分式的运算
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第5讲 分式的运算
【基本知识】
分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，它一定含有字母，分子是被除式，不一定含有字母。当分子为零且分母不为零时，分式的值等于零，而当分母为零时，分式没有意义。
分式的基本性质是确定分式符号、通分和约分的基础，在
,A A M B B M
´=´ A A M
B B M
¸=¸中，M 一定是不为零的整式。 分式的运算是重要的代数式恒等变形。其主要运算法则有
a b
a b
c c c ±?； a c a
d bc
b d bd
±?； ,a c ac a c ad b d
bd b d
bc
??； n
n n a a b b
骣÷ç=÷ç÷ç÷桫（n 是正整数） 进行异分母分式加减运算的基本方法是转化为同分母分式加减运算，转的关
键是通分。但有时并不必将所有分式全部通分，而是利用一些技巧简化算，如用逐步通分法、拆项分项法、分组通分法、换元法等。
分式的概念、运算与分数的概念、运算有许多相似之处，因而在解决分式问题时要重视联系分数的相关问题进行类比思考。
【培训示例】
【例1】使分式
11111x
+
+
有意义的条件是（ ）。
(A)0x ¹ (B)1x ?
(C)1
2
x ?
(D)1
012
，，x x x 构-?
解 题中分式要有意义，必须110,1
0,1011x x x
???+，即
0,10,210x x x ???
所以必须1
012
，，x x x 构-?
，选D
【例2】计算222
2
221211005000220050001005000k k k ++鬃?+鬃?-+-+-+ 2
2999999005000
+-+。 解 因为()()2
2100100100100k k k k ---=-，考察：
()()()2
2
2210010050001001001005000
k k k k k k -+-+---+
222
2210020010050001005000k k k k k k k -+=+-+-+ 22
22001000021005000
k k k k -+==-+ 而 2
2
5015010050
5000
=-?
所以, 原式492199=?=
【练习2】计算1221
.2112
a a a a +---+-+
解 12212112
a a a a +--
-+-+ 1
1222211a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭
(2)(2)(1)(1)
2(2)(2)(1)(1)
a a a a a a a a +----+=
+⨯-++-
2244
41
a a -=
+-- 2212
.(4)(1)
a a =
--
【练习3】化简：1111111111111111a b a c a b d a b c
骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑+++++++++鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑桫桫桫桫桫桫 11
111111a b
c d 骣骣骣
骣鼢鼢
珑珑-++++鼢鼢珑珑鼢鼢
珑珑桫桫桫
桫。 解 将1
a 用111a 骣÷ç-++÷ç÷ç桫代人要化简的式子，利用提取公因式方法， 原式11111111111111111a
b
c a b
d a b c 骣骣骣骣骣骣骣
鼢鼢鼢?
珑珑珑?=-++++++++++鼢鼢鼢?珑珑珑?鼢鼢鼢?
珑珑珑?桫桫桫桫桫桫桫
11
111111a b
c d 骣骣骣
骣鼢鼢
珑珑-++++鼢鼢珑珑鼢鼢
珑珑桫桫桫
桫
11
11111111111111111111a b
c d a b c a b c d 骣骣骣
骣骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑=-++++++++-++++鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑鼢鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑珑桫桫桫
桫桫
桫桫桫桫桫1=-
【例3】化简
()()()()()32
1121212312112n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x -++鬃?++++++鬃
?++鬃?。
分析 这类题目一般都用裂项抵消的办法来做, 裂项的本质是化分式为部分分式. 解 原式11212123121
11111
n x x x x x x x x x x x -=
-+-+鬃?++++++鬃?
121
n
x x x -
++鬃?
11211n
x x x x =
-++鬃?
()
23112n n x x x x x x x ++鬃?=
++鬃?
【练习1】计算
111
.(1)(1)(1)(3)(3)(5)
x x x x x x ++-+++++
解 原式111111111211213235x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪-+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