关于平面向量与三角函数专题复习课教学的探究
【免费下载】9三角函数与平面向量专题复习策略
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配，料置不试技仅卷术可要是以求指解，机决对组吊电在顶气进层设行配备继置进电不行保规空护范载高与中带资负料荷试下卷高总问中体题资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
关于平面向量与三角函数专题复习课教学的探究
线过 定点 （ ｐ，） 这 时候 ， Ｏ 怎 么可能 是定值 ２ Ｏ， ！Ｐ Ｉ
呢？
这 一解 释得 到 了同学 的认 可． 师： 实践 出 真知 ， 果 还有 同学 有 疑 惑 ， 妨 如 不
课后你 去推 导一 下 ， 里 我 突然 想 到 了这样 一个 这 高考题 ， 当我们 今天 研究 到这 种程 度 ， 这一题 我想
组Ｊ
消去 Ｘ得 ：
ｌ ＝４ｘ Ｙ ： ｐ ：
Ｙ ～ ４ ｐｍｙ 一 ４ ｍ 一 ０． ／
拳 强
维普资讯
案 例 与课 例
教学 过程 ：
根据 下 列框 图 回忆 向量 的相 关知 识．
后得到的 像的函 解析式为Ｙ ｉｘ ） 图 数 —ｓ （＋季 ＋ ｎ
ｒ ＂＝ ３５ ： Ｖ — ， Ｌ
案． 而是 通过 学生 积极 主动 的探 究活 动 ， 培养 了学
生坚忍不 拔 ， 不怕 挫折 ， 发有 为 的人 格 品质 和永 奋 不 满足 ， 断追求新 知 的科 学态度 ， 解 决 问题 的 不 在
过 程 中培 养 了学 生 的创 新 意 识 ． 种 课 堂 才是 真 这 正的高效 率．
维普资讯
案例 与课例
关 于 平 面 向量 与三 角函数 专题 复 习课教 学 的探 究
（ 北省褒 樊市 田家炳 中学 湖 ４ １ ０ ） 高慧明 ４ １４
（ ）掌握 平 面 向量 的数 量 积 及 其 几 何 意 义 ， ５
１ 课例 节选
２ 那么 原来 函数 的解 析式 为 （ ，
（ ）ｊ 一 ｓｎ Ａ ， ｉｘ
， ｌ塑 鲨ｌ
） ．
Ｌ 匮圆
ｒ 鲨 壅 Ｉ 皇 鲨
（ Ｂ）Ｙ — Ｃ Ｓ ＯＸ
名师专题讲座2-三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略
名师专题讲座(二)三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略专题概述高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三角形与恒等变换、平面向量的综合，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.题型一 三角函数的图象与性质题型概览：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(23·cos ωx ＋sin ωx )sin ωx －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx (ω>0)，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． [审题程序]第一步：化简f (x )为“一角一函数”形式；第二步：求ω和单调递增区间；第三步：求f (x )在给定区间上的值域．[规范解答] (1)f (x )＝23cos ωx sin ωx ＋sin 2ωx －cos 2ωx ＝3sin2ωx －cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 得14T ＝14·2π2ω＝π4，即ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－1≤f (x )≤2， 所以函数f (x )的值域为[－1,2]．[解题反思] 此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、由三角函数值求参数、三角函数的周期、三角函数在指定区间上的最值等，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等．该题的亮点有二：一是第(1)问，由f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离得出f (x )的周期从而求出ω，求出f (x )的单调递增区间，经典而又不失新意；二是第(2)问考查函数f (x )在给定区间上的最值问题．需结合y ＝sin x的图象及自变量的变化求解，否则容易出现－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤12，从而出现f (x )∈[－1,1]的错误．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]1．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3，则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3上的图象． 由图象可知，当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时， sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 题型二 解三角形应用题型概览：(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C .(3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C .(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(2017·湖南五市十校3月联考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．[审题程序]第一步：依据余弦定理角化边；第二步：依据余弦定理求cos B 及AM ；第三步：由余弦定理和重要不等式求AM 的最大值．[规范解答] (1)∵b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝3，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2＝bc ＋3.则b 2＋c 2＝bc＋3≥2bc ，得bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac .在△ABM 中，由余弦定理，得AM 2＝AB 2＋BM 2－2·AB ·BM ·cos B ＝c 2＋a 24－2·c ·12a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 2＋2b 2－a 24＝2bc ＋34≤94， ∴AM ≤32.∴AM 的最大值是32.[解题反思] 三角形中的边角关系的转化往往通过正余弦定理．求解与三角形有关的最值问题时，常利用余弦定理和基本不等式构造不等关系．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]2．(2018·宁波统考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A .(1)求角C ；(2)若c ＝5，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由c sin C －b sin B ＝(a －b )sin A 及正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵c ＝5，由(1)知C ＝π3，∴a 2＋b 2－25＝ab ，又a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，∴a 2＋b 2－25＝ab ≥2ab －25，即ab ≤25，∴△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ≤12×25×32＝2534.当且仅当a ＝b ＝c ＝5，即△ABC 为等边三角形时，面积取得最大值2534.题型三 三角函数、解三角形与平面向量的综合应用 题型概览：(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数 f (A )的取值范围．[审题程序]第一步：化简m ·n ＝1；第二步：应用三角函数诱导公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； 第三步：由正弦定理求角；第四步：求三角函数的值域．[规范解答] (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋1＋cos x 22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0.∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12. 故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，32. [解题反思] 本例将平面向量的坐标运算、三角恒等变换、解三角形等知识综合考查．有一定难度．无论(1)还是(2)通过三角恒等变换转化为“一角一函数”的形式都是高考的重点．在(2)中利用正余弦定理转化为给定区间上的最值问题也是热点问题，考查了三角函数的性质．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：[题型专练]3．(2017·山东淄博3月模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积S 的最大值．[解] (1)f (x )＝32sin2ωx －1－cos2ωx 2＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12.因为函数f (x )的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， 所以2A ＋π6＝5π6，得A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以bc ＋3＝b 2＋c 2≥2bc ，解得bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.。
高考高考数学总复习 专题突破二 三角函数与平面向量问题的求解策略课件
A
8
【变式训练 1】 已知函数 f(x)＝2cos2x2＋sin x. (1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求 f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值．
A
9
[解] (1)f(x)＝2cos2x2＋sin x＝cos x＋1＋sin x
＝∴f(x2)s的in最x＋小π4正＋周1期，T＝2π. 由 2kπ－π2 ≤x＋π4 ≤2kπ＋π2 ，k∈Z，
向量与三角函数交汇创新是近几年高考命题的热点，主要涉及 三种情形：①以向量为载体，考查三角变换与求值；②向量与解三 角形交汇求边与角；③以三角函数表示向量坐标，研究向量运算及 函数的有关性质．
A
21
【典例 3】 在平面直角坐标系中，已知点 A(1，1)，B(2，3)， C(c，2)，且点 P(x，y)在△ABC 三边围成的区域内．
在△AMC 中，AM＝ 7，由余弦定理得
AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC·cos C，
∴7＝a2＋a22－2a·a2·cos 23π， 解得 a＝2. 从而 a＝b＝2.
故 S△ABC＝21a·b·sin C＝21×A 2×2·sin 32π＝ 3.
16
【反思启迪】
1 以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解 的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不
变，得到 y＝sin2x－π6 的图象． 所 令以2x－g(xπ6)＝＝sti，n2∵x－0≤π6x≤. π2 ，∴－π6 ≤t≤5π6 .
