的中点坐标为1212,)22x x y y ++（ （3）点000(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（4）两平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离：d =五、三点共线的证明方法 【典型例题】考点1 直线的倾斜角与斜率1．直线310x ++=的倾斜角是 ；2．设点(2,2),(3,1)A B ---，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ；直线l 的斜率k 的取值范围是 ； 考点2 两条直线的位置关系3．若直线1:(1)3l ax a y +-=与直线2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为 .4．已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=，2:2(3)230l k x y --+=平行，则k = ； 5．已知两条平行直线12:3450,:60l x y l x by c ++=++=间的距离为3，则b c += ．考点3 直线的方程6．（教参84页）过点(2,3)的直线l 被两平行直线1:2590l x y -+=与2:2570l x y --=所截线段AB 的中点恰好在直线410x y --=上，求直线l 的方程．7．（课本115也第8题）过点(3,0)P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．考点4 应用（选讲）8．已知01x <<，01y <<，求证：+≥．9．（教参第91页）证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．10．（教参第97页）已知点(3,5),(2,15)M N -．在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使||||PM PN +最小，并求出最小值．直线与方程----练习一、基础巩固1．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则y ＝ ； 2．设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ；3．过两点22(2,3)A m m +-、2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为045，则实数m = ；4．已知直线(3)453m x y m ++=-与直线2(5)8x m y ++=平行，则实数m = ； 5．已知直线(3)453m x y m ++=-与直线2(5)8x m y ++=相交，则实数m 的取值范围是 ；6．已知直线(32)(14)80a x a y ++-+=与直线(52)(4)70a x a y -++-=垂直，则实数a = ；7．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=的距离等于 ； 8．直线l 过点(2,3)A -，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程是 ；9．已知点()()()30,0,0,,,O A b B a a ，若ABC ∆为直角三角形，则必有（ ）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=10．若直线被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则的倾斜角可以是： ①15； ②30；③45；④60；⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）11．已知直线l 经过点A (2，3)，且原点到直线l 的距离为2，则直线l 的方程是 ； 12．直线l 经过点(1,2)P ，且(2,3)A ，(0,5)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是 ；13．已知直线l 经过直线3450x y +-=和2380x y -+=的交点，且垂直于直线250x y ++=,则直线l 的方程是 ；14．光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ∶10x y ++=上，反射线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．二、能力提升15．函数()f x 的最小值是 ；16．已知直线1l 和2l 夹角的平分线所在直线的方程为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=> ，那么2l 的方程是（ ）A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=17．直线:(32)(4)220()l x y R λλλλ++++-=∈经过定点M ，则定点M 的坐标是 ；18．已知△ABC 三边所在直线方程为AB ∶34120x y ++=，BC :43160x y -+=，CA ∶220x y +-=，求：∠ABC 的平分线所在的直线方程．高一数学上学期期末专题复习（一）——直线与方程答案【典型例题答案】 1．0120; 2．3[,]44ππ,k ≥1或k ≤－1； 3．1a =或3a =-; 4．3或5; 5．-12或48; 6．4570x y -+=; 7．8240x y --=10．先求出点M 关于直线l 的对称(3,3)M '-，直线M N '的方程是：18510x y +-=， 直线M N '与直线l 的交点P 即为所求的点，8(,3)3P ，||||PM PN +最小值等于||M N '=直线与方程课后练习答案1．－3； 2．k ≥34或k ≤－4； 3．2m =-；4．7-； 5．1m ≠-,且7m ≠-．6．0a =或1a =．7．72； 8．320x y +=或50x y -+=或10x y +-= 9．C 10．①⑤ 11．2x =或512260x y -+=； 12．420x y --=或1x =；13．250x y -+=14．入射光线所在直线的方程是：5420x y -+=反射光线所在直线的方程是：4510x y -+=15 16．A 17．(2,2)M - 18．740x y -+=17．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： ．【解析】本小题考查直线方程的求法。
高一数学期末复习资料(1-5)总复习题(共5套)
期末复习资料之一 必修1 复习题一、选择题1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.xy 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x=2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A.a>5,或a<2B.2<a<5C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<45、 已知xax f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A. 0>aB. 1>aC. 1<aD. 10<<a6、函数y ＝(a 2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.｜a ｜>1 B.｜a ｜>2C.a>2D.1<｜a ｜<26、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( --8、值域是（0，＋∞）的函数是（ ）A 、125xy -=B 、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C、yD9、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞10、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A 、0<a<b<1<d<cB 、0<b<a<1<c<dC 、0<d<c<1<a<bD 、0<c<d<1<a<b11、函数f(x)=log 31(5-4x-x 2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］12、a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 35，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b13、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］14、设函数1lg )1()(+=x x f x f ，则f(10)值为（ ）A ．1 B.-1 C.10 D.101 二、填空题 15、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 16、．函数y ＝2||1x -的值域为________ 17、将(61)0，2，log 221,log 0.523由小到大排顺序：x18. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =19、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为20、函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|>1，则a 的取值范围是 。
专题1第一章集合与函数的概念知识点与基础巩固题(原卷版)高一数学复习巩固练习(人教A版)
专题1人教A 版集合与函数的概念知识点与基础巩固题——寒假作业1（原卷版）集合部分考点一：集合的定义及其关系 基础知识复习 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.考点二：集合的基本运算 基础知识复习1．交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A ∩B(读作”A 交B ”)，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。
记作：A ∪B(读作”A 并B ”)，即A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}．3、交集与并集的性质：A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A.4、全集与补集（1）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U 来表示。
（2）补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---集合的概念
高一数学复习考点知识与题型专题讲解第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【考点梳理】考点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．考点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R考点四：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【题型归纳】题型一：集合的概念1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（）①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③2．下列说法中正确的有（）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A．1B．2C．3D．43．下列叙述正确的是（）A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1,1--B ．{}220x x +==∅C ．集合(){},5,6M x y x y xy =+==表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,3,5与集合{}3,1,5是不同的集合题型二：元素与集合的关系4．下列关系中①0N ∈；②27Z ∈；③3Z -∉；④Q π∉正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列五个写法，其中正确写法的个数为（ ）①{}{}00,1,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅IA ．1B ．2C ．3D ．46．设集合2{|2}M x R x =∈…，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a M ÜB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M Ü题型三：元素特性技巧解题7．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知{},1,1A x x =+，{}22,,B x x x x =+，且A B =，则x =（ ）A ．1x =或1x =-B ．1x =C ．0x =或1x =或1x =-D ．1x =-9．含有三个实数的集合既可表示成,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20132014a b +（）A ．-1B ．0C ．1D ．2题型四：集合的表示方法10．若用列举法表示集合311(,)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{}32x y ==，B ．{}(32)，C ．{}32，D ．32x y =⎧⎨=⎩11．在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（ ）A ．{（x ，y ）|x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0}B ．{（x ，y ）|x ＝0且y ＝0}C ．{（x ，y ）|xy ＝0}D ．{（x ，y ）|x ，y 不同时为零}12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）A ．{x |x =2n ±1，n ∈Z }B ．{x |x =2n +1，n ∈Z }C ．{x |x =2n +1，n ∈N *}D ．{x |x =2n +1，n ∈N }【双基达标】一、单选题13．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠315．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）A ．{x |-3<x <11，x ∈Z }B ．{x |-3<x <11}C ．{x |-3<x <11，x =2k }D ．{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }16．下列关系正确的是（ ）A ．0N *∈B ．Q π∈C ．0∈∅D ．2R ∈17．集合A ＝{1，－3，5，－7，9，L }用描述法可表示为（）A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N }B ．{x |x ＝（－1）n （2n －1），n ∈N }C ．{x |x ＝（－1）n （2n ＋1），n ∈N }D ．{x |x ＝（－1）n －1（2n ＋1），n ∈N }18．下列叙述正确的是（ ）A ．集合{x |x <3，x ∈N }中只有两个元素B ．{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}C ．整数集可表示为{Z }D ．有理数集表示为{x |x 为有理数集}19．有下列四个命题：①{0}是空集；②若a N ∈，则a N -∉；③集合2{|210}A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．320．已知关于x 的方程26(0)x x a a -=>的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是（ ）A ．3，6，9B ．6，9，12C ．9，12，15D ．6，12，1521．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）A ．{ x |是小于18的正奇数}B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且22．给出下列6个关系：①22R ∈，②3Q ∈，③0N ∉，④4N ∉，⑤Q π∈，⑥2Z -∉，其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【高分突破】23．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．424．集合{x |3213x -<-≤，x ∈Z }等于（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{0，1}25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（）A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M26．已知x，y都是非零实数，x y xyzx y xy=++可能的取值组成集合A，则（）A．2∈A B．3∉A C．－1∈A D．1∈A27．