高中数学知识点：平行关系的综合转化
高中数学知识点精讲精析 平行关系的判定
1.5.1 平行关系的判定（一）直线与直线平行的判定方法1.利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 推理模式：3.判定方法：○1○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.4.利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；5.利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；6.利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；7.利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；8.利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.a l a l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒α ab（二）直线与平面平行的判定方法1.利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2.利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.3.利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.（三）平面和平面平行的判定方法1.利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2.利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；符号表示：a βb βa ∩b = P β∥α a ∥α b ∥α3.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾. （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β.（3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒4.利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；5.利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．6.利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；例1 如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD//平面EFGH.证明：∵EH // FG , EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ，∴EH // 平面BCD .又∵EH 在平面ABD内，∴EH // BD .又∵ EH 在平面 EFGH内 , BD 不在平面 EFGH内 ,∴ BD // 平面 EFGH .点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64 页的3 题的演变, 同样还可证 AC // 平面EFGH . 例2.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC 中与MN 证法（一）：作NK ∥AB 交BE 于K ，作MH ∥AB 交BC 于H ∴MH ∥NK∵ABCD 与ABEF 是两个有公共边AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN ，∠HMC=∠KNB ∴△HCM ≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN ∥HK ∵HK ⊂平面BEC MN ⊄平面BEC ∴MN ∥平面BEC证法（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N 作NP ∥BE ，连MP ，∵NP ∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN ，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP ∥BC ∴平面MNP ∥平面BCE ∴MN ∥平面BCE例3（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？（2）空间四条平行直线可确定几个平面？（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案：（1）1个或3个（2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个[例2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E.F 分别为棱BC.C1D1 的中点. 求证：EF ∥平面BB1D1D.证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE=1/2DC. ∵ DC ∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为D1C1 的中点，∴ OE ∥D1F ， OE=D1F ， 四边形D1FEO 为平行四边形.F EN KA P BM HD C∴ EF∥D1O.又∵ EF不在平面BB1D1D， D1O不在平面BB1D1D，∴ EF∥平面BB1D1D.例4 已知直线l//平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.A.平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面答案;D。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系知识结构图】第 3 课空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行” 、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
基础练习】1．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是异面或相交2．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1, l2与同一平面所成的角相等, 则l1,l2互相平行.④若直线l1, l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l 与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直。
4. 已知a、b、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题：①a∥c，b∥c a∥b；②a∥r，b∥r a∥b；③α∥c，β∥c α∥β；④α∥r，β∥r α∥β；⑤a∥c，α∥c a∥α；⑥a∥r ，α∥r a∥α．其中正确的命题是①④范例导析】例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．求证：AB∥平面EFG．证明：∵面EFGH是截面．∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．∴ EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴ EH∥面ABD．又∵ EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB．∴ AB∥面EFG．例2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证 :MN ∥平面 AA 1B 1B.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法 1：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
即在平面 ABB 1A 1内找一条直线与 MN 平行，如图所示作平行线即可 法 2 ：把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件
图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在， 存在(倾斜角为 90°)，另
关系 分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率 为零 (倾斜 角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有 交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C， 则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24， 所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝ ＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－ －21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m， 其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上 找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－ －52＝－12.