g(x)＋k＝0，在区间0，π2 上有且只有一个实数解，即函数 g(t)
＝sin t 与 y＝－k 在区间－π6 ，5π6 上有且只有一个交点．
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳
平面向量与三角函数的综合计算与应用解析与归纳引言：平面向量作为数学中的重要概念之一，与三角函数有着密切的联系。
通过对平面向量与三角函数的综合运用，我们可以解决各种实际问题，并深入理解它们在数学中的应用。
本文将通过计算、解析和归纳的方式，探讨平面向量与三角函数的综合应用。
一、平面向量与三角函数的基本关系在开始讨论平面向量与三角函数的综合计算与应用之前，我们先来回顾一下它们之间的基本关系。
1. 平面向量的表示平面向量可以用有序数对表示，一个二维向量A可以表示为A = (a, b)，其中a为向量在x轴上的分量，b为向量在y轴上的分量。
同时，向量A也可以表示为矩阵形式：A = [a, b]2. 平面向量的运算平面向量可以进行加法和数量乘法运算。
加法运算即将两个向量的对应分量相加，例如A + B = (a1 + b1, a2 + b2)，其中A = (a1, a2)，B = (b1, b2)。
数量乘法即向量的每一个分量都乘以相同的数，例如kA = (ka1, ka2)，其中k为任意实数。
3. 三角函数的定义三角函数是常用的数学函数，由直角三角形的边长比定义。
其中，正弦函数s inθ的定义为：sinθ = 长边/斜边，余弦函数cosθ的定义为：cosθ = 邻边/斜边，正切函数tanθ的定义为：tanθ = 长边/邻边。
二、平面向量与三角函数的综合计算与应用在了解了平面向量与三角函数的基本关系后，我们可以通过综合计算与应用来加深对它们的理解。
1. 平面向量与三角函数之间的关系根据平面向量的定义和三角函数的定义，我们可以得出以下结论：对于任意角θ，设与角θ 相对的边向量为A，斜边向量为B，则有：A = [sinθ, cosθ]B = [sinθ, cosθ]2. 平面向量的模与方向平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
对于向量A = (a, b)，其模记为|A|，计算公式为：|A| = √(a^2 + b^2)向量的方向可以用角度来表示，可以通过以下公式计算：θ = arctan(b/a)3. 平面向量的点积与叉积平面向量的点积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念。
探讨利用平面向量解决三角函数问题
探讨利用平面向量解决三角函数问题作者：刘传富来源：《学习周报·教与学》2020年第08期摘 ;要：高中作为学生学习与成长过程中至关重要的转折阶段，是学生升入大学之前的关键时期。
因此在高中教学阶段教师一定要注重学生文化素养的提升，同时也要保证学生心态的平和，通过一定的教学方法提高学生的解题效率，降低学生的学习难度，帮助学生减少学习压力。
在高中教学体系中，数学是一门重要且逻辑性强的学科，在数学学科中很多知识点都是相互联系的。
基于此，本文针对利用平面向量解决三角函数问题进行一些探讨。
关键词：平面向量;三角函数问题引言：在高中教育体系中，数学是一门逻辑性较强的学科，同时学生学好数学也能够解决很多生活中的实际问题，因此需要学生具备一定的逻辑思维与自主学习能力。
平面向量是数学中重要的概念与工具，与很多数学问题都有着密切的联系，其中就包括三角函数。
因此学生应能够准确掌握平面向量与三角函数之间的关系，并且通过一定的转化，帮助理解平面向量与三角函数之间的一些关系，并通过平面向量简化三角函数问题的解题环节，提高学习效率和解题正确度。
因此将平面向量与三角函数问题进行结合式思考，也是教师应该教给学生的重要内容之一，这对于学生提高数学解题效率、降低学习压力有着重要的帮助。
1.利用平面向量夹角解决三角函数问题想要利用平面向量来解决一些三角函数的问题，首先教师要引导学生明确三角函数的基本内涵，三角函数中包括哪些知识点等。
通过研究发现平面向量的夹角这一概念可以与三角函数中一些知识点进行转化和重合，因此利用平面向量的夹角问题来解决一些三角函数问题是有效研究课题的关键。
例题：在▲ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，AC=6，则向量AB·向量BC=？解析：这道题可以根据三角函数中的余弦定理得出cos B=49+25-36/2x7x5=19/35，之后可以根据平面向量和三角函数的相关知识进行解答。
从这道题目中可以看出，平面向量的夹角与三角函数中的∠ABC的补角有所关联，也就是说本题所要求的向量AB和向量BC的夹角其实是∠ABC补角的大小。
平面向量在三角函数中的应用(教案)
3平面向量在三角函数中的应用(教案)教学目标：1•知识与技能：平面向量知识与三角函数知识的整合，初步掌握平面向量在三角函数中 的运用• 2•过程与方法：回顾必修 4所学知识，研究“整合”例题，找到解题思路，会做一点基 础题目，体会向量的工具特点 •3•情感态度与价值观：培养学生的推理能力和运算能力 •在探索过程中，动手动脑，获得 成功的体会，树立学好数学的自信心 •教学重点：平面向量知识与三角函数知识整合教学难点：学生熟记平面向量知识与三角函数知识的基础上，如何应用解题教学方法：学案教学•教学过程：一. 复习：平面向量部分知识点填空：f —1. 设 a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2),贝U a • b = _____________ .i — 2. 设a = (x i , y i ), b = (x 2, y ),其中b 丸，当且仅当 _______________ 时，向量a 、b 共线.—b—w «—»3. 设 a = (x , y ),贝U|a I 2 = ___________ , I a I = ___________ .—Ir —h- ―H f 4. _________________________________________________ 设 a = (x i , y i ), b = (x 2, y 2),贝U a 丄 b _____________________________________ .二. 例题分析：例：已知 a = (sinx , cosx ), (1) 若 a // b ,求 cos2x 的值.(2) 若a 丄b ,求符合条件的x 组成的集合(3) 设c = (2 , 0),求I a + c I 的最大值 (4)设 f (x ) = a • b : ,求 f (x ) 的最小正周期和递减区间解: (i ) —* —r •/ a //b ,/• sinx • si nx — cosx i • cosx = 0 2••• si n^ —cos 2x2i 2 i sin x =— 3 ,coHx =- 3 由 sin 2x+cos 2x = i , 可知• cos2x =cos 2x — sii n 2x= ib = ( cosx , 2sinx ), x € R.(2)T a 丄 b ,•一匚• 1 3 3--a • b = sinx • cosx +cosx • sinx = sinx • cosx= —sin2X =02 2 4 /• sin 2x=0 • 2x=k n , k € Zk --x= 2 k € Zk•••符合条件的x 的组成的集合为{x I x=一 , k € Z }2(a + c ) 2=( sinx+2 ) 2+cos 2x2 2=sin x+4sinx+4+cos x =5+4s inx(a + c ) 2的最大值为 5+4=9. 2 2 3解得 一 + k nW x < + k n, k € Z4 4 3 二 f (x )的递减区间为[一+ k n, + k n ] ( k € Z )4 4 三. 课堂练习：1. 设 a = (sinx , cosx ), b = (cosx , sinx ), x € R ,若 a // b ，求 cos 2x 的值.2. 设 a = (sinx , 2), b = (3, cosx ), x € R ，若 a 丄 b ，求 tanx 的值.3. 若 a = (sinx , cosx — 2), x € R ,求 |a | 的最小值，4. 设函数 f (x ) = a • b ,其中 a = (1, . 3 ), b = (sinx , cosx ), x € R.求函数 f (x ) 的最小正周期和最大值(3) a + c =( sinx , cosx ) + (2, 0) = (sinx+2 , cosx )• I a + c I 的最大值为 3.(4)由第(2)题可知： —r -b — 3f (x ) = a 2T — — sin2x ,4 2 = -f (x )的最小正周期为 二 n . 2•正弦函数的递减区间为 [ — +2 k n , 3+2 k n ] (k € Z ),2 2 •在函数f (x )中：令-+2 k nW 2x W 3 +2 k n , k € Z2四•小结：这节课你有哪些感想?五•课后作业：(2)若x € [——,0],求函数f (x )的值域.4六.板书设计：1.已知 a = (cos2x , sinx ), b = (1, 2sinx — 1), x € (2 7t 的值.3.设函数 f (x ) = a • b ，其中 a = (2cosx , 1), b = (cosx , (1)求函数f (x )的单调递减区间. a • b =.求 tan (x+ ) 5 4 -73 sin2x ), x €R.。
重点高中教案 高三 理科数学《专题一 三角函数与平面向量》
专题1 三角函数与平面向量【知识网络】【考情分析】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的图象与性质是本专题复习的重点. 在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.本专题内容一般以选择、填空题、解答题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数图象与性质有关的问题；（2）应用同角变换、诱导公式和两角和差公式求值、求角及进行化简和证明；（3）三角函数与平面向量的综合运用；（4）应用正、余弦定理解三角形及解决三角函数型模型的应用题.预测2011年高考对本专题内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换；三角函数知识的综合应用和实际应用，也是新课标教材的热点内容.第1讲 三角函数的图象与性质【领悟高考】1．考纲要求（1）能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在(,)22ππ-内的单调性.（3）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2．考题展望本讲考题多见于中档题，三角函数的图象与性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换等；考查形如sin()y A x ωϕ=+的函数图象及性质；考查利用sin()y A x ωϕ=+求解三角函数表达式的最值等. 题型上多以小而活的选择题、填空题形式出现，有时也会出现以函数性质为主的几何图象的综合题，估计该部分在2011年高考中仍是热点，应高度重视.3．高考真题[考题1]（2010江苏卷）定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象的交点为P ，过点P 作1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 .[解析]线段12P P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得2sin 3x =. 线段12P P 的长为23. [命题立意]考查三角函数的图象、数形结合思想.[考题2]（2010山东理数17）已知函数211()sin 2sin cos cos sin 22f x x x ϕϕ=+-()(0)2πϕϕπ+<<，其图象过点(,)62π1.（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在[0,]4π上的最大值和最小值.[解析]（1）因为已知函数图象过点1(,)62π，所以有2111sin 2sin cos cos sin()(0)226622πππϕϕϕϕπ=⨯+-+<<，即有 331sin cos cos (0)sin()226πϕϕϕϕπϕ=+-<<=+，所以62ππϕ+=，解得3πϕ=.（2）由（1）知3πϕ=，所以211()sin 2sin cos cos sin()(0)233223f x x x ππππϕπ=+-+<< 2311311cos 211sin 2cos sin 2sin(2)424422426x x x x x π+=+-=+⨯-=+， 所以1()sin(4)26g x x π=+，因为[0,]4x π∈，所以54[,]666x πππ+∈，所以当462x ππ+=时，即12π=x 时()g x 取最大值12； 当466x ππ+=或56π时，即6π或o x =时()g x 取最小值14.[命题意图]本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力.【备考要点】1．三角函数的图象与性质的常考点定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性sin y x =R[1,1]- T =2π 奇函数递增区间[2,2]22k k ππππ-+ 递减区间3[2,2]22k k ππππ++()k Z ∈cos y x =R[1,1]- T =2π 偶函数递增区间[2,2]k k πππ-递减区间 [2,2]k k πππ+()k Z ∈tan y x = {|x x ∈R 且2x k ππ≠+，k ∈Z }RT =π 奇函数在每一个区间(,)22k k ππππ-+()k Z ∈ 内都是增函数2．三角函数图象与性质的易错点（1）利用三角函数图象变换中的周期变换与相位变换时，易将w 与ϕ求错. 