设集合{1,2,3,4}A=，{5,6}B=，{|,}C x y x A y B=+∈∈，则C中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．628．设非空数集M同时满足条件：①M中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11aa+-∈M.则下列结论正确的是（）A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中至少有4个元素29．已知集合{1M=，2m+，24}m+，且5M∈，则m的值为（）A．1或1-B．1或3C．1-或3D．1，1-或330．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（）A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B二、多选题31．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ）A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R}32．(多选题)若集合A ={x |kx 2+4x +4=0，x ∈R}只有一个元素，则实数k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．333．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|Z k n k n =+∈，0k =，1，2，3，4，给出如下四个结论，其中，正确结论的是（ ） A ．[]20211∈B ．[]33-∈C ．若整数a ，b 属于同一“类”，则[]0a b -∈D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一“类”34．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下四个命题，其中正确命题的有（ ）A ．若1m =，则{}1S =B ．若12m =-，则114m ≤≤C ．若12l =，则202m -≤≤D ．112m -≤≤ 35．下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1，1}D ．0与{0}表示同一个集合36．设集合{}3,,A x x m n m n N *==+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ） A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法37．若集合A 具有以下性质：（1）0∈A ，1∈A ；（2）若x ∈A ，y ∈A ；则x ﹣y ∈A ，且x ≠0时，1x ∈A ．则称集合A 是“好集”．下列命题中正确的是（ ）A ．集合B ＝{﹣1，0，1}是“好集”B ．有理数集Q 是“好集”C ．整数集Z 不是“好集”D ．设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x +y ∈A三、填空题38．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0______N ； （2）2021(1)-_____Z ；（3）44_____Q ； （4）2()π-_____R ；（5）1_____{|}1x x y x =-； （6）1_____{|}1x y y x =-； （7）(2,2)_____{|}1x x y x =-； （8）∅_____ {,{0}}∅.39．若集合2{|440}A x kx x =-+=只有一个元素，则集合A =______．40．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________.41．设集合{}222,3,3,7,2,0A a a a B a a⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭，已知4A ∈且4B ∉，则实数a 的取值集合为__________.42．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B ，1＋2________B ； （2）设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C ，5________C ；（3）设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1，1)________D ．43．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.四、解答题44．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值；（2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．45．已知函数f （x ）=2x -ax +b （a ，b ∈R ）.集合A ={x |f （x ）-x =0}，B ={x |f （x ）+ax =0}，若A ={1，-3}，试用列举法表示集合B .46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x+-=的解集47．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a A∈，则11aAa+∈-．（1）若3a=-，求出A中其他所有元素；（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a A∈，再求出A中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案详解】1．C【详解】①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选：C.2．B【详解】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R 表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确. 故选：B3．B【详解】对于A ，方程2210x x ++=的根构成的集合为{}1-，故A 错误；对于B ，方程220x +=无解，所以{}220x x +==∅，故B 正确；对于C ，集合(){},5,6M x y x y xy =+==为点集，集合{}2,3是数集， 故C 错误；对于D ，由集合元素的无序性可得集合{}{}13,1,5,3,5=，故D 错误. 故选：B.4．C【详解】①因为0是自然数，所以0N ∈，故正确；②因为27不是整数，所以27Z ∉，故错误；③因为3-是整数，所以3Z -∈，故错误；④因为π是无理数，所以Q π∉，故正确；故选：C.5．B【详解】解：①{}{}00,1,3Ü，故①错误，②{}0∅⊆，故②正确，③{}{}0,1,21,2,0=，故③正确，④0∉∅，故④错误，⑤0为元素，与∅无法运算，故⑤错误；故选：B6．D【详解】解：22x …，22x ∴-剟，{|22}M x R x ∴=∈-剟，又1a =，a M ∴∈，{}a M Ü．故选：D.7．B【详解】 因为{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.8．D【详解】当1x =时，集合{}1,2,1A =，{}1,2,1B =都出现两个1，出现了互异性的错误，排除ABC ，当1x =-时，{}1,0,1A =-，{}1,0,1B =-，A B =，故选：D.本题考查了集合性质，属于基础题.9．A【详解】 解：由题意得，{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以0b a=即0a ≠，1a ≠，即0b =，则有{}{}2,0,1,,0a a a =，所以21a =，解得1a =-， ∴201320141a b +=-.故选：A.10．B【详解】因为3111x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得：32x y =⎧⎨=⎩， 所以{}311(,)(32)1x y A x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，. 故选：B11．C【详解】A.表示x 轴和y 轴上的点，但不包含原点，故A 错误；B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误；C.00xy x =⇔=或0y =，即表示坐标轴上点的集合，故C 正确；D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误.故选：C.12．D对于A ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故A 错误；对于B ：{}{|}3,1,1,321,5x x n n Z =--=±∈，，故B 错误；对于C ：{}*{|}3,5,217,x x n n N =+∈=，，故C 错误；对于D ：{}{|}1,3,5,2,17x x n n N ==+∈，，故D 正确.故选：D13．C【详解】解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3.故选：C.14．C【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．15．D【详解】解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x <11，x =2k ，k ∈Z ，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }，故D 符合题意；对于A ，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；对于B ，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C ，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D.16．D【详解】对于A ，因为0不是正整数，所以0N *∉，所以A 错误，对于B ，因为π是无理数，所以Q π∉，所以B 错误，对于C ，因为空集是不含任何元素的集合，所以0∉∅，所以C 错误， 对于D ，因为2是实数，所以2R ∈，所以D 正确，故选：D17．C解：观察集合A 的前几项发现：A 的元素都是奇数，并且偶数项为负，奇数项为正； ∴可表示为(1)(21)n x n =-+，n N ∈；{|(1)(21)n A x x n ∴==-+，}n N ∈．故选：C.18．B【详解】A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为{x |x 为有理数}，错.故选：B.19．B【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；②中当0a =时不成立，不正确；③中2210x x -+=有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ④中集合6{|}{1,2,3,6}B x N N x=∈∈=是有限集，正确， 故选：B20．B【详解】解：关于x 的方程26(0)x x a a -=>等价于260x x a --=①，或者260x x a -+=②． 由题意知，P 中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．0a >，对于方程①，()2(6)413640a a ∆=--⨯⨯-=+>．∴方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，364a ∆=-，当9a =时，0∆=可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P 中元素的和为9； 当9a >时，∆<0方程②无实根，故P 中元素和为6； 当09a <<时，方程②中0∆>，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P 中元素的和为12.故选：B ．21．D【详解】对于A ：{ x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D22．A【详解】R 、Q 、N 、Z 分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集， 所以，22R ∈，3Q ∉，0N ∈，42N =∈，Q π∉，22Z -=∈， 因此，①正确，②③④⑤⑥不正确，故选：A ．23．A【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.24．B【详解】解：{x |3213x -<-≤，x ∈Z }={x |2-<2x ≤4，x ∈Z }={x |1-<x ≤2，x ∈Z }={0，1，2}， 故选：B ．25．C【详解】由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2．所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2．故方程的另一根为－1．故选：C ．26．C【详解】①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1；③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1；④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1，∴集合A ＝{－1，3}．∴－1∈A .故选：C27．C【详解】因集合{1,2,3,4}A =，{5,6}B =，又,x A y B ∈∈，则当5y =时，x y +的值有：6，7，8，9，当6y =时，x y +的值有：7，8，9，10，于是得{6,7,8,9,10}C =， 所以C 中元素的个数为5.故选：C28．D【详解】因为a ∈M ，11a a+-∈M ， 所以111111aa a a ++-+--＝－1a ∈M ， 所以1111a a +---＝11a a -+∈M ， 又因为11111a a a a -++--+＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，11a a+-，11a a -+这4个元素， 由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素．故选：D29．B【详解】解：5{1∈，2m +，24}m +，25m ∴+=或245m +=，即3m =或1m =±.当3m =时，{1M =，5，13}；当1m =时，{1M =，3，5}；当1m =-时，{1M =，1，5}不满足互异性，m ∴的取值集合为{1，3}.故选：B . 30．C 【详解】集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，{}[)211,A y y x ==+=+∞，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，(){}2,1B x y y x ==+，经验证，(3，10)∈B .故选：C ． 31．ABD 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合；选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ； 选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ． 32．AB 【详解】集合A 中只有一个元素，即方程kx 2+4x +4=0只有一个根， 当k =0时，方程为一元一次方程，只有一个根，当k ≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则∆=16-16k =0，即k =1，所以实数k 的值为0或1. 故选：AB 33．ACD 【详解】对于A ：因为202140451=⨯+，所以[]20211∈，故选项A 正确； 对于B ：因为()3512-=⨯-+，所以[]32-∈，故选项B 错误；对于C ：若a 与b 属于同一类，则15a n k =+，25b n k =+，()[]1250(a b n n -=-∈其中1n ，2Z)n ∈，故选项C 正确；对于D ：若[]0a b -∈，设5,Z a b n n -=∈，即5,Z a n b n =+∈，不妨令5,Z b m k m =+∈，0k =，1，2，3，4，则()555a m n k m n k =++=++，m ∈Z ，Z n ∈，所以a 与b 属于同一类，故选项D 正确； 故选：ACD. 34．ABC 【详解】对于A 选项，若1m =，则2211x l x l ≤≤⇒≤≤， 根据当x S ∈时，有2x S ∈，可得21l l l≥⎧⎨≤⎩，得101l l ≥⎧⎨≤≤⎩，可得1l =，故{}1S =，A 对； 对于B 选项，若12m =-，则214m =，则214l ll⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得114l ≤≤，B 对；对于C 选项，若12l =，则12S x m x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，即212022m m m ≤≤⇒-≤≤，C 对； 对于D 选项，若1m =-，1l =时，此时{}11S x x =-≤≤符合题意，D 错. 故选：ABC ．35．