高中数学平行关系
第4节 平行关系最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行的判定与性质a α，b α，a∥b a ∥α，aβ，α∩β＝b 2.面面平行的判定与性质a β，b β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，aβ[常用结论与微点提醒] 1.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 2.线线、线面、面面平行间的转化诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() 解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材习题改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α解析根据线面平行的判定与性质定理知，选D.答案 D3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.当α∥β时，由mα可知，m∥β.∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2018·西安模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.m ∥n ，m ∥α，则n ∥α C.m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD.α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析 A 中，m 与n 平行、相交或异面，A 不正确；B 中，n ∥α或nα，B 不正确；根据线面垂直的性质，C 正确；D 中，α∥β或α与β相交于一条直线，D 错. 答案 C5.(教材练习改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为________.解析 连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，连接EO ，在△BDD 1中，O 为BD 的中点，E 为DD 1的中点，所以EO 为△BDD 1的中位线，则BD 1∥EO ，而BD 1平面ACE ，EO 平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE . 答案 平行考点一 与线、面平行相关命题的判定【例1】 (1)(2018·成都诊断)已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β.有下列命题：①若α∥β，则m ∥n ； ②若α∥β，则m ∥β；③若α∩β＝l ，且m ⊥l ，n ⊥l ，则α⊥β； ④若α∩β＝l ，且m ⊥l ，m ⊥n ，则α⊥β. 其中真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3(2)(2018·安庆模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1，则下面说法正确的是________(填序号).①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.解析(1)①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.(2)如图，对于①，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，即MN面APC，所以MN∥面APC是错误的.对于②，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN平面APC，C1Q平面APC.所以C1Q∥面APC是正确的.对于③，由①知，A，P，M三点共线是正确的.对于④，由①知MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ∥面APC是错误的.答案(1)B(2)②③规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】(1)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号). 解析 (1)若m ，nα，α∥β，则m ∥β且n ∥β；反之若m ，nα，m ∥β且n ∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件.(2)当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④. 答案 (1)A (2)②③④考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究) 命题角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綉AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT平面PAB ，MN平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453. 命题角度2 直线与平面平行性质定理的应用【例2－2】 (2018·宜春质检)如图，五面体ABCDE ，四边形ABDE是矩形，△ABC 是正三角形，AB ＝1，AE ＝2，F 是线段BC 上一点，直线BC 与平面ABD 所成角为30°，CE ∥平面ADF . (1)试确定F 的位置； (2)求三棱锥A －CDF 的体积.解 (1)连接BE 交AD 于点O ，连接OF ，∵CE ∥平面ADF ，CE 平面BEC ，平面ADF ∩平面BEC ＝OF ，∴CE ∥OF .∵O 是BE 的中点，∴F 是BC 的中点.(2)∵BC 与平面ABD 所成角为30°，BC ＝AB ＝1， ∴C 到平面ABD 的距离为h ＝BC ·sin 30°＝12. ∵AE ＝2，∴V A －CDF ＝V F －ACD ＝12V B －ACD ＝12V C －ABD ＝12×13×12×1×2×12＝112.规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】 (2017·江苏卷)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB平面ABC，EF平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，∴AD⊥AC.考点三面面平行的判定与性质(典例迁移)【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移探究1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【迁移探究2】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC 的值.解 连接A1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，∴DC AD ＝1，即ADDC ＝1.规律方法 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行. (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 (2018·东北三省四校联考)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点.(1)若线段AC 上存在点D 满足平面DEF ∥平面ABC 1，试确定点D 的位置，并说明理由；(2)证明：EF ⊥A 1C .(1)解 点D 是AC 的中点，理由如下：∵平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ，∴AB ∥DE ，∵在△ABC 中，E 是BC 的中点， ∴D 是AC 的中点.(2)证明 ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1，∴四边形A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1.∵AA1⊥底面ABC，AB平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵A1C平面AA1C1C，∴AB⊥A1C.又AB∩AC1＝A，从而A1C⊥平面ABC1，又BC1平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别是BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，从而EF⊥A1C.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·安康模拟)有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确.答案 AB1C1中，过A1B12.(2018·长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB平面ABC，A1B1平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案 B3.(2018·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()A.aα，若b∥a，则b∥αB.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥βC.a⊥b，b⊥c，则a∥cD.a∩b＝A，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β解析选项A中，bα或b∥α，不正确.B中b与β可能斜交，B错误.C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误.