由sin y x =得到sin()y wx ϕ=+(0)w >时，若先进行相位变换，即平移||ϕ个单位；若后进行相位变换，则平移||wϕ个单位. 在做周期变换时，弄错ω的值的变化，做周期变换只改变x 前的系数，不改变初相相ϕ． （2）对正弦型sin()y A wx ϕ=+及余弦型cos()y A wx ϕ=+的性质，如对称轴、对称中心等性质理解不透彻.sin()y A wx ϕ=+的对称轴一定经过图象的波峰与波谷，且与y 轴平行，两条相邻对称轴的距离为周期的一半；而对称中心是图象与x 轴的交点，两个相邻对称中心的距离为周期的一半，相邻对称轴与对称中心距离为周期的14. 【典例精析】1．三角函数图像[例1]（09年天津卷·文7变式题）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的对称中心与对称轴的距离最小值为4π，将()y f x =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A ．2πB ．38π C ．4πD ．8π ［答案］D［解析］由题意，周期为π，所以2ππω=，2ω=，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数. sin[2()]cos24x x πϕ++=±，故选D.[点评]1. 本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用.2.熟记（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称中心与对称轴的距离最小值为最小正周期的14；（2）若函数图像关于y 轴对称，则此函数为偶函数.[例2]（09年辽宁卷·文14变式题）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，则(2010)f π= .［答案］1 [解析]由图可知43T π=,43T π=,232T πω==,3023πϕ⨯+=,2πϕ=-,33()sin()cos 222f x x x π=-=-,3(2010)cos(2010)cos3015cos 12f ππππ=-⨯=-=-=.[点评]由三角函数图像求解析式,一般是根据2Tπω=,0x ϕω=-,(0x 为”五点法”中的第一个零点的横坐标)求解.2.三角函数的性质[例3]（山东省枣庄市2009年4月模拟题）已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个说法：①若12()()f x f x =-，则12x x =-；②()f x 的最小正周期是2π；③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数；④()f x 的图象关于直线34x π=对称. 其中正确说法的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4［答案］B[解析]1()cos sin sin 22f x x x x == ，由于①，举反例：1()s i n 22f ππ==，1(2)sin 402f ππ==，∴①错误；对于②，()f x 的最小正周期是π，∴②错误；对于③，由22222k x k ππππ-≤≤+，得44k x k ππππ-≤≤+，令1k =，知③正确；对于④，由22x k ππ=+，得24k x ππ=+，令1k =，知④正确. [点评]一般来说，求解三角函数的性质，都是先利用三角变换将函数化为sin()y A x ωϕ=+形式，再研究函数的性质.3. 三角函数图像与性质的综合[例4]（09陕西卷·文17变式题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π且图像上一个最低点为2(,2)3M π-. （1）求()f x 的解析式，并求()f x -单调递减区间； （2）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值；（3）求最小正实数h ，使得函数()f x 的图像按向量(,0)m h =平移所对应的函数()g x 是奇函数.[解析]（1）由最低点为2(,2)3M π-得2A =，由T π=得222T ππωπ===， 由点2(,2)3M π-在图像上得42sin()3πϕ+2=-即4sin()13πϕ+=-， 4232k ππϕπ∴+=-即1126k πϕπ=-，k Z ∈，又(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=. ()2sin(2)6f x x π∴=+.()2sin(2)2sin(2)66f x x x ππ∴-=-+=--，由222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63k x k ππππ-≤≤+，()f x ∴-单调递减区间为[,]63k k ππππ-+ k Z ∈.（2）[0,]12x π∈ ，2[,]663x πππ∴+∈，∴当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最小值1；当263x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值3.（3）()f x 的图像按向量(,0)m h = 平移所对应的函数()2sin[2()]6g x x h π=-+2sin(22)6x h π=-+，()g x 为奇函数，26h k ππ∴-+=，212k h ππ=-+ k Z ∈，∴最小正实数h 为12π.[点评]1. 求三角函数的单调区间时，首先要看ω是否为正，若ω为负，则应先使用诱导公式化为正，然后再根据整体代换法求出单调区间.2. 熟记：曲线(,)0f x y =按(,)m h k =平移所对应的曲线方程为(,)0f x h y k --=.【备选例题】[例5]（浙江省2009年十校联考模拟题） 设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =++()x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若[0,]2x π∈，是否存在实数m ，使函数()f x 的值域恰为17[,]22？若存在，请求出m 的取值；若不存在，请说明理由.[解析]（1）2()2cos 23sin cos 1cos23sin 2f x x x x m x x m =++=+++2sin(2)16x m π=+++，∴函数()f x 的最小正周期T π=.（2）假设存在实数m 符合题意，[0,]2x π∈ ，72666x πππ∴≤+≤，则1sin(2)[,1]62x π+∈-， ()2sin(2)1[,3]6f x x m m m π=+++∈+，又17()[,]22f x ∈ ，解得12m =，∴存在实数12m =，使函数()f x 的值域恰为17[,]22.【规律总结】1．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键.（1）给出sin()y A x ωϕ=+的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置（同理也可以找最高点等）. （2）函数s i n ()y Ax ωϕ=+图像向左平移(0)h h >个单位所对应的函数为sin[()]y A x h ωϕ=++，不是sin[]y A x h ωϕ=++.2．三角函数性质中最值、奇偶性、对称性、单调区间及其周期是高考命题的一个热点. （1）．三角函数值域的求法 三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；或化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．（2）三角函数的奇偶性问题1）．函数sin()y A x ωϕ=+(0)ω≠为奇函数的充要条件为,k k ϕπ=∈Z ，为偶函数的充要条件为,2k k πϕπ=+∈Z ．2）．函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+≠为奇函数的充要条件为,2k k πϕπ=+∈Z ；偶函数的充要条件为,kx k ϕ=∈Z ．3）．函数tan()(,0)y A x A ωϕω=+≠为奇函数的充要条件为2k πϕ=，k ∈Z ，它不可能是偶函数．4）．判断函数的奇偶性，应首先判定函数的定义域关于原点的对称性．（3）．三角函数的对称性函数sin()y A x ωϕ=+与cos()y A x ωϕ=+的对称轴必过最值点，对称中心是函数图象与x 轴的交点，函数tan()y x ωϕ=+无对称轴，对称中心除了和x 轴的交点外，还有0(,0)x ，其中满足02x k πωϕπ+=+，k ∈Z ．1）．函数sin()y A x ωϕ=+的图象关于直线k x x =成轴对称，则()2k x kx k πωϕ+==∈Z ．2）．函数sin()y A x ωϕ=+的图象关于点(,0)i x 成中心对称，则()i x k k ωϕπ+=∈Z （4）．三角函数单调区间的求法及单调性的应用1）．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，比如：由22()22k x k k πππωϕπ-≤+≤+∈Z 解出x 的范围所得区间即为增区间，由322()22k x k k ππωϕππ+≤+≤+∈Z 解出x 的范围，所得区间即为减区间． 2）．若函数sin()y A x ωϕ=+中0A >，0ω<，可用诱导公式将函数变为sin()y A x ωϕ=---，则sin()y A x ωϕ=--的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．对于函数cos()y A x ωϕ=+的单调性的讨论与上类似．3）．比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数，再利用单调性比较． （5）．三角函数的周期性1）．函数sin()y A x ωθ=+，cos()y A x ωθ=+，周期2||T πω=．2）．函数tan()y A x ωθ=+，周期||T πω=． 3）．|s i n |y x =，|cos |y x =，周期T π=，但|tan |y x =，周期T π=.【强化训练】1．已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题图所示，则A.ω=1 ϕ=6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2 ϕ= 6π D. ω=2 ϕ= -6π[答案]D[解析]2=∴=ϖπT 由五点作图法知232πϕπ=+⨯，ϕ= -6π 2．函数22()sin ()cos ()144f x x x ππ=++--是（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数[答案]A[解析]1cos(2)1cos(2)22()122x x f x ππ-++-=+- 11sin 2sin 2sin 222x x x =+=，T π∴=，且()f x 为奇函数.3．函数sin cos y x x =的单调减区间是（ ） A ．[,]44k k ππππ-+()k z ∈B ．3[,]44k k ππππ++()k z ∈ C ．[2,2]()42k k k z ππππ++∈D ．[,]()42k k k z ππππ++∈[答案]D[解析]1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=sin 20222x k x k πππ≥⇒≤≤+2k x k πππ⇒≤≤+（k Z ∈），此为函数的定义域．由x y 2sin =的图象可知sin 2y x =的递减区间为[,]()42k k k Z ππππ++∈，这也是原函数的单调减区间．4．（09年浙江，文10）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（ ）[答案]D[解析]对于振幅大于1时，三角函数的周期为2||T a π=，||1a > ，2T π∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π.5．先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 .[答案]2sin(2)3y x π=--[解析]sin 2y x =向右平移3π个单位，得sin 2()3y x π=-，再作关于y 轴的对称变换得2sin(2)3y x π=--.6．（2010福建理数）已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)g x x ϕ=++1的图象的对称轴完全相同. 若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 .[答案]3[,3]2-[解析]由题意知，2ω=，因为[0,]2x π∈，所以2[,]666x πππ5-∈-，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin()62π-=-，最大值为3sin 33π=，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-.7．下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②函数1|cos |2y x =+的最小正周期是π； ③函数tan 2xy =的图象的对称中心是(,0),k k Z π∈；④2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈为增函数的区间为5[,]36ππ.⑤在同一坐标系中，sin y x =的图象与tan y x =的图象在[2,2]ππ-上交点个数为5个.其中正确的命题序号是 .[答案]③④⑤[解析]①举反例：若1300x =-︒，230x =︒，12x x <，但12sin sin x x >，所以sin y x =在第一象限为增函数是错的.