CD 【详解】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A 正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B 正确； 方程x 2﹣2x +1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C 错误； 由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误， 故选：CD ． 36．AC由题意可设1113x m n =+，2223x m n =+，其中1m ，2m ，1n ，2n N *∈， 则()1212x x m m +=+()123n n ++，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；()()1212123x x m m n n -=-+-，当12n n =时，12x x A -∉，所以减法不满足条件，B 错误；()121212112133x x m m n n m n m n ==++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C 正确；11122233x m n x m n +=+，当()11220mnm n λλ==>时，12xA x ∉，所以出发不满足条件，D 错误.故选：AC . 37．BCD 【详解】解：对于A ，假设集合B 是“好集”，因为1B -∈，1B ∈，所以112B --=-∈，这与2B -∉矛盾，所以集合B 不是“好集”．故A 错误；对于B ，因为0Q ∈，1Q ∈，且对任意的x Q ∈，y Q ∈有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x ∈，所以有理数集Q 是“好集”，故B 正确；对于C ，因为2Z ∈，但12Z ∉，所以整数集Z 不是“好集”．故C 正确；因为集合A 是“好集”，所以0A ∈，又y A Î，所以0y A -∈，即y A -∈，又x A ∈，所以()x y A --∈，即x y A +∈，故D 正确． 故选：BCD ．38．∈∈∉∈∉∉∉∈. 【详解】（1）N 是自然数集，所以0N ∈； （2）Z 是整数集，所以()202111Z -=-∈；（3）Q 是有理数集，所以442Q =∉； （4）R 是实数集，所以()2R ππ-=∈；（5）1xy x =-中1x ≠，所以11x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （6）1xy x =-={}1y y ≠，所以11x y y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （7）（2,2）表示点，{|}1xx y x =-表示数集，所以()2,21x x y x ⎧⎫∉=⎨⎬-⎩⎭； （8）集合{}{},0∅中有2个元素，分别是∅，{}0，所以{}{},0∅∈∅. 故答案为：∈；∈； ∉；∈； ∉； ∉；∉；∈ 39．{}1或{}2解：A 只有一个元素；∴方程2440kx x -+=只有一个解；0k =①时，440x -+=，1x =，满足题意； 0k ≠②时，16160k =-=；1k ∴=；解2440x x -+=得，2x =；{}1A ∴=或{}2．故答案为：{}1或{}2． 40．1 【详解】依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性； 当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性； 当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立， 所以20211=m . 故答案为：1 41．{4} 【详解】当234a a -=时，可得4a =或1a =-， 若1a =-时，则274a a++=，不合题意；若4a =时，则2711.5a a ++=，|2|2a -=符合题意；当274a a++=，可得1a =-或2a =-， 若1a =-，则234a a -=，不合题意； 若2a =-，则|2|4a -=，不合题意. 综上所述：4a =. 故答案为：{4}42．∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ 【详解】（1）∵231211=> ∴23∉B ； ∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11， ∴1＋2<11 ，∴1＋2∈B ．（2）∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ； 当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C ．（3）∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数， ∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D ． 故答案为：∉，∈，∉，∈，∉，∈. 43．{}60,120,180 【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60， 所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为{}60,120,180. 故答案为：{}60,120,180. 44．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 【详解】（1）因为210a +>，故212a +≠-， 因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性； ②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍），此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得916a >-且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >. 45．{-3，3}. 【详解】：解答：A ={1，-3}，∴f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a +b −1=b −a =0，（9+3a +b ）+3=3a +b +12=0， 解得a =−3，b =−3.∴f （x ）+ax =2x +3x -3+（-3x ）=2x -3=0. ∴x =±3， ∴B ={-3，3}. 46 【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．47．(1)由题意可知：3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11()12131()2A +-=∈--，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-， 所以A 中其他所有元素为11223-，，； (2)假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a+-不存在，假设不成立， 所以0不是A 的元素，取3a =，则13213A +=-∈-，1(2)11(2)3A +-=-∈--，11()13121()3A +-=∈--，1123112A +=∈-， 所以当3A ∈，A 中的元素是：3，2-，13-，12；(3)猜想A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数. 由(2)知：0,1A ∉， 若1A -∈，则1(1)01(1)A +-=∈--，与0A ∉矛盾，则有1A -∉，即1,0,1-都不在集合A 中， 若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 311431111()111111()a a a a A a a a +-+-===∈-+--，1415114111111111a a a a a A a a a -+++===∈---+， 又由集合元素互异性知，A 中最多只有4个元素1234,,,a a a a 且132411,a a a a =-=-， 显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，得211a =-无实数解，同理，14a a ≠，即A 中有4个元素，所以A中没有元素101-，，；A中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.48．（1）a＝0或a＝98；（2）9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；（3）a≥98或a＝0.【详解】解：（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝23，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，∆＝9－8a＝0，得a＝98.所以当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．（2）由题意得，当0,980,aa≠⎧⎨∆=->⎩即a<98且a≠0时方程有两个实根，又由（1）知，当a＝0或a＝98时方程有一个实根．所以a的取值范围是9|8a a⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）知，当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素．当集合A中没有元素，即A＝∅时，由题意得0,980,aa≠⎧⎨∆=-<⎩解得a>98.综上得，当a≥98或a＝0时，集合A中至多有一个元素.。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---方程有解类问题
高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题01 方程有解类问题【方法精讲】1. 求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优. 2. 方程有解类应熟知的方法（分离函数）：函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题.3. 方程有解类应熟知的基本知识、方法：（1）若f (x )的值域为A ，则方程f (x )=a 有解⇔a A ∈. （2）若f (x )，g (x )的值域分别为A ，B ，则有：①∀x 1∈D ， ∃x 2∈E ② ∃x 1∈D ，∃x 2∈E .【典型例题】例1 （多选题）（2020x 的一元二次方程根12x x 、，且满足10x <的值是（ A ．－2； B ．－3【答案】BC【分析】分离参数得(m -B ≠∅()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为12x x 、，且满足12013x x <<<<. 【解析】将方程21+(+1)02x m x +=分离参数得：1(+1)+2m x x-= 设1()+2f x x x =，如图，则319(+1)26m <-<，所以25562m -<<- 选BC.例2 关于x 的方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，则实数m 的取值范围是______________．【答案】()1,+∞【解析】如下图，方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，即23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与21y m =-两个函数图象交点的横坐标为负值，即交点在y 轴的左侧，此时必需且只需211m ->，解之得1m > 故实数m 的取值范围是()1,+∞．例3 讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.【答案】当0a <时，方程无解；当0a =时，方程有2个解；当0a >时，方程有4个解. 【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x 与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解； 当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；22468510f x () =23()xx 0<0当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.例4 已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2]【分析】易得()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+，若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可，即m －1≤－3且m ＋8≥3，解得52m -≤≤-． 【解析】x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1为增函数，值域为(0，3]，因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (x )在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域为[m －1，m ＋8]． 因为对任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以f (x )在[－2，2]上的值域是g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域的子集，所以8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-即实数m 的取值范围是[－5，－2]． 点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.【巩固训练】1. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.2.已知函数f (x )＝2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，函数g (x )＝kx －2k ＋2(k >0)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若存在x 1∈⎣⎡⎦⎤0，12及x 2∈⎣⎡⎦⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．3.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝g (x 2) ，求实数a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________． 5.已知函数()372x f x x --=+，()22g x x x =-，若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b += 成立，则实数b 的取值范围是 。
新高一分班考试数学资料-专题1：代数运算
新高一分班考试数学复习专题1：代数运算第一部分：基本运算1、计算：11111111111(...)(1...)(1...)(...)23200223200122002232001+++++++-++++++= ． 2、计算：22221111(1)(1)...(1)(1)2319992000----= ． 3、如果012=-+x x ，则3223++x x ＝ ．4、已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 5、若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是 ．6、已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ．7、已知(2000-a)(1998-a)=1999，那么(2000-a)2+(1998-a)2= ．8、如果是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 ． 9、化简324324-++所得的结果为 ．10、如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于 ．11、把(x 2-x+1)6展开后得121121211210...a x a x a x a x a +++++，则024681012a a a a a a a ++++++等于 ．12、已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：1111...(1)(1)(2)(2)(2002)(2002)ab a b a b a b ++++++++++的值为 ．13、已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值为 ．14、设n n n n x ++-+=11，n n n n y -+++=11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，则n 的值为 .15、已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值.c b a 、、1、当分式有意义时，的取值范围是 ．2、适合81272=-++a a 的整数a 的值为 .3、若4x -3y -6z =0，x +2y -7z =0(xyz ≠0)，则代数式222222103225zy x z y x ---+的值等于 ． 4、若222121,23y z x x y z +--==++则可取得的最小值是？5、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有 ．