10初始条件的确定

根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上 的电荷量也将发生变化，从而在电路中会引起电流。
一、伏安关系
i
u
C
i = dq = C du
dt
wk.baidu.com
dt
∫ ∫ u = 1
C
t i(ξ )dξ
−∞
=
u(t0 ) +
1 C
t i(ξ )dξ
t0
∫ ∫ u = 1
C
t i(ξ )dξ
−∞
=
u(t0 ) +
1 C
t i(ξ )dξ
例1
已知：t<0时电路稳定，t=0时断开开关Q, 求：t>0时的uC(t)和iC(t)。
Q(t=0) 4KΩ
+ _12V
+ uC_ 2μF
iC
8KΩ
答案
uC
(t
)
=
8e −
t 1.6×10−2
V
t >0
iC
(t
)
=
−e−
t 1.6×10−2
mA
t>0
返回
二、RL电路的零输入响应
已知：t < 0时，电路稳定 求：t > 0时，iL(t ), uL(t)
例：已知u的波形，求i的波形。
i
解
u
0.5H
u/V
2
1
0 123 4
t
⎧0 0 ≤ t < 1S
u(t) = ⎪⎪⎪⎨10V
1S ≤ t < 2S 2S ≤ t < 3S
⎪⎪2V 3S ≤ t < 4S
⎪⎩0 t ≥ 4S
∫ i(t) = i(0) + 1 t u(ξ )dξ
L0
例：已知u的波形，求i的波形。
L
diL dt
+
R iL
=
0
思考
Q(t=0) iL L
1 2
+
_
uL
+
_US
R
开关从1合向2的过程 中会发生什么现象？
思考
Q(t=0)
1 2
+ _US
iL L
+
_
uL
R D
现象：1. uL很大，可能损坏线圈；
2. 高压同时也加在开关的触点间， 极易形成电弧。
处理办法：反接一个二极管。
例1
已知：t<0时电路稳定，t=0时开关Q从1合 向2,求：t>0时的iL(t)和uL(t)。
=
0
⎨ ⎪⎩iC
=C
du dt
RC
duC dt
+ uC
=
0
线性、常系数、齐次
二、RC电路的零输入响应
K
R iC
C
+
_uC
已知：t < 0时，uC = U0 求：t > 0时，uC (t ), iC (t )
1、方程
−t
uC (t ) = U0e RC t > 0
iC
(t
)
=
C
duC dt
= − U0 R
u/V 2 1 0 123 4
i/A 6 4 2 0 123 4
∫ (1) i(t) = i(0) + 2 t 0dξ = 0 (0 ≤ t < 1S) 0 i(1) = 0
∫ (2) i(t) = i(1) + 2 t 1dξ = 2(t-1) A (1S ≤ t < 2S) 1 i(2) = 2A
t0
1、电压与电流全部过去历史有关；
2、若电流初始时刻值已知，则就能确定该 初始时刻以后任意时刻的电压值。
二、储能
i
u
C
wC
=
1 2
C
u
2 C
W Cm
=
1 2
C
U
2 Cm
=
C
U
2 C
1
结论：
1、电容具有记忆电流的作用。 2、电容是储能元件。 3、电容是无源元件。
返回
5.2 电感元件 Inductance
uC / U0 1 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002
当 t=4τ 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
U0 0.368U0
τ 1 τ2
τ3 τ1 <τ2 <τ3
τ1 τ2 τ3
t
结论：τ 越大，过渡过程曲线变化越慢，uC达到
稳态所需要的时间越长。
3、能量变化
K Ri
−t
C
+
_uC
uC (t ) = U0l RC t > 0
iC
(t)
=
C
duC dt
= − U0 R
−t
l RC
t >0
∫ ∫ WR =
∞ i2 (t )Rdt =
0
∞
(−
0
U0 R
l
−t τ
)2
Rdt
=
1 2
CU
2 0
=
wC (0)
结论：电容放电的过程，就是电阻消耗能量 的过程，直至电容储能完全释放，并被电阻 消耗完为止，电容放电过程才算完毕。
今日作业：
5-2(a) 5-3(b) 5-5
第五章 一阶电路和二阶电路
First-order Circuits and Second-order Circuits
5.0 概述 5.1 电容元件 5.2 电感元件 5.3 一阶电路 5.4 电路的初始条件 5.5 一阶电路的零输入响应
♣ 研究过渡过程的意义：
一、 零输入响应 Zero-input Response
电路中没有外施激励，仅由初始储
能产生的响应，称为电路的零输入响应
K
R iC
+
C _uC
返回
二、RC电路的零输入响应
K
R iC
C
+
_uC
已知：t < 0时，uC = U0 求：t > 0时，uC (t ), iC (t )
1、方程
⎧ ⎪
RiC
+
uC
t
返回
2
5.3 一阶电路
用线性、常系数、一阶微分方程 描述的电路称一阶电路。
一阶电路通常只含一个动态元件 （或等效后为一个动态元件）。
返回
5.4 电路的初始条件
一、 换路定理
换路:改变电路状态的统称。如：
1 . 电路接通、断开电源 2 . 电路中电源电压的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变
…………..