利用面面平行的判定定理，易知D正确.答案 D4.(2018·合肥模拟)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案 C5.(2017·吉安模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A.lα，mα，且l∥β，m∥βB.l α，m β，且l ∥mC.l ⊥α，m ⊥β，且l ∥mD.l ∥α，m ∥β，且l ∥m解析 借助如图所示的长方体模型，可以判定选项A ，B ，D 不一定推出α∥β.对于选项C ，由l ⊥α，l ∥m ，得m ⊥α，又m ⊥β，从而α∥β.答案 C二、填空题6.设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m γ.可以填入的条件有________.解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.答案 ①或③7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案 28.(2018·郑州调研)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或mβ，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.答案②三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.解(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10.(2018·张家口检测)如图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，点E，F分别为AD，PC的中点.(1)证明：DF ∥平面PBE ；(2)求点F 到平面PBE 的距离.(1)证明 取PB 的中点G ，连接EG ，FG ，则FG ∥BC ，且FG ＝12BC .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴DE ∥FG 且DE ＝FG ，∴四边形DEGF 为平行四边形，∴DF ∥EG .又DF 平面PBE ，EG 平面PBE ，故DF ∥平面PBE .(2)解 由(1)知DF ∥平面PBE ，∴点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ，连接BD .∵V D －PBE ＝V P －BDE ，∴13S △PBE ·d ＝13S △BDE ·PD ，由题意可求得PE ＝BE ＝5，PB ＝23，∴S △PBE ＝12×23×（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝ 6. 又S △BDE ＝12DE ·AB ＝12×1×2＝1，∴d ＝63，即点F 到平面PBE 的距离为63.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案 D12.如图所示，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.解析设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案 113.(2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，图①如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.图②在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC.。
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
高中数学知识点精讲精析 平行关系的性质
1.5.2 平行关系的性质（一）直线与平面平行的性质1.性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2.直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.（二）平面与平面平行的性质1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.2.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面.3.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等.4.平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.4.两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”.用符号表示是：α∥β，a α，则a ∥β.5.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”.用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b.6.一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：α∥β，a ⊥α，则a ⊥β.7.夹在两个平行平面间的平行线段相等.8.过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.9.两平行平面的距离及求法两个平行平面的距离：我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离平行线间的距离说明：两个平行平面的公垂线段都相等.[例1] 下列说法正确的是（ ）.A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行答案：D[例2]在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α.β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l .m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l .m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β答案：D[例3] 如右图，在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，M .N .P 分别是 C 1C .B 1C 1.C 1D 1 d =的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P.N 分别是D1C1.B1C1 的中点，∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN 不在平面A1BD 上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD. [例4] 下列说法正确的是（）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行答案：C[例5]下列说法正确的是（）.A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行答案：D。
平行关系的知识点总结图
平行关系的知识点总结图一、概念平行关系是指在一个平面上的两个直线、两个平面或一个直线和一个平面之间具有特定的关系，这种特定的关系是它们互相不相交的关系。
在几何学中，平行关系是一个基本概念，具有重要的意义。
二、平行直线1. 定义两条直线在同一个平面内，如果它们不相交，且在这个平面上无论如何延长，它们也不能相交，则这两条直线互相平行。
2. 性质（1）平行直线所在的平面是共面的，即两条平行直线所在的平面不相交。
（2）两条平行直线间的距离是恒定的，平行直线间的任意两点之间的最短距离是相等的。
3. 符号表示两条平行直线常用“//”来表示，如AB//CD。
4. 判定平行直线的判定有多种方法，常见的有以下几种：（1）同位角相等：若两条直线AB和CD被截割成两对同位角，且这两对同位角都相等，则直线AB与CD平行。
（2）内错角相等：若两条直线AB和CD被一直线EF截割，使得同侧的内错角相等，则直线AB与CD平行。
（3）垂直线截线法：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，使得截线和其中一直线的垂线互相平行，则直线AB与CD平行。
5. 平行线的性质（1）同位角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的同位角相等。
（2）内错角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的同侧内角相等。
（3）对应角相等性质：若两条直线AB和CD被一条直线EF截割，形成的对应角相等。
三、平行线的判定1. 直线截线法若两条平行线被一条直线截断，所得的对应角相等，则这两条直线平行。
2. 角平分线法若一条直线与两条平行线相交，使得所得的对应角相等，则这条直线垂直于这两条平行线。
四、平行线间的距离1. 点到直线的距离点到直线的距离是指从这个点到这条直线上的垂足的距离。
以点A到直线l的距离为例，设点A到直线l上的垂足为H，则点A到直线l的距离为AH。
2. 点与直线间的距离点到直线距离的求解可以通过点到直线的垂线来计算，或者通过公式进行计算。
14-02-25平行关系的相互转化
A
M
B
C N
D
5. 已 知 底 面 是 平 行 四 边 形的 四 棱 锥 P - ABCD，点E在PD上，且PE : ED 2 : 1, 在棱PC上是否存在一点F，使BF // 面AEC？ 证明你的结论，并说出点F的位置.
