数字信号处理 利用DFT分析连续信号频谱
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~ X [m]
0
...
2
k
DFS
k
...
-N 0 N
...
m
0
问题的提出
连续非周期信号x(t)
1 x(t ) 2
X ( j ) e
j t
d
X ( j ) x(t ) e
j t
dt
频谱特点： 连续非周期谱
典型连续信号x(t)
x(t ) cos 0t
x (t )
抽样
离散化
x[k ]
周期化
~ x[ k ]
DFT实现
X ( j )
A
X (e j )
A T
~[m ] X
A T
m
2 2
m
m
N
假设连续信号持续时间有限，频带有限
DFT的应用
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
抽样 t=kTs 截取 周期延拓 周期延拓
x ( t)
xs (t )
2 A sin =
2
X ( j ) A
2
2
t
2π
2π
信号特点：时域有限，频谱无限
典型连续信号x(t)
1 x(t ) sgn(t ) 0 1
X ( j )
t0 t 0 t0
2 X ( j ) j
( )
π/2
0
~ ~ x [k ] X [m]
k
N 1 k 0
jk x [ k ] e
j 2 mk N
~ x [k ]e
问题的提出
有限长序列 x N [k ] 的傅立叶变换DFT
xN [k ] X N [m] xN [k ]e
k 0
N 1
j
2π mk N
xN [k ]
XN [m]
0
N-1
k
0
N-1
m
DFT看作对周期序列的DFS主值区间取值
问题的提出
可否利用DFT分析连续信号的频谱？
基本原理 利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信 号频谱之间的关系。
时域的离散化
时域的周期化
频域周期化 频域离散化
利用DFT分析连续信号的频谱
问题的提出
频谱特点： 离散非周期谱
2.连续时间周期信号 xT (t )
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x (t ) T
X(n0)
-T
0
T
t
0
图2
连续周期信号及其频谱
问题的提出
频谱特点： 周期为2的连续谱
3.离散时间非周期信号 x[ k ]
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值 X ( j) X (e j ) 采样[书75公式（2-60）]
=T；T
sam
2
[m] 周期[书75公式（2-61）] X (e j ) X N
2 = m； m 0,1, N 1 N
x[k ] X ( e )
x[k]
j
k
x[k ]e
jk
X(ej)
...
0 k
...
2
0
2
图3
离散非周期信号及其频谱
问题的提出
频谱特点： 周期为N的离散谱
x[ k ] 4.离散时间周期信号 ~
~ ~ x [k ] X [m]
~ x [k ]
[m] X [m] 取主值[书75公式（2-62）] X N
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e
j
) 采样 =T；T
[-m , m ] [ , ]
[m] 周期 X (e ) X N
1).
X(j)与X[m]之间对应关系理解(书75)
已知：x(t)信号的最高频率fm、抽样频率fsam和DFT的有限 长度N。(书77例2-6) 求解：X[m]中m点与X(j)中连续频谱点之间对应值
X(j)X[m]过程中现象产生的原因与解 决方法 (书77~85)
2). x(t)信号抽取(采样)、截断(加窗/卷积)和延拓(周期展开) 出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。
j
sam
2
2 = m； m 0,1, N 1 N
[ , ] [0, 2 ]
[m] X [m] 取主值 X N
[0, 2 ] [0,1, N 1]
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
xstr (t )
s (t ) x
x[k ]
DFT
取一个周期
FT 周期延拓 X(j) 2 s
Ts
DTFT
X s ( j ) X (e )
j
DTFT 抽样
T0 NTs
DFS 取一个周期 周期延拓
卷积
X (e j )
tr s
[m ] X
X [m ]
利用DFT分析连续非周期信号的频谱关键点
N 1 k 0
~ x [k ]e
j
2 mk N
~ X [m]
...
-N 0 N k
...
-N 0 N m
图4
离散周期信号及其频谱
四种信号的时域与频域对应关系
x(t)
FT
t
X(j)
0 ~ x (t )
0
FS
t
X(n0)
0
x[k]
0
X(ej)
来自百度文库
DTFT
0
~ x [k ]
...
2
cos 0t 1
( π)
X ( j ) +0 + -0
X ( j )
( π)
t
0
0
0
信号特点：时域无限，频谱有限
典型连续信号x(t)
A x(t ) 0
A
t t
x(t )
X ( j ) A Sa 2
利用DFT分析连续信号频谱
问题的提出
利用DFT分析连续信号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
DFT分析中的参数选择
问题的提出
频谱特点： 连续非周期谱
1.连续时间非周期信号 x (t )
x ( t ) X ( j ) x ( t ) e
x(t)
jt
dt
X(j)
0
t
0
连续非周期信号及其频谱
0
π/2
信号特点：时域无限，频谱无限
问题的提出
如何利用数字方法分析连续信号的频谱？
x ( t ) X ( j )
x (t )e jt dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x[k ] X ( e j )
0
...
