高中数学必修一函数性质的应用练习题测试题及答案解析

1.3.

2.2函数性质的应用双基限时练新人教A版必修1 1．下列函数，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )

A．f(x)＝－x2B．f(x)＝1

x2

C．f(x)＝1

x3

D．f(x)＝x3

答案 C

2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能为偶函数的是( )

A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x)

C．y＝f(－x) D．y＝f(|x|)

解析由0≤|x|≤1知，－1≤x≤1，定义域关于原点对称，∴y＝f(|x|)可能是偶函数．答案 D

3．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )

A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数

答案 D

4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )

A．(－∞，2) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)

解析∵f(x)为偶函数，且f(2)＝0，∴f(－2)＝0.

画出示意图，易知f(x)<0的解集是(－2,2)，故选D.

答案 D

5．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在[－7，－3]上是( ) A．增函数且最小值为－5

B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5

D．减函数且最大值为－5

解析由题意知f(x)在[－7，－3]上也是增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选B.

答案 B

6．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2－f x1

x2－x1

<0，则( )

A．f(3)

C．f(－2)

解析依题意知f(x)在[0，＋∞)上是减函数，所以

f(3)

又f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)．

则f(3)

答案 A

7．设函数f(x)是定义在[－5,5]上的奇函数，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右图，则不等式f(x)<0的解集为________．

解析利用奇函数的性质，画出x∈[－5,5]内的图象，由图象知，f(x)<0的解集为(－3,0)∪(3,5]．

答案(－3,0)∪(3,5]

8．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，且F(－2)＝5，则F(2)＝________.

解析∵f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)

F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，F(－2)＝5，

∴F(－2)＝af(－2)＋bg(－2)＋2＝－af(2)－bg(2)＋2，而F(2)＝af(2)＋bg(2)＋2.

∴F(2)＋F(－2)＝4，∴F(2)＝4－F(－2)＝4－5＝－1.

答案－1

9．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b )>0，则a ＋b ________0(填“>”“<”或“＝”)．

解析 f (a )＋f (b )>0，∴f (a )>－f (b )． 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (a )>f (－b )，又∵f (x )为减函数， ∴a <－b ，∴a ＋b <0. 答案 <

10．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．

解 由f (m )＋f (m －1)>0，

得f (m )>－f (m －1)，即f (m )>f (－m ＋1)．

又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数．

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

－2≤－m ＋1≤2，－2≤m ≤2，－m ＋1>m ，即⎩⎪⎨

⎪⎧

－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，

得－1≤m <12

.

11．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；

(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)． 解 (1)证明：令x ＝y ＝0，得

f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，

∴f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0. 对任意x ，总存在y ＝－x ，有

f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，

∴f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．

(2)∵f (x )是奇函数，且f (－3)＝a ， ∴f (3)＝－a .

由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ，得

f (2x )＝2f (x )，

∴f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4a .

12．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2

＋ax ＋b 的图象经过原点，且对任意的实数x 都有

f (1＋x )＝f (1－x )成立．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)若函数g (x )是定义在R 上的奇函数，且满足当x ≥0时，g (x )＝f (x )，试求g (x )的解析式．

解 (1)∵函数图象经过原点，∴b ＝0，

又因为对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (1－x )成立． ∴f (x )的对称轴为x ＝1， ∴a ＝－2.

(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝x 2

－2x ，

当x <0时，－x >0，g (－x )＝(－x )2

－2(－x )＝x 2

＋2x ， ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )＝－x 2

－2x ，

∴g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x ，x ≥0，

－x 2

－2x ，x <0.