数列函数极限和函数连续性(推荐文档)

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞

=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限

存在.

定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称

+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作

lim n n a →+∞

=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则

{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有

()()lim lim lim ,

lim lim lim .

n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

±=±⋅=⋅

若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞

≠，则n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

也是收敛数列，且有

lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞

→∞

⎛⎫

= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理1.2.3（

∞

Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且

lim n n x →+∞

=+∞（注意：不必lim n n y →+∞

=+∞）.如果

1

1lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），

则 11

lim

lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==-

定理1.2.3'（0

Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若

1

1lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），

则 1

1

lim

lim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞

→+∞--==-.

定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞

=，则 （1）12 (i)

n

n a a a a n

→∞+++=，

（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞

=.

定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=.

定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0

lim x x

f x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U

x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞

都存在且相等.

数列极限的求法

2.1 极限定义求法

在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞

，其中0a >.

解：lim 1n n a →∞

=.

事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n

a α=-，则0α>. 由

()

11111n

n a n n a αα⎛⎫

=+≥+=+- ⎪⎝⎭

,

得 1

1

1n

a a n

--≤

. （5） 任给0ε>，由（5）式可见，当1

a n N ε

->=时，就有11n a ε-<.即11n

a ε-<.所

以lim 1n n a →∞

=.

对于01a <<的情况，因

11a >，由上述结论知1

lim 1n n a

→∞=，故

11

lim lim

111/n n

n n a a

→∞

→∞

===. 综合得0a >时，lim 1n n a →∞

=.

例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.

证明：由lim n n a a →∞

=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有

/2n a a ε-<, 则

()

111211 (1)

......n N N n a a a a a a a a a a a a n n

++++-≤-++-+-++-.

令11...N c a a a a =-++-，那么