6、求方程07946=--+y x xy 的整数解为 ．7、已知m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=-266634my x y x 有整数解，求m 的值．8、已知：c b a ,,三个数满足51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，求cabc ab abc ++的值.9、已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．10、是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．11、如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”. 以下关于倍根方程的说法,正确的是 .(写出所有正确说法的序号) ①方程x 2-x -2=0是倍根方程;②若(x -2)(mx +n )=0是倍根方程,则4m 2+5mn +n 2=0;③若点(p ,q )在反比例函数y =2x的图象上,则关于x 的方程px 2+3x +q =0是倍根方程; ④若方程ax 2+bx +c =0是倍根方程,且相异两点M (1+t ,s ),N (4-t ,s )都在抛物线y =ax 2+bx +c 上,则方程ax 2+bx +c =0的一个根为54. 4312++-x x x x 012)1(2=--+-a x x a a1、设553=a ，444=b ，335=c ，则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接).2、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0125a x x 无解，则x 的取值范围是 ．3、已知不等式3x -a ≤0的正整数解恰是l ，2，3，则a 的取值范围是 ．4、若不等式(2a -b )x +3a -4b <0解集是94>x ， 则不等式(a -4b )x +2a -3b ＞0的解集是 ．5、已知三个非负数c b a 、、满足523=++c b a 和132=-+c b a ，若c b a m 73-+=，求m 的最大值和最小值．6、求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．7、已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．8、为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A 队共积19分．(1)请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场?(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A 队其中一名，参赛队员所得的奖金和出场费的和为W (元)，试求W 的最大值．。
高一数学复习考点题型专题讲解与练习1 集合的概念(解析版)
高一数学复习考点题型专题讲解与练习专题1 集合的概念题型一判断元素与集合的关系1．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A．0B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=2，则-2∉N，2∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q Nx⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C ．3D ．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N ，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x 为正整数的倒数时，6x∈N ，所以6|x Q N x⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（）. A ．1B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确； 对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误； 对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确；对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈， 不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =，则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，,a b ∴属于同一“类”， ④正确；综上所述：正确结论的个数为3个. 故选：C .4．已知集合{10}A x x =，23a =+，则a 与集合A 的关系是（） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈【答案】A【解析】解：{|10}A x x =，23224a =+<+=，10a <，a A ∴∈，故选：A ．5．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是（） A ．0B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误； ③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误.∴正确命题的个数为0个故选：A6．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *，5________Z ；（2）23________{x |x ＜11}，32________{x |x ＞4}；（3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】（1）*0N ∉5∉Z ；（2）22(23)(11)>，2311∴>，∴23{|11}∉<x x ；22(32)4>，即324>，∴32{|4}∈>x x ；（3）(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 题型二根据元素与集合的关系求参数1．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（） A ．0 B ．2019 C ．1 D ．0或2019【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019.故选：C. 2．若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则(a =) A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】解：集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素， 当0a =时，可得23x =，集合A 只有一个元素为：23． 当0a ≠时：方程2320ax x -+=只有一个解：即980a ∆=-=， 可得：98a =． 故选：D ．3．已知集合A 是由a ﹣2，2a 2+5a ，12三个元素组成的，且﹣3∈A ，求a =________. 【答案】32-【解析】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a 2+5a ， 由﹣3=a ﹣2，解得a =﹣1，经过验证a =﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a 2+5a ，解得a =﹣1或32-，经过验证：a =﹣1不满足条件，舍去. ∴a =32-. 故答案为：﹣32.4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，∴2m =或2322m m -+=，即2m =或0m =或3m =，当2m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m =时，{}032A =，，满足题意，∴3m =，故答案是3. 5．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）89≤a ；（2）89≤a 或0=a 【解析】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =．0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是89≤a ． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =．0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ． 综上可得：a 的取值范围是89≤a 或0=a ． 题型三利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}b b a，也可表示为{,,1}a a b +，则+a b 的值为____． 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}bb a a b a=+，可得0a ≠，根据集合相等和元素的互异性，可得0a b +=且1b =，解得1,1a b =-=， 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0. 2．已知集合22{2,(1),33}Aa a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________．【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性；当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：1-或0.3．已知集合{}2411A a a a =+++，，{}2|0B x x px q =++=，若1A ∈. （1）求实数a 的值；（2）如果集合A 是集合B 的列举表示法，求实数p q ，的值. 【答案】（1）4a =-；（2）23p q ==-，.【解析】解：（1）∵1A ∈，∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =，验证当0a =时，集合{}11A =，，集合内两个元素相同，故舍去0a = ∴4a =-（2）由上4a =-得{}13A =-，，故集合B 中，方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-，. 4．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值． 【答案】1a =-【解析】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0； 若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值． 【答案】-1【解析】由题意得,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0ba=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1- 题型四集合的描述方法 1．给出下列说法：①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ； ③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①由3x x =，即()210x x -=，得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ，所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2．定义集合运算(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________ 【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：183．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，试证明集合A 中有元素1-，12； （2）判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合A 中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意，因为2A ∈，可得1112A =-∈-． 因为1A -∈，则()11112A =-∈-．所以集合A 中有元素1-，12． （2）由题意，可知若x A ∈（1x ≠且0x ≠）， 则11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 故集合A 中至少有3个元素．（3）由集合A 中的元素个数不超过8，所以由（2）知A 中有6个元素．设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，m x ≠，1x ≠且0x ≠，1m ≠且0m ≠， 因为集合A 中所有元素的积为1，不妨设21x =，或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当21x =时，1x =（舍去）或1x =-；若1x =-，则1,22A ∈． ∵集合A 中所有元素的和为143，∴1111421213m m m m -+-+++=-， ∴3261960m m m -++=，即()32261860m m m m ----=，即()()23620m m m ---=，即()()()321320m m m -+-=，∴12m =-或3或23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时，同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 综上，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．题型五元素个数的求解及参数问题1．用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（）A ．3B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =．故选：A ．2．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（） ①12π+;②1162+;③122+;④2323-++ A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】①当212a b π+=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，②()211623232+=+=+232a b ∴+=+，可得3,1a b ==，都是有理数，所以正确，③122212222-==-+， 2212a b ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确， ④()22323426-++=+= 而()2222222a b a b ab +=++，,a b Q ∈，()22a b ∴+是无理数，2323∴-++不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素.故选：C3．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合:（1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；（3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合；（4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k ∈N }；（2）{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角形}或{三角形}.【解析】（1）{|51,}x x k k N =+∈；（2）{(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈；（3）2(9)00x x x -=⇒=或3x =±，解集为{3,0,3}-， （4）{|x x 是三角形}或写成{三角形}． 5．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a -∈.【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析. 【解析】(1)因为3∈A ，所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--，所以13213A =∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭. (2)因为a ∈A ，所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a-==-∈---.。
高一数学必修一第一章集合复习
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a
5
2
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例 6.已知 A x | x2 px q 0 , 集合 B x | x2 3x 4 0 ,且满
足 A B ，求实数 p第,q 一满足章的集条合件复.
