高次方程韦达定理_学案

高次方程韦达定理

学习目标

1. 掌握高次方程韦达定理的一般形式

2. 能应用韦达定理及其逆定理解题

引例 若实数,x y 满足

3333

12017201520172016x y

+=-- ⑴

3333

12014201520142016x y

+=-- ⑵

试求x y +.

（2017年清华大学中学生标准学术能力测试，原题是选择题）

思路分析 规范解答

一般地，在复数域内，设关于x 的n 次方程()11000n

n

n n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根

是()1i x i n ≤≤，则有韦达定理（根与系数关系）如下：

()()121211

2

110111k k n

n i i n n i j

i j n n

k n k

i i i i i i n n n n i i n a x a a x x a a x x x a a x a -=-≤<≤-≤<<<≤=⎧

=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪

⎨⎪=-⎪⎪

⎪

⎪⎪=-⎪⎩

∑∑∑∏ ⑶

韦达定理的逆定理也成立，即：若()1i x i n ≤≤满足（3）式，则()1i x i n ≤≤一定是关于x 的方程()11000n

n

n n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根.

特别地，设一元三次方程()3

2

00ax bx cx d a +++=≠的三个根分别为123,,x x x ，则有：

123122331123

,,

,b x x x a c x x x x x x a d x x x a ⎧

++=-⎪⎪

⎪

++=⎨⎪

⎪

=-⎪⎩

⑷

例1 设

2222222

1

123456a b c d e f k k k k k k k +++++=++++++⑸

对1,2,3,4,5,6k =均成立，试求a b c d e f +++++. 思路分析 规范解答

例2 已知方程2017

10z

-=的所有复数根为()1,2,,2017i z i = ，则下列关于2017

1

1

2i i

z =-∑

的判断中，一定正确的有（ ）.

A. 是比

2017

2

大的实数 B. 是比

2017

2

小的实数

C. 是有理数

D. 是虚数

（2017年清华大学优秀中学生文科冬令营试题）

思路分析 规范解答

例3 若实系数多项式()3

2

f x x ax bx c =+++有三个非负零点，求证：3297a c ab +<. ⑹

（2014年北京大学优秀中学生暑期体验营）

思路分析 规范解答

例4 设实数123123,,,,,a a a b b b 满足{}{}123123

122331122331123123min ,,min ,,a a a b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪

++=++⎨⎪≤⎩

⑺

求证：{}{}123123max ,,max ,,a a a b b b ≤.

（2008年北京大学自主招生试题）

思路分析 规范解答

例5 实数,,a b c 和正数λ使得32

0x ax bx c +++=有三个实数根123,,x x x ，且21x x λ-=，

12

32

x x x +>

. 求证：332279a c ab λ+-≤（全国高中数学联赛试题）

思路分析 规范解答

课后思考

1. 若两两不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）

A. 1

-

B. 0

C. 1

D. 前三个都不对

（2016年北京大学博雅计划试题）

2. 定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度. 若不等式

1235

1234

x x x ++≥---的解集是互不相交的若干区间的并集，求这个解集的所有区间的长度之和.

（高中数学联赛湖北省预赛试题）

3. 若实数,a b 使得方程3

2

0x ax bx a -+-=有三个正实根，求32331

a a

b a

b -++的最小值.

（第十届东南地区奥林匹克竞赛试题）

4. 设关于x 的方程231231n n n n n n x a x a x a x a x ----+++++= 有n 个非负实数根，

求证：2

3

23202221n

n

n n a a a n -⎛⎫

≤+++≤+ ⎪⎝⎭

.

（亚太地区奥林匹克竞赛试题）