第六章声波的辐射2

l
这就是声场互易原理的一种表达式。
若将振速u换成体积速度U=u S,把作用在球源表面上的力F 换成球表面附近的声压p=F/S，则上式写成一种声学上常见 p p . (6-3-19) 的形式： U U
21 1 12 2
对于球面声场：
1 p21 0 f . J U1 2l
(6-3-20)
6.3.5 镜像原理
p
r1 r r2 r
θ
A j (t kr ) jk A j (t kr ) jk e e e e 2 cos k r r
p
A j (t kr ) sin 2k e . r sin k
(6-3-2)
6.3声波的辐射
式中的第二项为小球源2在小球源1上产生的辐射阻抗， 称为互阻抗，若忽略小球源1对球源2的干扰，并考虑到 kr20<<1,可以求得小球2声场在小球源1处的压力为：
6.3.3·自辐射阻抗和互辐射阻抗
p12 j
k 0c0u2 a 2 j (t kl ) r20 e ， l
（6-3-9）
小球2的辐射声场作用在小球1上的力为：
6.3.3·自辐射阻抗和互辐射阻抗
结合(6-3-8)和上式，就可以求得球源 1的总辐射阻抗为：
Z12 R1 jX 1 , sin kl R1 R11 (1 ), kl cos kl X 1 X 11 (1 kr0 ). kl （6-3-13）
靠近主极大的第一个次极大是次极大值中的最大者，其位置 由下式确定： l sin 3 （6-3-27） 1
2n
第一次极大与主极大的比值为：
D1
2 当n较大时，上式近似为：D1 3
3 n sin 2n
(6-3-28）
(6-3-29）
就是说，主极大值和次极大值最多相差13.5dB, 总之，增加声柱的总长度L可以减小主声束的宽度，但必须增 加小球源的个数，以保证不出现副极大，当L一定，增加个数， 既可以减小主声束宽度，还可以减小次极大值。 2 2 声柱的声强可以算出： I n a [ D( )]2 （6-3-32）
根据讨论，声场对球源的作用力就相当于在它的振动系 统附加了一项辐射阻抗，表示为：
Z1 F1 Z11 Z12， u1 （6-3-7）
式中Z11为小球源自身的辐射阻抗，就叫自阻抗，由前边 的讨论知：Z11 F1 R11 jX 12
u1 R11 0 c0 S1 (kr10 ) 2 R11 0 c0 S1kr10 （6-3-8）
讨论无限大刚性壁面前的一个小声源； 其与刚性壁的距离为l/2， 空间声场任意位置声压由2部分 组成，既满足波动方程又满足 边界上法线方向速度为0 的式子就是
p A j (t kr1 ) A j (t kr2 ) e e r1 r2 (6 3 1)
就有镜像原理： 刚性壁前的小球源的辐射声场，可以看成该小球源以及一 个在对称位置的虚源所产生的合成声场。 也有指向性，低频功率增加。 当边界为绝对软时，镜像原理成立，虚源的相位和真实的 相位相反。
4
0
x
n 1
2
n2
4br0
b
其中x= r0 /b，当π x>>1时，coth (π x)=1 得到： W 0c0 2
p 4br0 . (6-3-38)
故可知（1）其声压随距离变化的关系， 其噪声衰减很慢；（2）无指向性。
第六章声波的辐射
6.4 点声源
目的主要用于组合来处理复杂声源的辐射， 根据前面所求脉动球源空间的声压表达式当kr0<<1时, (6-19)可以化为： p j k 0c0 Q e j (t kr ) , (6-4-1)
6.3.3自辐射阻抗和互辐射阻抗
小球源1的辐射功率：
W1 1 1 sin kl 2 2 R1ua 0c0 S0 (kr0 ) 2 (1 )ua 2 2 kl （6-3-14）
可见辐射功率随小球间距离与波长的必而起伏变化，如 果频率比较低或两个小球靠的比较近，满足考虑k l<<1,有
2 W 1 0c0 S0 (kr0 )2 ua
4 r
0
其中Q0=4πr02ua,为脉动球源的幅值，称为电源强度。 若球源被镶在无限大的障板上，点源强度变为 Q0=2πr02ua, k c (6-4-2) 这时，声压为：p j 0 0 Q0e j (t kr ) . 2 r 对于任意形状的面声源，其上各点的相位和幅度各不相同， 可以看成许多点源组成，设在位于（x，y，z)处点声源的振 动规律为： t a ( x, y, z )
可见互阻抗与两个球源的面积，距离和振速有关，当两个 小球源完全相同时，上式简化为：
Z12 R12 jX 12 , 2 sin kl R12 0c0 s0 (kr0 ) , kl cos kl Z12 0 c0 s0 (kr0 )2 kl
（6-3-12）
6.3.6声柱
2）当n kΔ=m’ π即 lsinθ=m’ λ/ n (m’为除了n的整数倍数以外 的数）时 分子为0而分母不为0，故 D (θ)=0， 由上述条件可以求出出现0值的方向：
m' arcsin nl
2 arcsin
（6-3-25）
第一次出现0辐射的角度为主声束角度宽度指一半，故主声 束的角宽度为：
结果说明：由于2个小球源的相互作用，小球源1除了有 自阻抗外，还增加了互阻抗，这一阻抗随着球源间的距离 增大而变化。
互阻抗部分反映小球源1辐射能量的变化，当正弦值为 正时，小球源2对于小球源1影响表现为阻力，辐射阻增加， 则辐射功率增加，反之，辐射功率减少。 互阻抗反映小球源1的同振质量变化，为正，表现为惯性力， 同振质量增加，为负，弹性力，同振质量减小。
r3 r2 l sin r1 2l sin ,
l 如果记 2 sin