∴①错误；②由图象可知1|cos |2y x =+的最小正周期为2π；∴②错误； ③tan y t =的图象的对称中心为(,0)2k π()k Z ∈， tan2xy ∴=的图象的对称中心为(,0)k π()k Z ∈.∴③正确； ④求2sin(2)6y x π=-的增区间即转化为求2sin(2)6y x π=-的减区间，3222()262k x k k Z πππππ∴+≤-≤+∈ 55[,][0,][,]3636k k πππππππ∴++= .∴④正确；⑤ 在(0,)2π内，tan sin x x >.sin y x ∴=与tan y x =在[2,22]π-上交点为(0,0),(,0),(2,0),(,0),(2,0ππππ--.∴⑤正确.8．已知函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，且最小正周期为x . （1）求ϕ和ω的值；（2）求()()3()4g x f x f x π=++取最小值时的x 的集合.[解析]（1） 函数最小正周期为π，且0ω>，2ω∴=.又()f x 是奇函数，且0ϕπ≤≤，由(0)0f =得2πϕ=.（2）由（1）()cos(2)sin 22f x x x π=+=-.所以()sin 23sin 2()sin 23cos22sin(2)43g x x x x x x ππ=--+=--=-+，当sin(2)13x π+=时，()g x 取得最小值，此时2232x k πππ+=+，解得,12x k k Z ππ=+∈.所以，()g x 取得最小值时x 的集合为{|,}12x x k k Z ππ=+∈.9．已知函数23()3sin cos cos (,)2f x x x x R x R ωωωω=⋅-+∈∈的最小正周期为π，且其图象关于直线6x π=对称. （1）求()f x 的解析式； （2）求使()f x 12≤的x 的取值范围； （3）若把()y f x =的图象向下平移1个单位，再向右平移6π个单位，得到()y g x =的图象，画出()y g x =在[0,]π上的图象.[解析]（1）23313()3sin cos cos sin 2(1cos 2)2222f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=-++ 31sin 2cos 21sin(2)1226x x x πωωω=-+=-+， 由()f x 的周期为π，21|2|ππωω∴=⇒=±，()sin(2)16f x x π∴=±-+.当1ω=时，()sin(2)16f x x π∴=-+，3()sin 1662f ππ=+= 不是最大值也不是最小值，其图象不关于6x π=对称，舍去；当1ω=-时，()sin(2)16f x x π∴=-++，()sin 1062f ππ=-+= 是最小值，其图象关于6x π=对称，故()sin(2)16f x x π=-++为所要求的解析式.（2）由1()2f x ≤，得1sin(2)62x π+≥ 5222666k x k πππππ∴+≤+≤+()3k x k k Z πππ∴≤≤+∈.1()2f x ∴≤的x 取值范围是{}|,3x k x k k Z πππ≤≤+∈（3）由平移可得()2sin(2)6g x x π=--，图略.10.已知向量a (2cos ,tan())4x x πωω=+,b (2sin()4x πω=+,tan())4x πω-，其中8πω>，设()f x =a ·b .（1）化简函数()f x ，并求出当1ω=，(0,)2x π∈时()f x 的值域；（2）若把函数()f x 的图象向右平移a 个单位后得到的图象关于点(1,0)a +对称，且()f x 在[,1]8πω上是单调函数，求ω的值. [解析]（1）()2cos 2sin()tan()tan()444f x x x x x πππωωωω=⋅+++⋅-12cos (sin cos )tan()4tan()4x x x x x πωωωωπω=+-+⋅+2sin 22cos 1sin 2cos22sin(2)4x x x x x πωωωωω=+-=+=+.当1ω=时，()2sin(2)4f x x π=+，02x π<<，2444x πππ5∴<+<. 2sin(2)124x π∴-<+≤. ()f x ∴的值域是(1,2]-.（2）由题意知()2sin[2()]4f x x a πω=-+的图象关于点(1,0)a +对称，2sin[2(1)]04a a πω∴+-+=， 2()4k k Z πωπ∴+=∈.又()f x 在[,1]8πω上是单调函数，令24t x πω=+， 则()2sin g t t =在[,2]24ππω+上是单调函数，32242πππω∴≤+≤， 24πωπ∴+=.38πω∴=.第2讲 三角变换及三角形中的三角函数问题【领悟高考】 1．考纲要求 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，πα+的正弦、余弦、正切的诱导公式.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=. （4）和与差的三角函数的公式. ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、正切公式.③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （5）简单的三角恒等变换.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但这三组公式不要求记忆）. 2．考题展望从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也会以大题形式出现，占分约5%，估计在今后高考中对本讲知识的考查仍保持稳定，仍将以容易题和中档题为主. 解答题则常以融图象与性质、正弦、余弦定理、平面向量于一体的综合性较强的问题出现. 估计2011年高考中此部分仍是重点. 3. 高考真题[考题1]（2010全国卷2理数）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = .[答案]12-[解析]由4tan(2)3a π+=-得4tan 23a =-，又22t a n 4t a n 21t a n 3a αα==--，解得1tan 2α=-或tan 2α=，又a 是第二象限的角，所以1tan 2α=-.[命题意图]本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.[考题2]（2010湖南理数）已知函数2()3sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最大值；（2）求函数()f x 的零点的集合. [解析]（1）因为()3sin 2(1cos2)2sin(2)6f x x x x π=--=+，所以，当2266x k πππ+=+，即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取最大值1.（2）解法1：由（1）及()0f x =得1sin(2)62x π+=，所以2266x k πππ+=+，或52266x k πππ+=+，即x k π=，或3x k ππ=+.（Z k ∈）故求函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=，或3x k ππ=+，}k Z ∈解法2：由()0f x =得223sin cos 2sin x x x =，于是sin 0x =，或3cos sin x x =， 即tan 3x =.由sin 0x =可知x k π=，即tan 3x =可知，3x k ππ=+.故求函数()f x 的零点的集合为{|x x k π=，或3x k ππ=+，}k Z ∈.[命题意图]本题考查三角函数的恒等变形，简单三角方程，二倍角公式、两角和差的正余弦公式，考察学生三角运算能力.属中档题【备考要点】1．三角恒等变换常考点.（1）同角三角函数关系——可实现函数名称的转化．αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+ （2）诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可实现角的形式的转化． 诱导公式的口诀：奇变偶不变，符号看象限． 和、差、倍角公式：s i n()s i n c o s c o s αβαβαβ+=±； cos()cos cos sin sin c αβαβαβ+= ；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= （α，β，,2k k Z παβπ±≠+∈）；sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-；22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++（其中tan baϕ=）. （3）倍角公式及其变形公式——可实现三角函数式的升幂或降幂的转化，同时也可以完成角的形式的转化．2．三角恒等变换易错点 （1）“给角求值”时没有发现角的内在联系造成错解.一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（2）“给值求值”时没有运用整体思想造成繁解.给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”时忽视对角的范围的限制造成增解. “给值求角”实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 【典例精析】1．给角求值.[例1]求值：sin 50(13tan10)cos 20cos801cos 20︒+︒-︒︒⋅-︒.[解析]cos103sin102sin 40sin 50(13tan10)sin 50sin 501cos10cos10︒+︒︒︒+︒=︒⋅=︒⋅=︒︒，22cos801cos20sin102sin 102sin 10︒⋅-︒=︒⋅︒=︒ ∴原式21cos2022sin 10-︒==︒.[点评]对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）化为特殊角的三角函数值． （2）化为正负相消的项，消去求值．（3）化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值． 2．给值求值.[例2]已知35sin cos 5αα+=，3sin()45πβ-=，(0,)4πα∈，(,)42ππβ∈.（1）求sin2α和tan2α的值；（2）求cos(2)αβ+的值.[解析]（1）由题意得29(sin cos )5αα+=， 即91sin 25α+=，4sin 25α∴=.又2(0,)2πα∈，23cos21sin 25αα∴=-=，sin 24tan 2cos23ααα∴==.（2）(,)42ππβ∈ ，(0,)44ππβ∴-∈，4cos()45πβ∴-=，于是24sin 2()2sin()cos()44425πππβββ-=--=.又sin 2()cos24πββ-=-，24cos225β∴=-.又2(,)2πβπ∈，7sin 225β∴=.又21cos24cos 25αα+==，(0,)4πα∈. 2cos 5α∴=，1sin 5α=. 252457115cos(2)cos cos 2sin sin 2()52552525αβαβαβ∴+=-=⨯--⨯=-. [点评]给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．同时要特别注意角的范围，从而确定三角函数的符号.3.给值求角[例3]已知锐角ABC ∆中，三个内角为,,A B C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+，(sin cos ,1sin )q A A A =-+，若p 与q 是共线向量.（1）求角A 的大小； （2）若=x sin C 使1(0)2y x x x=+>取得最小值，求角C 的大小； （3）若函数232sin cos()2C By B -=+存在最大值，求角B 的大小. [解析]（1）(22sin ,cos sin )p A A A =-+ ，(sin cos ,1sin )q A A A =-+， //p q，(22sin )(1sin )(cos sin )(sin cos )0A A A A A A ∴-+-+-=.化简得，23sin 4A =，090A ︒<<︒ ，3sin 2A ∴=，60A ∴=︒. （2）当22x =时，使12y x x =+最小，2sin 2C ∴=.C 为锐角ABC ∆的内角 ， ∴45C =︒.（3）22318032sin cos()2sin cos()22C B B A B y B B -︒---=+=+ 当60A =︒，则)260cos(sin 22B B y -+==232sin 212cos 2cos 1⋅+⋅+-B B B =1+),302sin( -B 60=∴B 时可以使得函数取得最大值2.[点评]熟记在三角形中，.cos )cos(,sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+⇔=++π【备选例题】[例4]（2010·苏北四市模拟）已知sin(2)3sin αββ+=，设tan x α=，tan y β=，记()y f x =. （1）求证：tan()2tan αβα+=； （2）求()f x 的解析表达式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域.[解析]（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin[()]3sin[()]αβααβα++=+-， 即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin αβααβααβααβα+++=+-+， sin()cos 2cos()sin αβααβα∴+=+， tan()2tan αβα∴+=.