第五章 中心力场

1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
(9)式代入(8)式有
2
2
[
2M
2 R
2
2
V
(r
)](r1
பைடு நூலகம்
,
r2
)
ET
( r1 ,
r2
)
分离变量：
方程的解？
能只是粒子到力心的距离r的函数，即V (r)，为球对 称势。（例如Coulomb场）
中心力场中运动的粒子，其角动量守恒。
[lˆ2, Hˆ ] 0
[lˆ , Hˆ ] 0, x, y, z
(具体理由见第四章)
（二）径向波函数与径向方程
中心势场V(r)中运动的粒子，其Hamilton量为
2
Hˆ 2 V (r) （ 粒子质量）
k的取值无限制，故E可取≥0的任意值，构成连续谱。
R() 2 0 非束缚态，对应量子散射问题
d2 (r) 2 E(r) 0
dr 2
2
（7）
②
当E<
0时，令
2
2
2
E ，方程(7)的解
(r) c1er c2er
R(r) c er r
（第1项不满足波函 数标准化条件，舍去）
R() 2 0
第五章 中 心 力 场
本章要求
1. 掌握中心力场中粒子运动的一般性质。 2.掌握氢原子的量子力学处理方法和相关
的结果；了解原子磁矩的概念。 3.了解类氢体系的一些基本概念
第五章 中 心 力 场
教学内容
§1 中心力场中粒子运动的一般性质 §2 氢原子 类氢体系
§1 中心力场中粒子运动的一般性质
（一）何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势
2
2
[
2m1
12
2m2
2 2
V
(
r1
r2
)](r1
,
r2
)
ET (r1, r2
— (8)
)
ET 为体系总能量，引进质心坐标 R和相对坐标 , r
R m1r 1 m2r2 m1 m2
可以证明：
r r1 r2
m1 z r1 r
1 m1
12
1 m2
2 2
1 M
2R
1
2
R r2 + m2
其中
— (9) x O
dr 2
r dr
2
r2
（3）
作代换 R(r) (r) r
d2 dr 2
(
r
)
[
2
2
(E V (r))
l
(
l r2
1)
]
(
r
)
0
（4）
式(3)或(4)可见，中心势场V(r)只决定了径向波函数 R(r)或(r)的形式，因此不同中心势场中的粒子，其 能量本征函数的差别仅在于径向波函数R(r)。而且 径向波函数与角量子数 l 有关，但与磁量子数 m 无 关，因此能级有简并。
{
2
2
2 ( r2
2 r
) r
lˆ2 2r 2
V (r)}R(r)Ylm ( , )
ER(r)Ylm ( , )
由于
lˆ2Ylm( , ) l(l 1) 2Ylm( , )
所以径向波函数R(r)满足的方程：
d2 R(r) 2 d R(r) [2 (E V (r)) l(l 1)]R(r) 0
d2 (r) 2 E(r) 0
dr 2
2
（7）
d2 (r) 2 E(r) 0
dr 2
2
（7）
① 当E≥0时，令
k2
2
2
，E 方程(7)的解
(r) c1eikr c2eikr
e ikr
e ikr
R(r) c1 r c2 r
第1项发散球面 波（被原子散 射）；第2项会 聚球面波(入射)
2
因为V(r)球对称，故采用球坐标系。球坐标系下
2
1 r2
r
(r2
) r
1 r2
[1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
]
2 r 2
2 r
r
lˆ2 2r2
（球坐标系）
能量本征值方程（定态薛定谔方程）
{
2
2
2 ( r2
2 r
) r
lˆ2 2r 2
V (r)}
E
（1）
取体系(自由度3)的力学量完全集为 (Hˆ , lˆ2 , lˆz )。
(r1, r2 ) (R) (r ) （平面波）
2
2M 2R(R) EC(R)
描述质心运动（自由 粒子能量本征方程）
发散解 (舍去)
Rl (r) rl 或 (r) rRl (r) rl1
2. 径向波函数在r的渐进行为
当r的时，径向方程(4)近似为
d2 dr 2
(r)
2
2
(E
V
(r )) ( r )
0
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
V (r) e2 (CGS) r
故当r的时，方程(6)进一步简化为
y
M m1 m2
m1m2 (m1 m2 ) — 约化质量
2R
2 X 2
2 Y 2
2 Z 2
2
2 x 2
2 y2
2 z 2
证明： X x m1 x1 X x1 x x1 m1 m2 X x
同理 X x m2 x2 X x2 x x2 m1 m2 X x
将径向波函数R(r) 或(r)改记为
Rl (r) 或 l (r)
（三）径向波函数的渐进行为
求解中心力场中粒子波函数关键是求径向波函数， 即求解径向方程(3)或(4)。径向方程(3)或(4)属变系 数微分方程，求解策略：“抓两头、带中间”。
1. 径向波函数在r0的渐进行为
中心势场通常满足条件
lim r2V (r) 0
束缚态， 取值将受限制，导致E只
能取分立值。
（四）两体问题转化为单体问题
象氢原子这类中心力场问题，通常是两体问题 （核外电子和原子核）。对于二体问题，使用质心 坐标系可以把它转化为一个粒子在势场中运动的单 体问题。
两质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 V ( r1 r2 ) 只依赖于相对距离 r r1， r这2 个二粒子体系的能量本 征方程为：
三者有共同的本征函数，故能量本征函数，也即方
程(1)的解同时可以选取为 (lˆ2, lˆz )的共同本征态： (r, , ) R(r)Ylm ( , ) （2）
角量子数 l 0,1, 2, ...
磁量子数 m l, l 1, ..., l
R(r) 径向波函数 ； Ylm(,) 角向波函数
(2)式代入(1)式：
r0
则当r0时，方程(3)渐进地表示为
d2 dr 2
Rl (r)
2 r
d dr
Rl (r)
l(l 1) r2
Rl (r)
0
（5）
取(5)式的级数解 Rl (r) b r
v0
代入(5)式，取r同次幂的系数为0，得到
l or (l 1)
即r0时， Rl (r) rl or r(l1)
因此，在r0时径向波函数的渐进行为