P
PG
E
FE
A
A D
D
B
O
CB
O CBiblioteka 6. 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中， E、F、G、H分 别 是 棱CC1、C1 D1、DD1、CD的 中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动， 则点M满足 _________ 时, 有 面MN //面
B1BDD1 .
7. 用平行于四面体A - BCD的一组 对棱AB、CD的平面截此四面体，如图. （1）求证：所得截面 MNPQ是平行四边形.
（2）如果AB CD a, 求证：四边形MNPQ的 周长为定值.
3. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC,
M、N分别是A1B1，AB的中点，点P在线段
B1C上，如图，则NP与平面AMC1的位置关
系是（
）
A1
C1
M
A. 垂直
B1
B. 平行
C. 相交但不垂直 D. 依点P的位置而定 A N
P C
B
4【. 变式训练】
如图： // , AB、CD是两条异面直线, A、C ，B、D ，M、N分别是AB、CD 的中点. 求证：MN // 平面
线线 平行
线面 平行
面面 平行
1. 过三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD 的中点M，N, P作平面MNP，三棱锥的六 条棱中与平面MNP平行的是________，若 AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面 四边形的面积是_______。
平行关系的相互转化
P
P
M
A B
E
E
D
A B
M
C
D
C
平行关系的相互转化 1.常见的平行关系：线线平行、线面平行和面 面平行，三者之间不是孤立的，而是相互联系、 相互转化的。 2.(1)判定线线平行的方法 ①利用定义:证明线线共面且无公共点 ②利用平行公理证明两条直线同时平行于第三 条直线 ③利用线面平行的性质定理 a // , a , b a // b ④利用面面平行的性质定理:
M
O
O
例 3. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，
AB BC 1 AD, BAD ABC 90o , ， 2
E 是 PD 的中点，证明：直线
CE / /
平面 PAB.
F
F
例 4.如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等 BC // AD ， 腰直角三角形， PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD 的中点． 证 明： CE // 平面 PAB.
// , a, b a // b
平行关系的相互转化 2.(2)判定线面平行的方法 ①利用定义:证明直线a与平面a没有公共点,往往借助 于反证法 ②利用直线和平面平行的判定定理 a , b , a // b a // ③利用面面平行的性质: // , a a //
平行关系的相互转化
2.(3)判定面面平行的方法 ①利用面面平行的定义:两个平面没有公共点 ②利用面面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行.即
a , b , a b A, a // .b // a //
人教版高中数学必修二第2章2.22.2.3直线与平面平行的性质
223直线与平面平行的性质学习目标1. 了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过 程.2. 理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用.（重点） 3. 能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定 理进行线面平行的相互转化.（难点） 自主预习。
播新和 zizHi jyt xi口新知初探I直线与平面平行的性质定理 文字语言一条直线与一个平面平行, 面的交线与该直线平行• 过该直线的任意一个平面与已知平符号语言a // a, a? 3, aA b? a /b 图形语言思考：若a // a b? a,则直线a 一定与直线b 平行吗？［提示］不一定.由a / a,可知直线a 与平面a 无公共点，又b? a,,所以a 与b 无公共点,所以直线a 与直线b 平行或异面.口初试身^□1. 如图，过正方体 ABCD-A'B C 'D 的棱BB '作一平面交平面 CDD'C 于EE : 则BB 与EE 的位置关系是（）核心素养通过学习直线与平面 平行的性质，提升直观 想象、逻辑推理的数学 素养•A .平行B .相交C•异面D .不确定A ［因为BB'// 平面CDD C ；BB 7 平面BB'E'E，平面BB'E^G 平面CDD C=EE 所以BB ' // EE '.］2. 设m、n是平面a外的两条直线，给出以下三个论断：①m// n；②m// a；③n// a以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________ .(用序号表示)①②？③(或①③？②)［设过m的平面B与a交于I •因为m//a,所以m//l，因为m // n，所以n // I，因为n?a, I? a，所以n // a］合作探究。