（2）由（1）得tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-，即21x y x xy +=-，∴212x y x =+，即2()12xf x x=+. （3） 角α是一个三角形的最小内角，03πα∴<≤，03x <≤，设1()2g x x x =+，则1()222g x x x =+≥（当且仅当22x =时取“=”）.故函数()f x 的值域为2(0,]4. [点评]本题的关键是第（1）小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路. 对于第（2）小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系. 第（3）小题则利用基本不等式求解即可. 【规律总结】 1．要能熟练推证公式，熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用. 如两角和与差的正切公式可变形为：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+. 余弦二倍角公式有多种形式，即2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，变形公式21cos2sin 2αα-=，21cos2cos 2αα+=. 它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.2．对于形如sin cos a b αα+的式子，都可通过合理地变形，借助两角和与差的三角函数公式的逆用，化为只含有一个三角函数的形式，即22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++（其中tan baϕ=），这个公式称为辅助角公式，它的解决三角函数问题中具有广泛的应用. 3．三角恒等变换常用方法：正切化弦、常数代换、角的变换、降幂转化、逆用公式、变形后用公式等.（1）要注意拆角、拼角技巧. 例如：2()()ααβαβ=++-，()ααββ=+-，22αβαββ+-=-，()22αββα-=+()2αβ-+等.（2）注意倍角的相对性，如α是2α的倍角，3α32α的倍角等. （3）要注意公式间的内在联系及特点，解题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形应用，也应注意公式成立的条件.【强化训练】1．已知1sin cos 2x y =，则cos sin x y 的取值范围是（ ）A ．11[,]22-B ．31[,]22-C ．13[,]22-D ．[1,1]-[答案]A[解析]设cos sin x y t =，则1(s i n c o s )(c o s s i n )2x y x y t=，可得sin 2sin 22x y t =，由|sin 2sin 2|1x y ≤即|2|1t ≤ 1122t ∴-≤≤.[错解]B 、C [错因]将1sin cos 2x y =与cos sin x y t =相加得1sin()2x y t +=+由1sin()1x y -≤+≤得1112t -≤+≤得3122t -≤≤选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足.2．已知奇函数()f x 在(1,0)-上为递减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A ．(cos )(cos )f f αβ> B ．(sin )(sin )f f αβ> C ．(sin )(cos )f f αβ< D ．(sin )(cos )f f αβ> [答案]C[解析]()f x 在(1,0)-上为递减函数，又()f x 为奇函数()f x ∴在(0,1)上也为递减函数. α ，β为锐角三角形内角 90900αβ∴︒>>︒->︒， s i n c o s αβ∴> (s i n )(c o sf f αβ∴<. [错因]综合运用函数的有关性质的能力不强.3．设sin15cos15a =︒+︒，sin17cos17b =︒+︒，则下列各式中正确的是（ ）A ．222a b a b +<<B ．222a b a b +<<C ．222a b b a +<<D ．222a b b a +<<[答案]B[解析]2sin(1545)2sin60a =︒+︒=︒，2sin(1745)2sin62b =︒+︒=︒，.b a ∴>2222sin 60sin 622sin60sin623sin622a b +=︒+︒>︒︒=︒ ，222a b b a +∴>>.故选B.4．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠的大小为（ ）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．6π或23π[解析]由3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩平方相加得1sin()2A B +=，1sin 2C ∴=， 6C π∴=或56π ． 若56C π= ， 则6A B π+=．13cos 4sin 0A B -=> ， 1c o s3A ∴< ． 又1132<， 3A π∴> ， 56C π∴≠ ， 6C π∴= ． 故选A.[错解]C[错因]此题极易错选为C ，条件1cos 3A <比较隐蔽，不易发现. 这里提示我们要注意对题目条件的挖掘.5．（2009上海青浦区）把cos3cos5αα+化为积的形式，其结果为 .[答案]2cos4cos αα⋅[解析]cos3cos5cos(4)cos(4)2cos4cos αααααααα+=-++=⋅.6．（祥云一中二次月考理）若1tan()42πα-=，且(0,)2a π∈，则sin cos αα+= .[答案]2105[解析]1tan()42πα-= ，tan 111tan 2αα-∴=+，tan 3α∴=．,2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πα 3sin 10α∴=， 1cos 10α=，425sin cos 510αα∴+==. 7．（祥云一中三次月考理）()y f x =是关于3x =对称的偶函数，(1)1f =，32cos sin 5x x -=，若15sin 2cos()4x t x π=+，则()f t = .[答案]1[解析][215cos(2)152cos ()1]24cos()cos()44x x t x x ππππ-+-+-==++， 32cos sin 2cos()45x x x π-=+=3c o s ()45x π∴+= ． 1815[1]2535t --∴=71525735--⨯== ． ()(7)(1)(1)f t f f f ∴==-==．8．（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于,A B 两点，已知,A B 的横坐标分别为225,105. （1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值.[解析]由条件的2cos 10α=，25cos 5β=，因为α，β为锐角，所以72sin 10α=，5sin 5β=，因此tan 7α=，1tan 2β=. （1）tan tan tan()31tan tan αβαβαβ++==--. （2）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ++==--. ,αβ 为锐角，3022παβ∴<+<，324παβ∴+=. 9．关于x 的方程2sin 2sin tan 0x x θθθ+⋅-=的两根为α、β，且02θπ<<.若数列211111,(),()αβαβ++，…，的前100项和为0，求θ的值.[解析]11sin 2()2sin sin αβθθαβαβθ+-+===- ， 2s i n q θ∴=. 而数列的首项为1，由等比数列的前n 项和公式得1001001(2sin )012sin S θθ-==-，100(2sin )1θ∴=，2sin 1θ=-.（当2sin 1θ=时，1000S ≠）又221(sin 2)4sin 4cos (1sin cos )0tan θθθθθθ∆=+⋅=+>， 21sin cos 0θθ+> ， c o s 0θ∴> . 02,θπ<< 116πθ∴=. 10．已知,A B 为锐角，(2cos ,sin )22A B A B a +-=，6||2a =. （1）试问tan tan A B ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则，说明理由. （2）求tan()A B +的最小值，并求此时A B +的值. [解析]（1）6||2a =，23||2a ∴=. 223(2cos )(sin )222A B A B +-∴+=.2232cos sin 222A B A B +-∴+=. 1cos()3cos()122A B A B --∴+++=.1cos()cos()02A B A B ∴+--=. cos cos 3sin sin A B A B ∴⋅=⋅.sin sin 1tan tan cos cos 3A B A B A B ⋅⋅==⋅为定值.（2）tan tan 33tan()(tan tan )2tan tan 1tan tan 22A B A B A B A B A B ++==+≥⋅⋅-⋅1333==. ∴当3tan tan 2A B ==时，tan()A B +取得最小值为3. A 、B 为锐角，此时3A B π+=.第3讲 平面向量及其应用【领悟高考】 1．考纲要求 （1）平面向量的实际背景及其本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. （4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 2．考题展望高考对平面向量的考查主要体现在：第一，考查平面向量的概念及平面向量的和、差、数乘和数量积的运算，主要以选择题、填空题的形式考查，向量与平面几何相结合是命题的一个亮点；第二，考查平面向量与其他知识的综合应用，主要以解答题的形式考查. 平面向量具有代数与几何形式的“双重性”，是中学数学知识网络的重要交汇点，平面 向量与三角函数、解析几何的整合成为近几年高考的热点，要予以足够的重视. 3．高考真题[考题1]（2010天津理数）如图，在ABC ∆中，,3AD AB BC BD ⊥= ，||1AD =，则AC AD ⋅=.[答案]3[解析]以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系.令),1,0(),,(),0,(D y x C x B C C B ,3),1,(),,(BD BC x BD y x x BC B C B C =-=-=∴∴3(),3,c B B C x x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩.3,)31(=-=∴C B C y x x ),1,0(),3,)31((=-=AD x AC B 则.3=⋅AD AC或||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ⋅=⋅∠=⋅∠=∠.33sin 3sin ====AD B BD B BC[点评]1. 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题.应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题.2. 利用向量的坐标运算，好处在于将向量的几何特征转化为代数特征，运算过程也就代数化、程序化，从而降低了思维难度. 在进行向量的运算时，若能建立坐标系使用坐标运算，应尽量采用坐标运算.[考题2]（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A --、(2,3)B 、(2,1)C --.（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅=，求t 的值. [解析]（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=. 所以||210AB AC += ，||42AB AC -=.故所求的两条对角线的长分别为42、210.（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为B 、C 的中点，(0,1)E又(0,1)E 为A 、D 的中点，所以(1,4)D故所求的两条对角线的长分别为42BC =、210AD =；（2）由题设知：(2,1),(32,5)OC AB tOC t t =---=++. 由()0AB tOC OC -⋅=，得(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511t =-，所以115t =-. 或者：AB OC ⋅ 2tOC = ，211(3,5),5||AB OC AB t OC ⋅===-[点评]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.【备考要点】1．平面向量常考点（1）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则； （2）向量减法的法则：三角形法则；（3）实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ ，规定：||||||a a λλ=⋅ ；（4）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有目仅有一个实数λ，使得b a λ=，即//(0)b a b a a λ⇔=≠；（5）平面向量基本定理：如果2,e e是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且仅有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+. 其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（6）已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅.（7）设11(,)a x y = ，22(,)b x y =则： ①1212(,)a b x x y y ±=±±； ②11(,)a x y λλλ=； ③1212a b x x y y ⋅=+；④2211||a x y =+；⑤121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=； ⑥1221//0a b x y x y ⇔-=.2．平面向量的易错点（1）向量的数量积运算不满足结合律. c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(不正确. （2）非零向量的平行性才具有传递性.//,////a b b c a c ⇒不正确.（3）向量不满足消去律.c b c a b a =⇒⋅=⋅不正确. （4）平面向量的基本定理的前提是12,e e不共线.（5）两个向量的夹角不一定为三角形的内角.例如ABC ∆中，BC AB ,的夹角不是三角形的内角.B（6）若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则//a b 的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为22,x y 有。
