新北师大版九年级上第六章反比例函数导学案.doc

新北师大版九年级数学上册6.1反比例函数导学案

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解．

2．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念． 【重点难点】

理解和领会反比例函数的概念． 知识概览图

新课导引

【生活链接】某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全并且迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板(如右图所示)，构筑成一条临时通道，从而顺利地通过了这片湿地．

【问题探究】你知道他们这样做的原因吗?当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S 的变大，人和木板对地面的压强p 将会变小．

【点拨】p ＝S

F

，这里F 是常量，p 与S 是成反比的量，p 是S 的函数，称为

反比例函数． 教材精华

知识点1 反比例函数的概念 定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝

x

k

(k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．

拓展 (1)等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k )，分母中含有自变量x ，且x 的指数是1，若写成y ＝kx －1．则x 的指数是－1． (2)比例系数k ≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分． (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数． (4)函数y 的取值范围也是一切非零实数．

知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式

由于在反比例函数y ＝x

k

中，只有一个待定系数．因此只需要一组对应值，即可求出k 的值，

从而确定其表达式．

知识点3 反比例关系与反比例函数的区别和联系

我们学过反比例关系．如果xy ＝k (k 是常数，k ≠0)．那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x ，y 既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式，例如若y ＋3与x －1成反比例，

反比例关系→反比例概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =(k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数 一般形式：x k y = (k 为常数，k ≠0)

则y ＋3＝1-x k ，若y 与x 2成反比例，则y ＝2x

k

．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数y ＝

x

k

中的两个变量必成反比例关系． 拓展 反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数一定是反比例关系．

规律方法小结 类比思想：在学习反比例函数的概念时，注意与成反比例的量进行类比，与正比例函数的概念对比，这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握． 课堂检测

基本概念题

1、下列各式中，y 是x 的反比例函数吗?为什么? (1)xy ＝2； (2)y ＝10－x ；

(3)y ＝x 31； (4)y ＝x

b

3 (b 为常数，b ≠0)．

基础知识应用题

2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系．

(1)三角形底边长为定值，它的面积S 与这条边上的高h ； (2)三角形面积为定值，它的底边长a 与这条边上的高h ； (3)正方形的面积S 与它的一边长a ； (4)周长为定值的长方形的长和宽； (5)面积为定值的长方形的长和宽； (6)儿童的身高与年龄； (7)圆的周长与它的半径．

3、若函数y ＝(m ＋1)1

32

++m m

x 是反比例函数，求m 的值．

综合应用题

4、一定质量的二氧化碳，它的体积V 与它的密度ρ成反比例，当V ＝5m 3时，ρ=1.98kg ／m 3，求ρ与V 的函数关系式．

5、一水池内蓄水40 m 3.设放完满池水的时间为T 小时，每小时的放水量为W m 3，规定放水时间不得超过20小时，求T 与W 之间的函数关系式，指出函数T 和自变量W 的取值范围.

探索创新题

6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为0．8m 2的矩形框工件，设工件的长与宽分别为y m 与x m ．(不计厚度)

(1)请写出y 与x 之间的函数表达式；

(2)如果想使工件的长比宽多1．6 m ，已知加工费为每米6元，求加工这个工件所需的费用．

体验中考

若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的3

1

，高为y ，面积为60，则y 与x 的函数关系式

是 ．(不考虑x 的取值范围)

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测

1、分析 本题考查反比例函数的意义．观察各式，看能否写成y ＝x

k

(k 为常数，k ≠0)的形式．

解：(1)是.因为xy ＝2能写成y ＝

x

2

的形式，符合反比例函数的定义． (2)不是．因为y ＝10－x 不能写成y ＝x

k

的形式．

(3)是.因为y ＝x 31

能写成y ＝x 31

的形式，符合反比例函数的定义．

(4)是．因为y ＝x b 3是y ＝x

k

的形式，此时k ＝3b ，符合反比例函数的定义．

【解题策略】反比例函数的一般形式是y ＝x

k

(k 是常数，k ≠0)，其中自变量x 的取值范围是

x ≠0，函数y 的取值范围是y ≠0．

2、解：各题的函数关系式如下：

(1)设底边长为k ，则有S ＝21

kh ．

(2)设面积为S ，则有2

1ah ＝S ，故a ＝h S

2．

(3)S ＝a 2．

(4)设周长为l ，长为y ，宽为x ，则有2(y ＋x )＝l ，故y ＝2l

－x .

(5)设面积为S ，长为y ，宽为x ，则有xy ＝S ，故y ＝x

S

．

(6)儿童的身高与年龄不能用函数关系式表示． (7)设圆的周长为C ，半径为r ，则有C ＝2πr ．

显然(1)，(2)，(5)，(7)成比例关系，其中(1)，(7)成正比例关系，(2)，(5)成反比例关系．

【解题策略】形如y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的函数是正比例函数，形如y ＝x

k

(k 是常数，k ≠0)

的函数是反比例函数，明确正比例函数与反比例函数的意义是解决本题的关键．

3、分析 根据反比例函数的概念可知，反比例函数y ＝x

k

(或y ＝kx －1)中隐含条件k ≠0，所以

本题中m 的值不仅要满足m 2＋3m ＋1＝－1，还要满足m ＋1≠0． 解：根据题意，得m 2＋3m ＋1＝－1． 解得m 1＝－1，m 2＝－2．

当m ＝－1时，m ＋1＝0，所以m ＝－1不符合题意． 当m ＝－2时，m ＋1＝－1≠0，所以m ＝－2符合题意． 故m ＝－2．

4、分析 因为V 与ρ成反比例，所以设ρ＝V

k

(k ≠0)，将V ＝5，ρ＝1．98代入即可求得k .

解：设函数关系式为ρ＝V

k

，已知当V ＝5m 3时，ρ＝1．98 kg ／m 3，

所以1．98＝5

k

．所以k ＝9．9．