2
k
DFS
k
...
-N 0 N
...
m
0
问题的提出
连续非周期信号x(t)
1 x(t ) 2
X ( j ) e
j t
d
X ( j ) x(t ) e
j t
dt
频谱特点： 连续非周期谱
典型连续信号x(t)
x(t ) cos 0t
x (t )
抽样
离散化
x[k ]
周期化
~ x[ k ]
DFT实现
X ( j )
A
X (e j )
A T
~[m ] X
A T
m
2 2
m
m
N
假设连续信号持续时间有限，频带有限
DFT的应用
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
抽样 t=kTs 截取 周期延拓 周期延拓
x ( t)
xs (t )
2 A sin =
2
X ( j ) A
2
2
t
2π
2π
信号特点：时域有限，频谱无限
典型连续信号x(t)
1 x(t ) sgn(t ) 0 1
X ( j )
t0 t 0 t0
2 X ( j ) j
( )
π/2
0
~ ~ x [k ] X [m]
k
N 1 k 0
jk x [ k ] e
j 2 mk N
~ x [k ]e
问题的提出
有限长序列 x N [k ] 的傅立叶变换DFT
xN [k ] X N [m] xN [k ]e
k 0
N 1
j
2π mk N
xN [k ]
XN [m]
0
N-1
k
0
N-1
m
DFT看作对周期序列的DFS主值区间取值
问题的提出
可否利用DFT分析连续信号的频谱？
基本原理 利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信 号频谱之间的关系。
时域的离散化
时域的周期化
频域周期化 频域离散化
利用DFT分析连续信号的频谱
问题的提出
频谱特点： 离散非周期谱
2.连续时间周期信号 xT (t )
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x (t ) T
X(n0)
-T
0
T
t
0
图2
连续周期信号及其频谱
问题的提出
频谱特点： 周期为2的连续谱
3.离散时间非周期信号 x[ k ]
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值 X ( j) X (e j ) 采样[书75公式（2-60）]
=T；T
sam
2
[m] 周期[书75公式（2-61）] X (e j ) X N
2 = m； m 0,1, N 1 N
x[k ] X ( e )
x[k]
j
k
x[k ]e
jk
X(ej)
...
0 k
...
2
0
2
图3
离散非周期信号及其频谱
问题的提出
频谱特点： 周期为N的离散谱
x[ k ] 4.离散时间周期信号 ~
~ ~ x [k ] X [m]
~ x [k ]
[m] X [m] 取主值[书75公式（2-62）] X N
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e
j
) 采样 =T；T
[-m , m ] [ , ]
[m] 周期 X (e ) X N
1).
X(j)与X[m]之间对应关系理解(书75)
已知：x(t)信号的最高频率fm、抽样频率fsam和DFT的有限 长度N。(书77例2-6) 求解：X[m]中m点与X(j)中连续频谱点之间对应值
X(j)X[m]过程中现象产生的原因与解 决方法 (书77~85)
2). x(t)信号抽取(采样)、截断(加窗/卷积)和延拓(周期展开) 出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。
j
sam
2
2 = m； m 0,1, N 1 N
[ , ] [0, 2 ]
[m] X [m] 取主值 X N
[0, 2 ] [0,1, N 1]
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系
xstr (t )
s (t ) x
x[k ]
DFT
取一个周期
FT 周期延拓 X(j) 2 s
Ts
DTFT
X s ( j ) X (e )
j
DTFT 抽样
T0 NTs
DFS 取一个周期 周期延拓
卷积
X (e j )
tr s
[m ] X
X [m ]
利用DFT分析连续非周期信号的频谱关键点
N 1 k 0
~ x [k ]e
j
2 mk N
~ X [m]
...
-N 0 N k
...
-N 0 N m
图4
离散周期信号及其频谱
四种信号的时域与频域对应关系
x(t)
FT
t
X(j)
0 ~ x (t )
0
FS
t
X(n0)
0
x[k]
0
X(ej)
来自百度文库
DTFT
0
~ x [k ]
...
2
cos 0t 1
( π)
X ( j ) +0 + -0
X ( j )
( π)
t
0
0
0
信号特点：时域无限，频谱有限
典型连续信号x(t)
A x(t ) 0
A
t t
x(t )
X ( j ) A Sa 2
利用DFT分析连续信号频谱
问题的提出
利用DFT分析连续信号频谱
混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
DFT分析中的参数选择
问题的提出
频谱特点： 连续非周期谱
1.连续时间非周期信号 x (t )
x ( t ) X ( j ) x ( t ) e
x(t)
jt
dt
X(j)
0
t
0
连续非周期信号及其频谱
0
π/2
信号特点：时域无限，频谱无限
问题的提出
如何利用数字方法分析连续信号的频谱？
x ( t ) X ( j )
x (t )e jt dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x[k ] X ( e j )