高三数学三角函数复习课中的教学对策
高三数学三角函数复习课中的教学对策杨东笑(云南省玉溪市峨山县第一中学㊀６５３２００)摘㊀要:高三不管是对于教师还是对于学生来说都是一个非常特殊的阶段ꎬ对于学生十二年的学习生涯来说ꎬ也是十分关键的一个阶段.在这样的阶段里ꎬ要对高中所有科目进行总体的复习ꎬ然而数学这样的科目ꎬ在进行实际教学中往往会存在学生成绩两极化ꎬ或出现教学质量不佳的情况.三角函数在高三数学的学习中十分重要.本文就高三数学三角函数复习课程中教学策略做简单分析探讨.关键词:高三数学ꎻ三角函数ꎻ复习课程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０６－００２６－０２㊀㊀一㊁高三数学三角函数的复习建议１.对基础知识加深印象临阵磨枪ꎬ不快也光ꎬ基础知识点对于数学复习来说非常重要.尤其是作为占很大分值的板块ꎬ这样的板块复习过程中ꎬ必须要从基础知识入手.高中数学的学习是一个漫长的过程ꎬ因此对于相关的基础知识要反复进行学习ꎬ反复进行思考和利用.同时这其中重点包括三角函数的性质ꎬ例如奇偶性㊁周期性ꎬ相关三角函数图象ꎬ诱导公式㊁三角形求解ꎬ等式及不等式证明和三角函数的值㊁化简等诸多基础理论的复习.在实际复习的过程中ꎬ整个复习任务十分紧张ꎬ高三一年的时间要对数学科目三年的知识进行回顾复习.在这样紧张的复习过程中ꎬ想取得一个较好的复习结果十分不易.因此在三角函数方面ꎬ必须要合理安排复习计划.同时ꎬ因为三角函数是高中数学中的一个重点ꎬ在复习过程中可以参考的资料㊁书籍较多ꎬ要将这些书籍和资料中的内容进行逐步学习.除此之外ꎬ数学是一门注重思维过程的学科ꎬ必须要有相应的思维过程ꎬ才可以灵活运用三角函数的理论.在这基础上ꎬ对于三角函数细节和整体的思维要明确ꎬ不管题目用怎样的方式出现ꎬ都可以正确地找到主线内容.这对于学生三角函数基础知识掌握是否扎实也是一个考验.２. 题海 战术中的活学活用理科类科目复习时使用 题海 战术是十分正常的ꎬ对于学生提高成绩也有较为显著的帮助.然而题海战术并不是只顾着做题ꎬ做出题目的结果就可以提高成绩的.在做题过程中ꎬ也需要反复验证书本上的知识点ꎬ同时将题目和重点进行详细地归纳总结.在这样的反复学习下ꎬ就可以更好地掌握三角函数相关的基本理论和相关变化ꎬ从而利用已经学习的三角函数相关理论对题目进行解答.在这个过程中ꎬ教师起到的作用非常关键ꎬ题海战术非常重要ꎬ教师也非常重要.不是有了题海战术就不需要教师讲解了ꎬ恰恰相反ꎬ正是因为题海战术的实际应用ꎬ才需要教师的反复讲解.教师在这个过程中起到一个引导的作用ꎬ高中数学有一定的深度ꎬ需要进行深入学习ꎬ思维过程非常重要.因此ꎬ学生思维出现问题ꎬ或思维遇到困难ꎬ都可能体现在解题过程中.这时候ꎬ教师就需要通过学生解题的思路和内容进行引导和修正ꎬ同时为学生引导㊁标注出在书上的重点内容.这样一来ꎬ就可以更好地提高学生的学习效率.㊀㊀总的来说ꎬ题海战术对于理科复习来说非常重要ꎬ相关概念必须要反复地练习才可以较好地掌握.但是在题海战术进行的过程中ꎬ教师也起到了重要的作用ꎬ教师的地位也不可忽视.针对不同的学生和不同的学习掌握情况ꎬ也要采取不同的策略方法.在向学生讲解重点难点时ꎬ需要根据题目具体情况和学生的学习能力进行拆解分析ꎬ不可以忽略解题过程中的每一个细节问题和关键知识点.㊀㊀二㊁高三数学三角函数复习课程中具体的教学策略分析㊀㊀在进行高三数学三角函数复习课程的教学过程中ꎬ更应该注意学生对于三角函数的掌握情况ꎬ综合考虑学生对于三角函数的学习情况和联系情况ꎬ制定相关的课程计划.三角函数的复习课程中ꎬ必须要对相关的知识重点㊁难点和考点进行归纳总结ꎬ这些重点的归纳总结十分重要.除此之外ꎬ该类知识点的总结必须要对三角函数进行全面的了解ꎬ才可以进一步对相关的三角函数理论进行总结.总结过程中ꎬ教师应该注意引导学生的学习思维ꎬ引导学生对于三角函数进行自行掌握㊁总结和理解应用.高中三年的数学学习对于学生来说有一定的难度ꎬ且在数学学习过程中ꎬ学生经常会因为没办法正确解题而感觉苦恼ꎬ产生挫败感ꎬ从而对数学的学习没有信心.尤其是在高三的学习环境和背景下ꎬ学生对于数学的学习愈发的浮躁ꎬ很难静下心来学习.这些问题对于教师的考验也十分巨大ꎬ必须要用相关的教学手段ꎬ引导学生理解性学习和记忆ꎬ增强学生对于数学的学习信心和学习兴趣.例如在高三数学复习课程中对三角函数进行系统复习时ꎬ首先要系统复习三角函数的实际定义.这样的定义对于学生来说不是十分困难ꎬ教师应该接着这样的复习课程ꎬ为学生日后的数学复习给予肯定和鼓励.在讲解时ꎬ可以用一些抢答的教学手段活跃课堂气氛ꎬ例如向学生提问 三角函数包括的元素都有什么 ꎬ得到的答案是坐标轴㊁数值㊁任意角等 相关元素.熟知了相关元素之后ꎬ继续复习相关的三角函数性质ꎬ向学生提问 三角函数常见的几大性质是哪几个 ꎬ即 定义域㊁值域㊁周期㊁单调性㊁奇偶性 .三角函数的定义域是研究其他性质的前提ꎬ必须要先清楚三角函数的定义域ꎬ才可以判断其他的三角函数性质.这些基础知识复习对于学生来说并不困难ꎬ然而这些不困难的问题ꎬ对于学生来说必须要谨慎.学生往往懂得概念ꎬ却在实际问题中碰壁ꎬ因此需要教师不断的鼓励和引导ꎬ才能取得较好的高三数学三角函数复习课程的教学质量结果.在高三的课程中ꎬ需要教师带领学生复习曾经学习过的知识ꎬ明确教师的定位和教学的定位ꎬ改进教学方式ꎬ提高教学效果.三角函数十分重要ꎬ因此采取一个较好的复习方法ꎬ提高学生的学习信心ꎬ对于学生成绩的提升很有帮助.㊀㊀参考文献:[１]上官雪华.新课改下的高三数学概念复习教学策略探究 以 三角函数 专题为例[Ｊ].广西教育ꎬ２０１７(２２):１５３－１５５.[２]土克平.如何让高中数学的复习课更有效 «三角函数的复习课»案例分析[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１６(１):５６－５７.[３]彭丽娜.如何构建优质高效的高三数学复习课堂 以 三角函数的图象㊁性质及应用 赛课为例[Ｊ].魅力中国ꎬ２０１７(１６).[责任编辑:杨惠民]浅谈斐波纳契数列与黄金数的关系冯云霞(江苏省连云港市艺术学校㊀２２２００２)摘㊀要:古希腊的毕达哥拉斯学派ꎬ从数的比例中发现了表示美的形式的黄金数.而斐波纳契数列是黄金数之后的一个重大发现ꎬ又被称为 黄金数列 .斐波纳契数列在许多方面都有着广泛的应用ꎬ一些实际问题往往可以通过建立数学模型转化为斐波纳契数列求解ꎬ如经典的爬楼梯问题ꎬ棋盘覆盖问题等.关键词:Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列ꎻ黄金数ꎻ通项公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０６－００２７－０２㊀㊀一㊁Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的通项公式Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的通项的证明可以通过求解递推关系公式来实现ꎬ通过求解常系数线性齐次递推关系或利用生成函数法分别加以证明递推关系为Ｆｎ＝１５[(１＋５２)ｎ＋１－(１－５２)ｎ＋１].证明:设Ｆｎ的生成函数为Ｆ(ｘ)ꎬ则有Ｆ(ｘ)＝Ｆ０＋Ｆ１ｘ＋Ｆ２ｘ２＋ ＋Ｆｎｘｎ＋ ꎬｘ(Ｆ(ｘ)－Ｆ)＝Ｆｘ２＋Ｆｘ３＋ Ｆｎ－１ｘｎ＋ ꎬｘ２Ｆ(ｘ)＝Ｆ０ｘ２＋Ｆ１ｘ３＋Ｆ２ｘ４＋ .把以上式子的两边由上向下作差得Ｆ(ｘ)(１－ｘ－ｘ２)＋ｘ＝Ｆ０＋Ｆ１ｘ＋(Ｆ２－Ｆ１－Ｆ０)ｘ２＋(Ｆ３－Ｆ２－Ｆ１)ｘ３＋ ＝１＋ｘ＋０＋０＋ .所以Ｆ(ｘ)＝１１－ｘ－ｘ２＝１(１－１＋５２ｘ)(１－１－５２ｘ)＝Ａ１－１＋５２ｘ＋Ｂ１－１－５２ｘ.。
9.三角函数与平面向量专题复习策略
三角函数与平面向量专题复习策略九江市同文中学陈劲《三角函数》是高中数学教学重点内容，是以角作为自变量的一类函数，包含了三角公式的变换，三角函数的图像和性质，解三角形及其应用等内容，一直是数学高考的主体内容，《平面向量》作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，在数学高考高考试题中有着重要的地位。
这部分能否得高分对数学成绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响.一、知识结构和考纲要求2．平面向量掌握数量积的公式及坐示”，由“掌握垂直的充要条件”《三角函数》是高中数学教学重点内容，是高考的必考内容，从近几年的高考情况来看，选择题、填空题、解答题等类型都会出现三角函数的相关知识，难度不大，属“较易”到“中等”，所以是兵家必争之地，大家都希望拿满分。
看看江西省近三年高考解答题考点分布情察要求有所降低，但对三角函数的图像与性质的考察却有所加强，三角题一般两小（或三小）题一大题，占总分的15﹪。
从考察的内容看，主要涉及以下四类问题：（1）应用同角变换，诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值和等式的证明问题；（2）与三角函数图像，性质有关的问题；（3）三角形中的三角函数问题（解三角形及其应用）；（4）与平面向量，导数的综合问题。
高考试题蕴含着丰富的信息，特别是近三年的高考题融入了教育改革的理念，对教学具有辐射，导向的作用，如果教师能够认真分析，整合资源，这将是一笔丰厚的财富，一定能得到许多的启示。
《平面向量》作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份”，有着极其丰富的实际背景，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考试题中主要考察有关基础知识，侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行，垂直关系的坐标运算。
高考考察重点主要体现在平面向量的数量积，坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用，突出向量的工具作用。
考题通常以中等难度为主。
在复习中要重视教材的基础作用，加强基本概念，基础知识的复习，做到概念清楚，运算准确，不必追求解难题。
高考数学二轮复习专题 三角函数与平面向量教学案
专题1.3 三角函数与平面向量【考情动态】考点最新考纲5年统计1.同角三角函数基本关系式理解同角三角函数的基本关系2013浙江理62015浙江理162016浙江文162017浙江142.诱导公式掌握正弦、余弦、正切的诱导公式2015浙江理162016浙江文163.简单的三角恒等变换①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2013浙江文6；理6；2014浙江文4,18；理4，18；2015浙江文11,16；理11；2016浙江文11；理10，16；2017浙江14，18.4.三角函数的图象和性质理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.2013浙江文3；2015浙江文11，理11；2016浙江文3，理5；2017浙江18.5.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的物理意义，掌握 y＝A sin (ωx＋φ) 的图象，了解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响.2013浙江文6理4；2014浙江文4，理4；2016浙江文11，理10.6.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其应用2013浙江文18；2014浙江文18；理10，18；2015浙江文16；理16；2016浙江文16；理16；2017浙江14.7.平面向量的实际背景及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。
2013·浙江理7;2014•浙江文22;2015•浙江理15;2016•浙江文理15; 8. 向量的线性运算掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。
2013·浙江7;2015•浙江文13, 理.15; 2016•浙江文理15;9.平面向量的基本定理及坐标表示1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
2019版高考数学一轮回顾 专题二 三角函数与平面向量配套教案 理
例 1：(2015 年北京)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值.