习
〖解析〗集合 B x | x2 3x 4 0 =｛-1,4｝,因为 A B ,
（1）当 A 时,即△= p2 4q典例0精时析,满足 A B .
6. 已知 A x | ax 1 0习,
集 合 B x | x2 2课x堂练习3 0 ,
且满足 A B ，求实数 a 满足
的条件.
三、注意的问题
1、解答集合问题，首先要正确理解集合的有关概 念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法 给出的集合，要先看集合中的代表元素是谁，以及 它所具有的性质；要重视发挥图示法的作用，通过 数形结合直观地解决问题
2 、注意特殊集合空集，空集是任何集合的子集，
在解型如A B类题时，要首先考虑集合A为空集
（2）当△= p2 4q 0 且 4p+q+16=0,即 p=-8,q=16 时满足;
（3）当△= p2 4q 0 且 p+q+1=0,即 p=-2,q=1 时满足;
（4）当 p=-3,q=-4,即 A=B 时满足.
练 习 1 ． 集 合 M 2, 4,6 的 真 子 集 的 个 数 为
202X
第一章
集合复习
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此
添
加识版块
集合的概念
一．理解集合的含义及其表示法， 子集、真子集的定义；
二．了解属于、包含、相等关系 的意义；
三．了解两个特殊的集合。
知识版块 第一章集合复习
知识版块
第一章集合复习
二、集合知识点扫描
高一数学第一章归纳总结
第四页，集合中元素的认 识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是 进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须 掌握的．
第五页，共43页。
2．注意元素的互异性 [例 2] 已知 1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数 a 的值．
第二十四页，共43页。
(2)设 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x1·xx21) －f(x1)＝f(x1)＋f(xx21)－f(x1)＝f(xx21)．
因为 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，所以xx21>1，所以 f(xx21)>0， 即 f(x2)－f(x1)>0.
第八页，共43页。
3．注意空集的特殊性 [例 3] 已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一 个真子集，求 a 的取值范围． [分析] 集合 A 是关于 x 的方程的解集．集合 A 至多有一 个真子集有两种情况：一是集合 A 恰有一个真子集，二是没 有真子集，即集合 A 为空集．
－2a＋7，a>3.
第十七页，共43页。
规律总结：(1)求二次函数在闭区间上的最值的思路： 区间的两个端点以及区间的中点将 x 轴分成 4 部分，根 据对称轴在 4 个区间内的不同情况分别求二次函数最值．
第十八页，共43页。
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值的 求法(如图)：
第一章
章末归纳总结
第一页，共43页。
专题一 集合学习中的注意点剖析 集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以 及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多， 逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中 常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．
高一数学复习考点题型专题讲解1 集合的概念
高一数学复习考点题型专题讲解第1讲集合的概念一、单选题1．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【答案】D【解析】【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案.集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．2．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断.“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误. 故选：B3．下列命题中正确的是（ ） ①φ与{}0表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1 ③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2④集合{45}xx <<∣可以用列举法表示 A ．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{}0”表示含0元素的集合，而φ不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C.4．已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B5．下列关于集合的说法正确的有（ ） ①很小的整数可以构成集合；②集合{}221y y x =+与集合(){}2,21x y y x =+是同一个集合；③1，2，12-，0.5，12这些数组成的集合有5个元素． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的定义判断．很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．集合{}{}2211y y x y y =+=≥表示y 的取值范围，而(){}2,21x y y x =+表示的集合为函数221y x =+图象上的点，所以不是同一集合，故②错误． 1，2，12-，0.5，12这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误． 故选：A ．6．已知集合{1M =，2m +，24}m +，且5M ∈，则m 的值为（ ） A ．1或1-B ．1或3C ．1-或3D ．1，1-或3 【答案】B 【解析】根据元素与集合的关系，得到25m +=或245m +=，从而求得m 值，并验证是否符合集合互异性即可.解：5{1∈，2m +，24}m +，25m ∴+=或245m +=，即3m =或1m =±.当3m =时，{1M =，5，13}； 当1m =时，{1M =，3，5}；当1m =-时，{1M =，1，5}不满足互异性， m ∴的取值集合为{1，3}.故选：B .7．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A ．{x |-3<x <11，x ∈Z } B ．{x |-3<x <11} C ．{x |-3<x <11，x =2k } D ．{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z } 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各个选项，用不等式表示题中描述的内容，在利用描述法即可得出答案. 解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x <11，x =2k ，k ∈Z ，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }，故D 符合题意； 对于A ，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意； 对于B ，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C ，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D.8．由实数,,x x x - ） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】 【分析】从集合中元素的互异性出发，按照0x =、0x >、0x <分类，即可得解.x ，x =-，因此当0x =时，这几个实数均为0，集合含有1个元素； 当0x >时，它们分别是,,,,x x x x x --，集合有2个元素； 当0x <时，它们分别是,,,,x x x x x ----，集合有2个元素； 所以集合中最多含有元素的个数为2. 故选：A.9．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合．其中12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．31 【答案】B 【解析】 【分析】根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合，12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有12,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}1-，11,2,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．故选:B10．已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,a Pb Q 挝，则（ ） A ．a b P +?B ．a b Q +?C ．a b M +?D ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个 【答案】B 【解析】 【分析】设出,a b 的值，相加再判断得解.11,2,.a P a k k Z ∈∴=∈ 22,21,.b Q b k k Z ∈∴=+∈122()121a b k k k Q ∴+=++=+∈12(,,)k k k Z ∈.故选：B11．已知x ，y 都是非零实数，x y xyz x y xy=++可能的取值组成集合A ，则（ ） A ．2∈A B ．3∉A C ．－1∈A D ．1∈A 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再对照四个选项一一验证. ①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3； ②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； ③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； ④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1，∴集合A ＝{－1，3}．∴－1∈A . 故选：C12．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M +?，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M +?，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n -=+，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 二、多选题13．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R } 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P.选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合.选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．14．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意分析即可.由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合， 而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合. 故选：AD.15．(多选)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则（ ）A ．a ∈MB ．a ∈PC ．b ∈MD ．b ∈P 【答案】AD 【解析】 【分析】利用整数的运算性质，根据集合M ,N 中元素的性质判定a ,b 的性质，进而判定a,b 与M,N 的关系，即可作出判定.设x 0＝2m ＋1，y 0＝2n ，m ，n ∈Z ， 则a =x 0＋y 0＝2m ＋1＋2n ＝2(m ＋n )＋1,∵m +n ∈Z ,∴a ∈M ，b=x 0y 0＝2n (2m ＋1)＝2(2mn ＋n ),∵2mn +n ∈Z ,∴b ∈P ， 即a ∈M ，b ∈P ， 故选：AD.16．当一个非空数集F 满足条件“若a ，b F ∈，则a b +，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，a F b∈”时，称F 为一个数域，以下说法正确的是（ ） A ．0是任何数域的元素B ．若数域F 有非零元素，则2021F ∈C ．集合{|3,}P x x k k Z ==∈为数域D ．有理数集为数域 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，依次分析各选项即可得答案.解：对于A ，若a F ∈，则0a a F -=∈，故A 正确； 对于B ，若a F ∈且0a ≠，则1aF a=∈，211F =+∈，312F =+∈，依此类推，可得2021F ∈，故B 正确；对于C ，{|3,}P x x k k Z ==∈，3P ∈，6P ∈，但36P ∉，故P 不是数域，C 错误；对于D ，若a ，b 是两个有理数，则a b +，-a b ，ab ，()0ab b≠都是有理数，所以有理数集是数域，D 正确． 故选：ABD ．17．已知集合{},,A x x m m n Z ==∈，则下列说法中正确的是（ ）A ．0A ∈但2(1A -∉B．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ±∈C．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ⋅∈D．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x A x ∈ 【答案】BC【解析】【分析】A 选项，求出13m =，4n =-，故2(1A -∈；BC 选项，通过计算可以得到12x x A ±∈，12x x A ⋅∈；D选项，2220x m ==时，不符合要求，D 错误. (2113-=-13m =，4n =-，所以2(1A -∈，A 错误；()())1211221212x x m m m m n n ==±±±±，其中12m Z m ±∈，12n Z n ±∈，故12x x A ±∈，B 正确；()()(212112212122113x x m m m m n n m n m n +++⋅=⋅=12123m m n n Z +∈，2121m n m n Z +∈，故12x x A ⋅∈，C 正确；因为0A ∈，若2220x m ==，此时12x x 无意义，故12x A x ∉，D 错误. 