, rn r1 (n 1)l sin
p
, 则（6-3-21）式成为 ：
A j (t kr1 ) e 1 e j 2 k e j 2 k ( n 1) r A j (t kr1 ) (1 e j 2 nk ) e r 1 e j 2 k A sin kn e j[t kr1 k ( n 1) ] r sin k A sin kn e j (t kr1 ) r sin k
（6-3-22）
6.3.6 声柱
指向性讨论： A j (t kr ) ( p ) n e 0 因为： r ( PA ) D ( ) 故合成声场的指向性为： ( P ) 0
A
sin kn n sin
（6-3-23）
可见指向特性与声程差与波长的比值有关 1）当kΔ=mπ即 lsinθ=mλ (m=0,1,2…)时 m arcsin (m 0,1, 2,...) （6-3-24） D (θ)=1 l 由3式解得出现极大值的方向： 其中θ=0指方向的极大值称为主极大值，其余的称为副 极大值。 由于副极大方向和主极大方向的能量是相等的，在使用 中分散了能量，为使其不出现，就要使振间距离小于波。，
u ua ( x, y, z)e
6.4 点声源
点声源的强度为：dQ0=ua (x,y,z)，在空间产生的声压为： k 0c0 dp j dQ0e j[t kh ( x , y , z )a ( x , y , z )] , (6-4-3) 4 h( x, y, z ) 其目h (x,y,z)为该面源到观察点的距离，总声压为：
6.3声波的辐射
6.3.1 两个同相小球源的辐射声场
设两个相距为l的小球源，其振动频率、振幅及相位完 全相同，其合成声场为：
p A j (t kr1 ) A j (t kr2 ) e e r1 r2 (6 3 1)
对于r>>l的远场， 1 sin 其中 2 代入（6-3-1）得：
6.3.4 互易原理
6.3.4互易原理
同样的求法可以算得小球源1的辐射声场作用到小球源2上 2 k c u r 0 0 1 a 10 的力： F21P p21S2 j S2e j (t kl ) . (6-3-17) 上式与 (6-3-10 )比较，得到：
F21 F12 . u1 u2 (6-3-18)
nl （百度文库-3-26 ）
说明增加小球源的个数可以减小主声束宽度，但振的 长度也增加。 (2m '' 1) l sin (m''=1,2, ) 3） n kΔ=（2m”+1) π/2时，即 2n 这时分子数值为1，在这些方向声压 也出现极大值，数值比主极大小，叫次极大。
6.3.6 声柱
2 arcsin
2l （6-3-6）
对于一定的频率，l越大，主声束越窄，反之，则反， 当l <λ/2时，不出现0值的方向。 3）当k l <<1时 l 因为 k k 2 sin 必有kΔ<<1，这时D (θ)=1 说明当两个小球很近时无指向性。
6.3.3·自辐射阻抗和互辐射阻抗
2 k 0c0u2 a r20 F12 p12 S1 j S1e j (t kl )， l
（6-3-10）
故可求得互阻抗Z12：
2 S1 u2 a F12 k 0c0 r20 Z12 (sin kl j cos kl ). (6-3-11) u1 l u1a
6.3.2· 指向特性 2 A j ( t kr ) p( 0) e 因为： r 故合成声场的指向性为：
D( )
( pa ) ( pa ) 0

sin 2k . 2sin k
(6-3-3)
1）当kΔ=m π即 lsinθ=mλ (m=0,1,2…)时 D (θ)=1 m arcsin , ( m 0,1, 2, ) (6-3-4) 由3式解得出现极大值的方向： l 其中θ=0指方向的极大值称为主极大值，其余的称为副 极大值。 由上式知：在0~π/2之间，出现副极大值的个数是l/m 的整数部分。 由于副极大方向和主极大方向的能量是相等的，在使用中 分散了能量，为使其不出现，就要使振间距离小于波。，
6.3.2指向特性
2）当2kΔ=m’ π即 lsinθ=m’λ/2 (m=1,3,5…)时 分子为0而分母不为0，故 D (θ)=0， 由上述条件可以求出出现0值的方向：
m' ' arcsin (m 1,3,5 ) l (6-3-5)
定义第一次出现0辐射的角度定义为主声束角度宽度指 一半，故主声束的角宽度为：
20c0
可见（1）在最大值方向，声强比分散声强提高n倍， （2）低频无指向性，这时功率辐射总功率相当于n个小球源 单独辐射时总功率的n倍。
6.3.7 不相干小球源的线阵
设n个声源间相距b，观察点为P，原点到P点为r0，可以 求出： p 2 W 0c0 r 2 2b2 W 0c0 coth( r0 ). (6-3-37)
（6-3-15）
可见功率为其单独存在时的2倍，故组合声源的功率为 单个小球源单独存在时的4倍。 当两小球间距离比波长大，且k l>>1时,有
W1 1 2 0c0 S0 (kr0 ) 2 ua 2 （6-3-16）
也就是小球源单独存在时的辐射功率，组合声源的辐射功 率等于两个小球单独存在时的辐射功率之和。
θ
6.3.6 声柱
为了克服由2个同相小球源组成声源 的缺点，使用声柱。设n个体积速度相 同，相位相同的小球源均匀的排放在 一条直线上，合成声场的声压为：
A p e j (t kr1 ) i 1 r i
n
(6-3-21)
对于r>>l的远场，认为振幅相等，相位 部分，由图可见： r2 r1 l sin