解：(1)f(x)＝sin x－2
3
sin2
x 2
＝
sin
x＋
3 cos
x－
3＝
2sinx＋π3－ 3，所以 f(x)的最小正周期为 2π.
解：(1)在△ABC 中，因为 a>b， 所以由 sin B＝35，可得 cos B＝45. 由已知及余弦定理，有 b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以 b＝ 13. 由正弦定理sina A＝sinb B，得 sin A＝asibn B＝31313. 所以 b 的值为 13，sin A 的值为31313.
【规律方法】(1)本题考查向量的平行和向量的数量积以及 三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题.
(2)高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题， 其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名 和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结 构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 x∈0，π2 时，2x＋π4∈π4，54π. 由正弦函数 y＝sin x 在π4，54π上的图象知， 当 2x＋π4＝π2，即 x＝π8时，f(x)取最大值 2＋1； 当 2x＋π4＝54π，即 x＝π2时，f(x)取最小值 0. 综上所述，f(x)在0，π2上的最大值为 2＋1，最小值为 0.
故 sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A
＝45×－ 55－35×2 5 5＝－2 5 5.
高三数学大一轮复习 专题三 三角函数与平面向量的综合应用教案 理 新人教A版
专题三 三角函数与平面向量的综合应用1． 三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1． 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin 9π2＋α ＝－sin α²sin α－sin α²cos α＝tan α.根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－34.2． 已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案π6解析 f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，由θ＋π3＝k π＋π2 (k ∈Z )及θ∈(0，π)，可得θ＝π6.3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2)图象的一部分，则f (x )的解析式为____________．答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，B ＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得φ＝π6.由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1.∴ω＝23.∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋1.4． (2012²四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin∠CED ＝________. 答案1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE 中，∠AED ＝45°， 在Rt△BCE 中，BE ＝2，BC ＝1，∴CE ＝5，则sin∠CEB ＝15，cos∠CEB ＝25. 而∠CED ＝45°－∠CEB ，∴sin∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos∠CEB －sin∠CEB ) ＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15＝1010. 方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5. 在△EDC 中，由余弦定理得cos∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ²DE ＝31010，又0<∠CED <π，∴sin∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫310102＝1010. 5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →²PA →取得最小值时，tan∠DPA 的 值为________． 答案1235解析 如图，以A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (3，0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BPA ＝β， P (3，y ) (0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，PA →＝(－3，－y )， ∴PD →²PA →＝y 2－y ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋354，∴当y ＝12时，PD →²PA →取得最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 易知|DP →|＝|AP →|，α＝β. 在△ABP 中，tan β＝312＝6，tan∠DPA ＝－tan(α＋β)＝2tanβtan 2β－1＝1235.题型一 三角恒等变换例1 设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． 解 方法一 由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210，所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325， 两边平方，得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725>0.由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.下同方法一．探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C ．－45D.45答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 题型二 三角函数的图象与性质例2 (2011²浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．解 (1)由题意得T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ²RQ ＝A 2＋9＋A 2－ 9＋4A 2 2A ²9＋A2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝3.探究提高 本题确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点．已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，φ＝2k π＋π6 (k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ＝k ＋13，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m²n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m²n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围． 解 (1)m²n ＝3sin x 4²cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m²n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B－lg cos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )²(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，所以a b ＝cos B cos A≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b .因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ， 所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2且A ≠B . 所以△ABC 是非等腰的直角三角形．(2)由m ⊥n ，得m²n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.① 由(m ＋n )²(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14， 所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.② 联立①②，解得a ＝6，b ＝2.所以c ＝a 2＋b 2＝10. 故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.高考中的平面向量、三角函数客观题典例1：(5分)(2012²山东)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3考点分析 本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想． 解题策略 根据整体思想，找出角π6x －π3的范围，再根据图象求函数的最值．解析 由题意－π3≤πx 6－π3≤7π6.画出y ＝2sin x 的图象如图，知， 当π6x －π3＝－π3时，y min ＝－ 3. 当π6x －π3＝π2时，y max ＝2. 故y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A解后反思 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)可看作由函数y ＝A sin t 和t ＝ωx ＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．典例2：(5分)(2012²天津)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →²CP →＝－2，则λ等于( ) A.13B.23C.43D ．2考点分析 本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积和运算求解能力．解题策略 根据平面向量基本定理，将题中的向量BQ →，CP →分别用向量AB →，AC →表示出来，再进行数量积计算．解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →²CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.答案 B解后反思 (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础；(2)本题在求解过程中利用了方程思想．方法与技巧1．研究三角函数的图象、性质一定要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后利用数形结合思想求解．2．三角函数与向量的综合问题，一般情况下向量知识作为一个载体，可以先通过计算转化为三角函数问题再进行求解． 失误与防范1．三角函数式的变换要熟练公式，注意角的范围．2．向量计算时要注意向量夹角的大小，不要混同于直线的夹角或三角形的内角．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012²大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a ²b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →等于( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b 答案 D解析 利用向量的三角形法则求解．如图，∵a ²b ＝0，∴a ⊥b ， ∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ²AB ，∴AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝45(a －b )＝45a －45b .2． 已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a²b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3． 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 由m ⊥n 得m²n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0，∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4． 已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，512πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以 点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相 切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012²北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 答案π2解析 利用正弦定理及三角形内角和性质求解． 在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B， 即sin B ＝b sin Aa ＝3³323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6.∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2.6． 在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若AB →⊥OC →，则x 的值为______． 答案π2或π3解析 因为AB →＝(2cos x ＋1，－2cos 2x －2)，OC →＝(cos x,1)， 所以AB →²OC →＝(2cos x ＋1)cos x ＋(－2cos 2x －2)²1 ＝－2cos 2x ＋cos x ＝0，可得cos x ＝0或cos x ＝12，所以x 的值为π2或π3.7． 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos x －sin 2x ＝________. 答案 －195解析 由题意知，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )， 得cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3， 所以1＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝1＋sin 2xcos 2x －2sin x cos x＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →²BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →²BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.9． (12分)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． 解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6.(2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A .故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2，故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6，又0<A <π2，所以π3<A <π2.故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，所以32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫32，32. B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012²江西)已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解． 由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2，令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎪⎫lg 15＋12，则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 2． 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝(1，3)，则|a ＋t b | (t ∈R )的最小值等于( ) A ．1 B.32C.12D.22答案 B解析 方法一 a ＋t b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋t ，32＋3t ，∴|a ＋t b |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3t 2＝4t 2＋2t ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142＋34，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |2取得最小值34，即|a ＋t b |取得最小值32. 方法二 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，在OB 上任取一点T ，使得OT →＝－t b (t <0)，则|a ＋t b |＝|TA →|，显然，当AT ⊥OB 时，取最小值． 由TA →²OB →＝(a ＋t b )²b ＝a²b ＋t b 2＝0，得t ＝－14，∴当t ＝－14时，|a ＋t b |取得最小值32.3． 在△ABC 中，AB →²BC →＝3，△ABC 的面积S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，32，则AB →与BC →夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2答案 B解析 记AB →与BC →的夹角为θ，AB →²BC →＝|AB →|²|BC →|²cos θ＝3，|AB →|²|BC →|＝3cos θ，S △ABC ＝12|AB →|²|BC →|²sin(π－θ)＝12|AB →|²|BC →|sin θ＝32tan θ，由题意得tanθ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，正确答案为B.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2011²安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．5．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案593 解析 ∵0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝232，∵－π2<β<0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos[⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2]＝13³33＋232³63＝593.6． (2012²山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向 滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解．设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1³cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1³sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)． 三、解答题7． (13分)已知f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－sin 4x2(a >0且a ≠1)，试讨论函数的奇偶性、单调性．解 f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2x 2＝log a 1－cos 2x 8.故定义域为cos 2x ≠1，即{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称且满足f (－x )＝f (x )，所以此函数是偶函数． 令t ＝18(1－cos 2x )，则t 的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．所以，当a >1时，f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )；递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )．当0<a <1时，f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π2，k π(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．。
高考数学一轮复习第六章平面向量与复数热点探究课3三角函数与平面向量课件
14 分
[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关
键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，
此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公
式化简转化．
[对点训练 2] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 tan
91－3 20
3 .