故选：BC18．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-?Z ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n +【答案】ABD【解析】【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +?.∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +?.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +?.若42n M +?，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M +?. 故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题19．用符号“∈”和“∉”填空：（1）12______N ； （2）1______Z -； （3）2-______R ；（4）π______Q +； （5）23______N ； （6）0______∅．【答案】 ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断.由,,,,N Z R Q -+∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.故答案为：（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.20．设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______． 【答案】{(1,2),(2,1)}【解析】【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标． ∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．21．若{}231,3,1m m m ∈--，则实数m =_______.【答案】4或2±【解析】【分析】分三种情况讨论即得.∵{}231,3,1m m m ∈--，∴13m -=，即4m =，此时2312,115m m =-=符合题意；33m =，即1m =，此时210,10m m -=-=，不满足元素的互异性，故舍去；213m -=，即2m =±，经检验符合题意；综上，4m =或2±.故答案为：4或2±.22．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；②集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；④若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【答案】①③【解析】【分析】根据新定义和集合知识综合的问题，分别判断a+b∈A，且a﹣b∈A是否满足即可得到结论．①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．正确结论的序号是①③．故答案为：①③.四、解答题23．用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.【答案】(1){1, 2, 7, 14}(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}(3)82 (,) 33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(4){－1, 1}(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)} 【解析】【分析】根据集合的列举法的概念即得.(1){x |x 是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.(2){(x, y )|x ∈{1, 2}, y ∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.(3){(x, y )|x ＋y ＝2, x －2y ＝4}=82(,)33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.(4){x |x ＝(－1)n, n ∈N }={－1, 1}.(5){(x, y )|3x ＋2y ＝16, x ∈N, y ∈N }={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.24．把下列集合用适当方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.【答案】（1）{|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}；（2）{4,5,6}；（3）{}3,3-；（4）{}1,2；（5）{}1,2.【解析】【分析】根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出．（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}={|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}．（2）{|37}x N x ∈<<={4,5,6}.（3）由29x =得3x =±，因此{}{}2|93,3A x x ===-. （4）由x ∈N ，且12x ≤≤，得1x =或2x =，因此{}{}|121,2B x N x =∈≤≤=.（5）由2320x x -+=得1x =或2x =，.因此{}{}2|3201,2C x x x =-+==. 25．判断下列集合是有限集还是无限集：（1）{}10,A x x x Z =<∈； （2）,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭； （3）{|}S P AP PB AB =+=（A ，B 为平面上两个不同的定点，P 为动点）.【答案】（1）有限集；（2）无限集；（3）无限集.【解析】【分析】（1）由已知得{}|1010,,A x x x Z =-<<∈可得出集合A 中的元素，由此可得结论；（2）由已知得该集合的元素有120,,,23，由此可得结论；（3）由{|}S P AP PB AB =+=表示线段AB 上的点组成的集合可得结论.解：（1）因为{}{}10,|1010,,A x x x Z x x x Z =<∈=-<<∈所以集合A 中的元素为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0±±±±±±±±±，所以集合A 是有限集； （2）因为,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭中的元素有120,,,23无限个元素，所以集合,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭是无限集； （3）因为{|}S P AP PB AB =+=表示线段AB 上的点组成的集合，线段AB 上有无数个点，所以集合{|}S P AP PB AB =+=为无限集.26．（1）已知集合123A x N y Z x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，试用列举法表示集合A ； （2）已知集合12,3B y Z y x N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，试用列举法表示集合B ．【答案】（1）{}0,1,3,9；（2）{}1,2,3,4.【解析】【分析】（1）由x ∈N ，123y Z x =∈+，可列举出3x +的值，得出x 的值，即可写出集合A ； （2）由123y Z x =∈+且x ∈N ，可列举出x 的值，得出相应的y 的值，即可写出集合B ． 解：（1）由x ∈N ，123y Z x =∈+，知3x +可为3，4，6，12，即x 为0，1，3，9， 所以集合A 用列举法表示为{}0,1,3,9；（2）因为123y Z x =∈+且x ∈N ，所以0,1,3,9x =，则相应y 的值为4，3，2，1， 所以集合B 用列举法表示为{}1,2,3,4．27．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈，若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值集合. 【答案】}{1a a ≤.【解析】【分析】分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.集合A 中至少有一个元素，即A 中只有一个元素，或A 中有两个元素.当A 中有一个元素时，0a =，或0,440,a a ≠⎧⎨∆=-=⎩即1a =； 当A 中有两个元素时，由0,440,a a ≠⎧⎨∆=->⎩解得1a <，且0a ≠. 综上，得1a ≤.即实数a 的取值集合为}{1a a ≤.28．已知集合{}2310,A x ax x a =∈-+=∈R R ． (1)若1A ∈，求实数a 的值；(2)若集合A 中仅含有一个元素，求实数a 的值；(3)若集合A 中仅含有两个元素，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2a =(2)0a =或94a = (3)904a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭, 【解析】【分析】（1）将1x =代入方程求解即可；（2）分0a =、0a ≠两种情况求解即可；（3）由条件可得0a ≠，且2(3)40a ∆=-->，解出即可.(1)∵1A ∈，∴213110a ⨯-⨯+=，∴2a =；(2)当0a =时，13x =，符合题意； 当0a ≠时，2(3)40a ∆=--=，∴94a =． 综上，0a =或94a =； (3) 集合A 中含有两个元素，即关于x 的方程2310ax x -+=有两个不相等的实数解， ∴0a ≠，且2(3)40a ∆=-->， 解得94a <且0a ≠， ∴实数a 的取值范围为904a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭,．29．已知集合{A x x m ==+}2231,,m n m n Z -=∈．（1）判断2是否为A 中元素（2）设c A ÎA （3）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数；【答案】（1）2不 是集合A 中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据集合元素的属性判断；（2）根据c A Î（3）根据x A ∈，由1m x x =++化简判断.（1）因为28=+此时：8,4m n ==，不满足2231m n -=，所以2不是集合A 中元素.（2）因为c A Î(m =+，(23)(2m n n m =-+-因为23,m n -2n m -都是整数，A . （3）因为x A ∈，所以1m x x =++，2m m=+=，因为m R∈，所以2m为偶数即1xx+为偶数.30．已知由实数构成的集合A满足：若x A∈，且1x≠±、0，则11xAx+∈-．（1）求证：当2A∈时，A中还有3个元素；（2）设±1、0均不属于A，问：非空集合A中至少有几个元素？【答案】（1）A中还有3个元素是：113,,23--.证明见解析；（2）至少有4个.【解析】【分析】（1）令2x=，代入11xx+-中计算，再根据x A∈，则11xAx+∈-进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；（2）当1x≠±、0时，由x A∈，则11xAx+∈-，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的. （1）若令2x A=∈，则1123112xAx++==-∈--，此时即有3x A=-∈，则()()13111132xAx+-+==-∈---，即12x A=-∈，则1111211312xAx⎛⎫+-⎪+⎝⎭==∈-⎛⎫--⎪⎝⎭，即13x A=∈，则111321113xAx++==∈--（出现重复元素2，停止计算），综上，当2A∈时，A中还有3个元素是：113,,23--.（2）当1x≠±、0时，由x A∈，所以11xAx+∈-，所以1111=111xx Ax xx++--∈+--，所以111111xxAxx⎛⎫+-⎪-⎝⎭=∈+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以111111xx x Axx-++=∈--+（出现重复元素x，停止计算），所以，非空集合A中至少有4个元素. 【点睛】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把11xx+-的计算结果也看成是x.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.21 / 21。
高一数学第一章 复习试题1