t
∫ (3) i(t) = i(2) + 2 t 0dξ = 2 A (2S ≤ t < 3S) 2 i(3) = 2A
∫ (4) i(t) = i(3) + 2 t 2dξ = 4t-10 A (3S ≤ t < 4S) 3 i(4) = 6A
∫ (5) i(t) = i(4) + 2 t 0dξ = 6 A (4S ≤ t) 4
−t
e RC
t>0
4
2、时间常数
K
R iC
−t
+
uC (t ) = U0l RC t > 0
C
_uC
iC
(t)
=
C
duC dt
=
−
U0
−t
l RC
R
t >0
[R][C ] = [U ] × [Q] = [t] [I ] [U ]
τ = RC
uC
U0
uC (t0 )
t0
0
τ
t 次切距
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ
过渡过程是一种自然现象，对它的研究很重要。 过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术 中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过 程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损 坏，必须采取防范措施。
讲课重点：直流电路、交流电路都存在过渡过 程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。
返回
5.1 电容元件 Capacitance
一、伏安关系
i
u eL L
u
= −eL
=L
di dt
∫ ∫ i = 1 L
t u(ξ )dξ
−∞
=
i(t0 ) +
1 L
t u(ξ )dξ
t0
二、储能
i u eL L
wL
=
1 2
L
i
2 L
W Lm
=
1 2
L
I
2 L
m
=
L
I
2 L
结论：
1、电感具有记忆电压的作用。 2、电感是储能元件。 3、电感是无源元件。
例1
已知：uC (0− ) = 0, iL(0− ) = 0
求：t=0+时各支路电流 及电感上的电压。
Q(t=0) R1
iL
+
R2
R3
_US
+ uC_ C
L
3
例2
已知：t<0时电路稳定， uC1(0− ) = 0
求：t=0+时各支路电流及各元件电 压的初始值。
iL
+
Q(t=0)
R
_US
+
uC_1
C1
5
二、RL电路的零输入响应
二、RL电路的零输入响应
1、方程
⎧
⎪ ⎪
iL
(0 +
)
=
iL (0 − ) =
I0
⎨ uL + R iL = 0
⎪
⎪ ⎩
u
L
=
L
diL dt
2、曲线
−t
iL(t) = I0e τ
uL(t) =
L diL dt
=
−
−RI0e
t τ
τ=L R
(t > 0) (t > 0)
1、方程
C2
5.5 一阶电路的零输入响应
一、零输入响应 二、RC电路的零输入响应 三、RL电路的零输入响应
例3
已知：t<0时电路稳定，
求：t=0+时各支路电流及各元件电 压的初始值。
1Ω iL1 1H
2Ω iL2 2H
Q(t=0) 1F
+
_
uC1
2F
C1
+
_
uC2
2Ω
+
_
100V
返回
5.5 一阶电路的零输入响应
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
设：t=0 时换路
0− --- 换路前瞬间
0+ --- 换路后瞬间
则： uC (0+ ) = uC (0− )
iL(0+ ) = iL(0− )
二、 初始值的确定
初始值（起始值）：设t=0时换路，则电路中 u、i 在 t=0+ 时的大小就称电路的初始值。 求解要点：
1. uC (0− ) → uC (0+ ) iL(0− ) → iL(0+ )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
换路后的等效电路
设t = 0时换路，则0+ 等效电路为： 在t=0+时，电容用电压为uC (0+ )的 电压源代替，电感用电流为iL(0+ ) 的电流源代替，其余元件保留，由 此而得的电路即为~。
2Ω
+ _10V
Q(t=0) iL
1
+
2
5Ω
_
uL 3Ω
答案
iL = 2 e−80t A uL (t ) = − 16e−80t V
t >0 t>0
结束
6