14 分
[规律方法] 从本题可以看出，向量在此类问题中起穿针引线的作用，目的 是建立三角恒等变换或三角形中的边与角的关系，最终的问题还是化简、求值 或证明问题．
[对点训练 3] 在△ABC 中，已知A→B·A→C＝3B→A·B→C.
(1)求证：tan B＝3tan A；
(2)若 cos C＝ 55，求 A 的值． [解] (1)证明：因为A→B·A→C＝3B→A·B→C，所以 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴ab＝2.
6分
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2b9·－3 a2＝b2＋69b－4b2＝9－6b3b2<0，
∴b> 3. ①
10 分
∵b＋c>a，即 b＋3>2b，∴b<3， ②
由①②得 b 的范围是( 3，3).
[对点训练 1]
已知向量
a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，|a－b|＝2
5
5 .
(1)求 cos (α－β)的值；
(2)若 0<α<π2，－2π<β<0，且 sin β＝－153，求 sin α 的值. 【导学号：62172176】 [解] (1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
平面向量在三角函数中的应用(教学设计)
平面向量在三角函数中的应用(教学设计)
平面向量在三角函数中的应用（教学设计）
1.教学任务分析
本课时的中心任务是通过平面向量知识与三角函数知识的整合，学生体会向量的工具特点，初步掌握平面向量在三角函数中的运用对这类“跨界”例题的研究，找到解题思路，会做一点基础题目，培养学生的推理能力和运算能力.
2•教学重点、难点
重点：平面向量知识与三角函数知识整合.
难点：学生熟记平面向量知识与三角函数知识的基础上，如何应用解题.
3•教学基本流程
4•教学情景设计
问题设计意图师生活动
学生思考，并填空.教
师和学生对答案.然后教师
说明这节课将要把平面向
量在三角函数中的应用整
合研究.
1.平面向量部分知识让学生知道，本节课的内容
点填空•与平面向量有关.
让学生了解平面向量的知识。
2.观察例子，你会发现老师提问，学生提问
和三角函数知识是整合出来是什么回答.了这节课要做什
样的.么？
3.按先后顺序试试例学生根据所学知识，自己探教师巡视课堂，鼓励题中的（1）索如何入手做平面向量在三角函数学生相互讨论，把相关内（2）（3）中的应用这类整合题.容填表.希望学生能够自行（4）.
完成.观察学生完成情况，
让学生轮流在黑板上做例题。
中的小问题。
如果学生困了
困难，老师可以给予指导，4.学生完成课堂练
习.
学生积累例题的解题经验，自己完成，并解决此类问题. 教师巡视课堂，及时
发现学生遇到的困难，并进行指导.。
三角函数专题与平面向量的解题技巧
专题 三角函数专题【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。
一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．【例题解析】题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）A ．1-BC ．12-D ．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos sin(),4t x x x π=++而74412x πππ<+≤，得1t <≤．又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =，选D 。
浙江高考数学复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案
第3讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B2.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3解析 法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1. 故选A. 答案 A3.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案3114.(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 解析 法一 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b ， 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.法二 由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6 ①.令sin α＋2sin β＝m ②，①2＋②2得4(|cos α cos β|＋sin αsin β)≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤1. 故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2(|cos αcos β|＋sin αsin β)≤12.答案 12考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥ba ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心GA →＋GB →＋GC →＝0G ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3热点一 平面向量的有关运算 [考法1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → (2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1)法一 如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A. 法二 EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)法一 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2. 法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)， D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)A (2)2探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[考法2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 (1)由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.(2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)－1 (2)A探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.[考法3] 平面向量数量积的运算 【例1－3】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)(2018·北京昌平区调研)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|，而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 答案 (1)C (2)1 1探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2018·温州模拟)平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2B.4C.8D.16(2)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21(3)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16， ∴|a －2b |＝4.(2)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，则AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB →·PC →的最大值为13.(3)设单位向量a ，b 的夹角为θ，则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32.∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)B (2)A (3)π6热点二 平面向量与三角的交汇【例2】 (2018·金丽衢十二校联考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－6，2)，x ∈[0，π].(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)由题意，得－6cos x ＋2sin x ＝0， 所以tan x ＝3，又x ∈[0，π]，所以x ＝π3.(2)f (x )＝a ·b ＝－6cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，即f (x )的最大值为22，此时x －π3＝π2，于是x ＝5π6；f (x )的最小值为－6，此时x －π3＝－π3，于是x ＝0.探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2018·湖州调研)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q . (1)求B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c . 解 (1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0， 即sin 2B －cos 2B ＋2sin 2B －2＝0， 即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角， 所以sin B ＝32，所以B ＝60°. (2)由(1)得B ＝60°， 又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2， 所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线一、选择题1.(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵|a －3b |＝|3a ＋b |，∴(a －3b )2＝(3a ＋b )2， ∴a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2，又∵|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b ；反之也成立.故选C. 答案 C2.已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9B.3C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)， ∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D3.(2018·宁波模拟)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3p 2：|a ＋b |＞θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π p 3：|a －b |＞θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π 其中的真命题是( )A.p 1，p 4B.p 1，p 3C.p 2，p 3D.p 2，p 4解析 |a |＝|b |＝1，且θ∈[0，π]，若|a ＋b |＞1，则(a ＋b )2＞1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＞1，即a·b ＞－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝a ·b ＞－12，∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；若|a －b |＞1，同理求得a ·b ＜12，∴cos θ＝a ·b ＜12，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故p 1，p 4正确，应选A.答案 A4.(2014·浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a|，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析 由三角形法则知min{|a ＋b |，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a ＋b |，|a －b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b |2，故选D. 答案 D5.(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( ) A.－15B.－9C.－6D.0解析 由BM →＝2MA →，可知|BM →||MA →|＝2，∴|BA →||MA →|＝3，由CN →＝2NA →，可知|CN →||NA →|＝2，∴|CA →||NA →|＝3，故|BA →||MA →|＝|CA →||NA →|＝3，连接MN ，则BC ∥MN 且|BC →|＝3|MN →|.∴BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3(|ON →|·|OM →|cos 120°－|OM →|2)＝－6.故选C.答案 C6.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( ) A.2116B.32C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE→＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A.答案 A 二、填空题7.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c∥(2a ＋b )，则λ＝________.解析 由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.答案 128.已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33. 答案 339.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35. 答案 3510.(2018·台州模拟)已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1， 又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3.答案 1 2 311.(2018·湖州联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，A ＝60°，AG →＝mAB →＋AC →，则|AG →|的最小值为________；又若AG →⊥BC →，则m ＝________.答案 3 1612.(2018·杭州二中调研)已知向量a ，b 的夹角为π3，|a －b |＝6，向量c －a ，c －b 的夹角为2π3，|c －a |＝23，则a 与c 的夹角为________，a ·c 的最大值为________. 解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BA →＝a －b ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AB ＝6，∠BCA ＝2π3，AC ＝23，又∠AOB ＝π3，∴A ，O ，B ，C 四点共圆. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC ＝AB sin∠ACB ，即23sin∠ABC ＝6sin 2π3， ∴sin∠ABC ＝23×326＝12，则∠ABC ＝π6. 由同弧所对圆周角相等，可得∠AOC ＝π6，即a 与c 的夹角为π6. 设∠OAC ＝θ，则∠ACO ＝5π6－θ. 在△AOC 中，由正弦定理得：AC sin π6＝OC sin θ＝OAsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ， ∴OC ＝23sin θ12＝43sin θ，OA ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ12＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ， ∴a ·c ＝|a ||c |cosπ6＝32OA ·OC ＝32×43sin θ×43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝243sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6cos θ－cos 5π6sin θ＝123sin θcos θ＋36sin 2θ＝63sin 2θ＋36·1－cos 2θ2＝63sin 2θ－18cos 2θ＋18＝123sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋18. ∴当2θ－π3＝π2，即θ＝5π12时，a ·c 有最大值为123＋18. 答案 π6 123＋18 三、解答题13.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 14.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ， 即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. 15.(2018·金华一中模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1). (1)若λ＝3，证明：△ABC 为直角三角形；(2)若AC →·BC →＝98λ2，且c ＝3，求λ的值. (1)证明 ∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ，∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32， 即sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32， 从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，解得B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形. (2)解 若AC →·BC →＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2， ∴ab ＝94λ2. 由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，又a ＋b ＝3λ，故9λ2－274λ2＝9，解得λ2＝4， 又λ>1，∴λ＝2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于平面向量与三角函数专题复习课教学的探究
1课例节选
教学目标：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
（2）掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.
（3）掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件.
（4）了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
（6）掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式.
教学重点：
通过题组训练，使学生对向量的相关概念和公式作进一步理解.
教学难点：
准确灵活地利用向量的概念和公式解题.
师：有吗？
注：此时的我已胸有成竹了，因为我想起了2000年北京春季高考试题．
生5：我肯定结论不成立．因为我记得一个结论：当抛物线方程是y?2=2px时，满足条件的直线过定点（2p,0)，这时候，|OP|怎么可能是定值呢？
这一解释得到了同学的认可．
师：实践出真知，如果还有同学有疑惑，不妨课后你去推导一下，这里我突然想到了这样一个高考题，当我们今天研究到这种程度，这一题我想我们不少同学已能够到口答的水平了．
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文”
本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文。