2023-2024学年第一学期高一数学单元复习试题第一章集合与常用逻辑用语一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是()A．5B．6C．7D．82．已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是()A．{0，1} B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0} D．R3．(2021·新高考Ⅱ卷)若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝()A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}4. (2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y ＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．65．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2，或x<－2}，N＝{x|x≥3，或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}6．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．命题p ：(a ＋b )(a －b )＝0，q ：a ＝b ，则p 是q 的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既是充分条件也是必要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件8．使“x ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥3，或x ≤－12”成立的一个充分不必要条件是( )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x ∈{－1，3，5}D ．x ≤－12或x ≥3二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上是最符合题目要求的，全对得5分，选对但不全对的得2分，若有选错的得0分）9．下列各组对象能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．2021年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数10．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集可表示为( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋y ＝3，x －y ＝1 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝2，y ＝1C ．(2，1)D ．{(2，1)} 11．满足{1}∪B ＝{1，2}的集合B 可能等于( )A ．{2}B ．{1}C ．{1，2}D ．{1，2，3}12．集合A 有且只有2个元素构成，且满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N *且4－a ∈N *”，则实数a 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13．命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是________．14. 已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋a ＝0．(1)命题p 的否定为：________；(2)若命题p 是真命题，则实数a 的取值范围是________．15．下列说法正确的是________．(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件．16. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．18．已知集合A＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，B＝{x|(x－3)(x－a)＝0}．(1)用列举法表示集合B；(2)求A∪B，A∩B．19. 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．20．已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．(1)在①a＝7，②a＝5，③a＝4这三个条件中选择一个条件，使得A∩B≠∅，并求A∩B；(2)已知A∪B＝{x|3≤x≤8}，求实数a的取值范围．21．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．22.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b ＋c＝0．。
高一必修一数学知识点复习【优秀7篇】
高一必修一数学知识点复习【优秀7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学 必修一复习题
高一数学必修一复习题一．选择题（共12小题）1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．2．已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．﹣4B．﹣C．D．﹣83．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）4．“x≤3”是“x2﹣7x+12≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x2C．y＝|x|D．6．已知函数f（x）是定义在[1﹣2m，m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0，m]，当x1≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则不等式f（x﹣1）≤f（2x）的解集是（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[0，]D．[0，]7．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞08．已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）10．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（]C．[]D．[，1）11．已知，则f（x）的解析式为（）A．，且x≠1）B．，且x≠1）C．，且x≠1）D．，且x≠1）12．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）A．﹣2B．﹣1或2C．﹣1或±2D．﹣1或﹣2二．多选题（共4小题）13．“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥014．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P （除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是（）A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集15．函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，以下选项正确的有（）A．f（x）＝2x+1关于中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，﹣2）中心对称C．函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数16．对任意两个实数a，b，定义，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x2﹣2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数B．方程F（x）＝0有两个解C．函数F（x）有4个单调区间D．函数F（x）有最大值为0，无最小值三．填空题（共4小题）17．若∀x∈R，mx2+mx+1＞0，则实数m的取值范围为．18．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是．20．设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为四．解答题（共5小题）21．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x﹣1≤2}．（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M＝{x|k﹣1≤x≤2k﹣1}且M∩A＝M，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．23．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，比较与的大小；（2）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，求的取值范围；24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示：（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式，并在图中补充完整函数f（x）（x∈R）的图象；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2，当x∈[1，2]时，求函数g（x）的最小值．25．已知函数f（x）＝．（1）证明：函数f（x）在[1，+∞）上单调递减；（2）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0；（3）求函数f（x）的值域．高一数学必修一复习题参考答案一．选择题（共12小题）CDBAC，CABCB，CC二．多选题（共4小题）13. BD．14. AD．15.BC 16.BCD三．填空题（共4小题）17. [0，4）．18.{0，，2}．19.（，] 20. 12．二．解答题（共5小题）21．解：（1）因为全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x ﹣1≤2}＝{x|﹣2≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}；（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1，或x＞3}；（2）由M∩A＝M，得M⊆A，①当M＝∅时，k﹣1＞2k﹣1，k＜0．②当M≠∅时，有k﹣1≤2k﹣1，即k≥0，此时只需2k﹣1＜﹣4或k﹣1＞1，解得k＞2．综上：k＜0或k＞2．22．解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝6；（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．23.解：（1）﹣＝＝e•，∵a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，∴a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，又e＜0，∴﹣＞0，∴＞．（2）∵2x+y＝1，x＞0，y＞0，∴+＝（+）（2x+y）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即x＝1﹣，y＝﹣1时等号成立，故的取值范围是[3+2，+∞）．24．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2×（﹣x）＝x2﹣2x（x＞0），即﹣f（x）＝x2﹣2x，得f（x）＝﹣x2+2x．∴．图象如图：；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，由函数图象可知，解得1＜a≤3．故实数的取值范围是（1，3]；（3）g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2＝x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴方程为x＝a+1，当a+1≤1，即a≤0时，g（1）＝1﹣2a为最小值；当1＜a+1≤2，即0＜a≤1时，g（a+1）＝﹣a2﹣2a+1为最小值；当a+1＞2，即a＞1时，g（2）＝2﹣4a为最小值．综上，．25.解：（1）解法一：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，故在[1，+∞）上，∴f′（x）＝≤0，当且仅当x＝1时，f′（x）＝0，故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．解法二：设x2＞x1≥1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，由题设可得，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．（2）由于f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，即不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x ﹣4）＝f（x2﹣2x+4）．∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4＞1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1+2x2 ＜x2﹣2x+4，求得﹣3＜x＜1，故原不等式的解集为（﹣3，1）．（3）当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，f（x）＝≤，即f（x）∈（0，]．根据f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）∈[﹣，0）．综上可得，f（x）的值域为[﹣，]．。
高一复习数学知识点(通用9篇)
高一复习数学知识点（通用9篇）高一复习数学知识点第1篇(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数_。
奇偶性定义一般地，对于函数f(x)(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
高一复习数学知识点第2篇作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y 轴的交点)性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线只通过一、三象限;当k高一复习数学知识点第3篇“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分(2)A与B是同一集合。
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第一章§ 集合1.关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记(2)例：已知A={1,1+d，1+2d}，B={1，q，q2}，若A=B，求的，d，q的值。
解：d=－，q=－2.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈Aa不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作子集与真子集：B中的元素，那么集合A叫做集合B若集合P P不包含于Q，或Q不包含P.A B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B或.子集与真子集的性质：3.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R4.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 {}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；（3）自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。
（{2,4,6,8}）2、用例举法表示练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形5.集合间的基本运算并集（∪）：一般的由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，成A∪B，即：,韦恩图如下：交集（∩）：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集韦恩图如下：全集（U）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U。
