中考几何中的最值问题讲义及答案

几何中的最值问题

一、知识点睛

几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.

求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；

求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：

常用定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点时） 垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）

线段和(周长)最小 转化

构造三角形

线段差最大 线段最大（小）值

平移 对称 旋转

使点在线异侧

（如下图）

使点在线同侧

（如下图） 使目标线段与定长线段构成三角形

平移 对称 旋转

l

l

B

二、精讲精练

1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂

蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．

蜂蜜

蚂蚁C

N

O

第1题图 第2题图

2.

3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P ，Q 分别是AD 和AE

上的动点，则DQ +PQ 的最小值为 .

PA +PB 最小，

需转化，使点在线异侧

|PA -PB |最大， 需转化，使点在线同侧

Q

P E

D C

B

A Q

P

K

C

B

A

第3题图 第4题图

4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任

意一点，则PK +QK 的最小值为 .

5. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．

第5题图 第6题图

6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半

轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .

7. 如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，

P 在直线MN 上运动，则PA PB 的最大值等于 ．

A

B

C

D

P

M

N

第7题图 第8题图

8. 点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若

P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．

9. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC

于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_________．

A

B

C

E F

M A

B

C

D

P

第9题图 第10题图

10. 如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△

APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．

11. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，

点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．

A D

C

B P

Q A'

第11题图 第12题图

12. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上

的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、

Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．

13. 如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，

将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．

（1）当P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围为 ；

（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等

于 .

14. 在△ABC 中，∠BAC =120°，

AB=AC =4，M 、N 两点分别是边AB 、AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A ′，连接BA ′，则BA ′的最小值是_________．

A'

N

M

C

B

A

【参考答案】

A B

C

D

P F

E

D C B

A A B

C

D E

F

P