专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题1 集合中的含参问题-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题 1．若集合,则实数的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】2．已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则满足条件的实数a 的个数有 （ ）A . 0个B . 1 个C . 2 个D . 3 个【答案】B【解析】{}22,1B a a =++，且{}5A B ⋂=，则有25a +=或215a +=. 32a =，或-2. 当3a =时， {}5,10B =，此时{}510A B ⋂=，，不满足题意； 当2a =时， {}54B =，，满足题意；当2a =-时， {}0,5B =，此时{}50A B ⋂=，，不满足题意， 所以满足条件的实数a 只有1个. 故选B . 3．已知点）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（阴影部分）( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为在第二象限，所以， 所以，故选C.4．已知m ，，集合，集合，若，则A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】A 【解析】5．已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0}，B ={x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A . （-1，+∞）B . [-1，+∞）C . （3，+∞）D . [3，+∞）【答案】C【解析】[]13A =-，， (),B a =-∞；∵A B ⊆；∴3a >；∴a 的取值范围为3+∞（，），故选C ． 点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍，熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 6．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】7．已知集合A ={-1，0，a }，B ={ x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值范围是A . {1}B . (0，1)C . (1，+∞)D . (-∞，0)【答案】B 【解析】1,0,B B -∉∉ 若A B φ⋂≠ ，则a B ∈ ，则01a << ，选B .8．已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q ⋃=R R ，则a 的取值范围是A . ()2,∞-+B . ()4,∞+C . (],2∞--D . (],4∞-【答案】C【解析】因为{|24}P x x =-≤≤， {|}Q x x a =≥，则{|24}C P x x x =-R 或,又因为()C P Q ⋃=R R ，所以2a ≤- 本题选择C 选项. 9．集合，,若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 根据题意，可得，，要使，则，故选B.二、填空题 10.已知集合，.若，则实数__________.【答案】0 【解析】11．设全集 ，，，则的值为____________.【答案】2或8 【解析】 由题意，可知，依据补集可得， 则有，即，解得或，即实数的值为或．12．集合{}{}1,|A x x B x x a ==<，若R A C B ⊆，则实数a 的取值范围_________ 【答案】1a ≤【解析】∵集合{}{}1,|,{|},1R R A x x B x x a C B x x a A C B a ==<∴=⊆∴，，厔∴实数a 的取值范围是 1.a ≤ 13．已知，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】14．已知集合，且有4个子集，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得．所以．因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以，所以，解得且．故实数a的取值范围是．故答案为．三、解答题15．已知,若,求实数的取值范围.【答案】【解析】①当时,即,有;②当,则,解得: ;综合①②,得的取值范围为.16．设全集，集合，集合,且,求的取值范围. 【答案】【解析】17．已知集合{}121A x a x a =-<<+， {}01B x x =<< （1）若12a =，求A B ⋂； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}01x x <<；（2）12a ≤-或2a ≥. 【解析】试题分析：（1）把a 的值代入A 求出解集，找出A 与B 的交集，求出A 与B 补集的并集即可； （2）根据A 与B 的交集为空集，确定出a 的范围即可． 试题解析： （1）当12a ={}12,012A x x B x x ⎧⎫=-<<=<<⎨⎬⎩⎭，∴A B ⋂= {}12012x x x x ⎧⎫-<<⋂<<⎨⎬⎩⎭{}01x x =<<（2）因为A B ⋂=∅，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <- 当A ≠∅时，则11a -≥或210a +≤，解得： 12a ≤-或2a ≥. 综上： 12a ≤-或2a ≥. 18．设全集为R ，，，（1）求及（2）若集合，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】19．已知的定义域为集合A，集合B=（1）求集合A；（2）若A B,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知得即∴（2）∵∴解得∴20.已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【答案】（1）{}|31x x -≤≤-；（2）0a <.21.已知集合{}2|2940 A x x x =-+>，集合{}2|2, R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}|12 1 C x m x m =+<≤-.（1）求集合B ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[]8,1-；（2）2m ≤或3m ≥.【解析】试题分析：（1）解出一元二次不等式得到集合A ，故而可求出R C A ，对一元二次函数通过配方法求出其在给定区间内的范围即可；（2）A C A ⋃=等价于C A ⊆，分为C =∅和C ≠∅两种情形，借助于数轴可得m 的取值范围.试题解析：（1）22940x x -+> ， 12x ∴<或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 1,42R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ð. 于是， ()221211,,42y x x x x ⎡⎤=-+=--+∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-， []8,1B ∴=-. （2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆． 若C =∅,则211m m -≤+，即2m ≤， 若C ≠∅,则2{1212m m >-<或2{14m m >+≥,解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥.22．设集合()()222{|320},{|2150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围 【答案】（1）5,1a a =-=.综上所述： 5,1a a =-=23.已知集合A ＝{x |x ＜－2或3＜x ≤4}，B ＝{x |x 2－2x －15≤0}． (1) 求A ∩B ；(2) 若C ＝{x |x ≥a }，且B ∩C ＝B ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}．(2) a ≤－3.【解析】试题分析 ：（1）对于集合的交并补运算，我们常画数轴来解决.（2）由B ∩C ＝B 得B C ⊆，也可以画数轴解决.试题解析：(1) B ＝{x |－3≤x ≤5}，A ∩B ＝{x |－3≤x ＜－2或3＜x ≤4}． (2) ∵ B ∩C ＝B ，∴ B ⊆C ，∴ a ≤－3. 24. 已知集合．(1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)2；(2).【解析】25．已知集合{}2|3 2 0A x R x x =∈-+=， {}|1 1 2B x Z x =∈-≤-≤， {}21,1,1C a a =++，其中a R ∈.（1）求A B ⋂， A B ⋃； （2）若A B A C ⋂=⋂，求C .【答案】(1) A ⋂ B ={1,2}， A ⋃ B ={0,1,2,3}；(2) C ={0,1,2}.。
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高一数学复习专题一
（函数值域，图像，方程有解，不等式恒成立问题）
【活动1】函数的值域
1、函数24x x y -=的值域是 ；
2、函数1212
x
x
y -=+的值域是____________；
3、函数x x y -+=142的值域是_____________；
4、函数4
12
)
2
1(-
-=x x
y 的值域是_______________.)28(log 23
1x x y -+=的值域是__________.
5、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =________;
6、函数12
log y x =+的值域是_____________；
7、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m]，值域为25,44⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，则m 的取值范围是
8、已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.
(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；
(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．
9、2
()21f x x ax a =-++-，在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值
10、已知a R ∈,函数()||f x x x a =-.(1)当2a =时,写出函数()y f x =的单调递增区
间;(2)当2a >时,求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值;(3)设0a ≠,函数
()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值,请分别求出,m n 的取值范围(用a 表
示).
【活动2】方程有解 1、函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n = .
2、一次函数b ax x f +=)(有一个零点为2，则函数ax bx x g -=2
)(的零点为________.
3、已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．
4、已知2x
y m -=+的图像与x 轴有两个公共点，则m 的取值范围为 。
5、 设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2＋bx ＋c x ≤0，
2 x ＞0，
若f (－4)＝0，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )
＝x 的解的个数是________．
6、 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c
<的解集为(m,m+5),则实数c 的值为__ .
7、 已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，求下列条件下，实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
【活动3】恒成立问题
1．2
210ax ax -+>对R x ∈恒成立，则a 取值范围是 。
2．若不等式012≥++ax x 对一切⎥⎦
⎤
⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的最小值 。
3．对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2
＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是________．
4.已知函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )，t 为参数．
(1)写出函数f (x )的定义域，值域；
(2)当x ∈[0,1]时，g (x )有意义，求参数t 的取值范围； (3)当x ∈[0,1]时，若f (x )≤g (x )，求参数t 的取值范围．
5、已知：二次函数2
()f x ax bx c =++满足：①对于任意实数,x 都有(),f x x ≥且当
(1,3)x ∈时，21
()(2)8
f x x ≤+恒成立，②(2)0f -=
（1）求证:(2)2f =; (2) 求()f x 的解析式;（3）若(),g x x m =+对于任意[]2,2,x ∈-存在[]02,2,x ∈-使得0()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围。
解：（1）由①知道21
(2)2(2)(22)28
f f ≥≤+=且,(2)2f ∴= （2）
1
(2)422,(2)420,142
f a b c f a b c b c a =++=-=-+=∴==-
21()142f x ax x a ∴=++-,21
()1402f x x ax x a ∴≥-+-≥等价于
∴ 21
1402ax x a -+-≥对于任意实数x 都成立
又因为0a ≠0
1
4(14)04
a a a >⎧⎪
∴⎨=--≤⎪⎩ ,11,82a c ∴== 此时22211111
()(2),(1,3)()(2)82288
f x x x x x f x x =
++=+∈≤+时成立 21
()(2)8
f x x ∴=+
（3）[]())22y f x y g x A ==-设函数、（在区间，上的值域分别为、B 则[][]0,2,2,2A B m m ==-+,由题意得A B ⊆,20
22
m m -≤⎧∴⎨+≥⎩,02m ∴≤≤.。