I星驀养直线与平面平行性质定理的应用［探究问题］1. 直线与平面平行性质定理的条件有哪些?［提示］线面平行的性质定理的条件有三个：(1) 直线a与平面a平行，即a / a；(2) 平面a、B相交于一条直线，即aG b;(3) 直线a在平面B内，即a? B三个条件缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理有什么作用?［提示］定理的作用：(1) 线面平行？线线平行；(2) 画一条直线与已知直线平行.3. 直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系?［提示］经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行.【例1】 如图，用平行于四面体 ABCD 的一组对棱AB , CD 的平面截此 四面体•求证：截面 MNPQ 是平行四边形.［证明］ 因为AB //平面 MNPQ ,平面 ABC A 平面 MNPQ = MN ,且 AB?平面 ABC ,所以由线面平行的性质定理,知AB / MN ,同理，AB//PQ ,所以MN // PQ.同理可得 MQ // NP.所以截面MNPQ 为平行四边形.对蕊凍吭 将本例变为：如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ■ 平面ABCD , 过BC 作平面BCFE 交AP 于E ,交DP 于F.［证明］因为四边形ABCD 为矩形,所以BC / AD ,因为AD?平面PAD , BC?平面PAD ,所以BC /平面PAD.因为平面BCFE G 平面FAD = EF ,所以 BC //EF. 求证：四边形因为AD = BC, AD托F,所以BC M EF,所以四边形BCFE是梯形.1.利用线面平行性质定理解题的步骤:2 •证明线线平行的方法：(1) 定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2) 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行.a //a(3) 线面平行的性质定理：a? B ? a//b,应用时题目条件中需有线面aA b平行.【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA=3,点F在棱RA上，且AF = 1,点E在棱PD上，若CE//平面BDF，求PE : ED 的值.B［解］过点E作EG // FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O, 连接FO.因为EG// FD , EG?平面BDF, FD?平面BDF ,所以EG//平面BDF ,又EG A CE= E, CE//平面BDF, EG?平面CGE, CE?平面CGE,所以平面CGE//平面BDF,又CG?平面CGE,所以CG//平面BDF,又平面BDF A平面PAC= FO, CG?平面PAC,所以FO // CG,又O为AC的中点，所以F为AG的中点,所以FG = GP= 1,所以E为PD的中点,PE : ED= 1 : 1.利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1) 根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2) 在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3) 利用所得关系计算求值.働跟礙训练I如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，点E, F 分别是棱C i D i , B i C i 的中点，过A , E , F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ____________ .6 13+ 3 2 [如图所示，延长EF ，A i B i 相交于点M ，连接AM ，交BB i 于 点H ，连接FH ，延长FE , A i D i 相交于点N ，连接AN 交DD i 于点G ，连接EG ,可得截面五边形AHFEG ,因为几何体ABCD-A i B i C i D i 是棱长为6的正方体，且ii E 、F 分别是棱 C i D i , B i C i 的中点，所以 EF = 3 2,易知 B i M = C i E = QC i D i = 2 A i B i ,又 B i H //AA i ,所以 B i H = iAA i = 2, J 则 BH = 4,易知 AG = AH = 62 + 42= 2 i3, EG = FH =、32 + 22= i3,所以截面的周长为 6 i3+ 3,2]i •在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质.2 •要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化•在解决立体几 何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的 最有效的方法.当堂达标科固观基1 •如图，在三棱锥SABC中，E, F分别是SB SC上的点，且EF //平面ABC，则（）A. EF与BC相交B. EF // BCC. EF与BC异面D. 以上均有可能B ［因为平面SBC n平面ABC= BC,又因为EF //平面ABC，所以EF // BC.］2 .直线a//平面a, a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（）A. 0条B . 1条C. 0条或1条 D .无数条C ［过直线a与交点作平面B,设平面B与a交于直线b，则a// b，若所给n 条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.］3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为I，则I与A1C1的位置关系是__________ .平行［因为A1C1 /平面ABCD，A1C1?平面A1C1B，平面ABCD n平面A1C1B= I，由线面平行的性质定理，所以A1C1//IJ4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1//平面BDA1,求证：CD = C1D.［证明］如图，连接AB1与BA1交于点0,连接0D,因为PB i // 平面BDA i, PB i?平面AB i P,平面AB i P n平面BDA i = OD,所以OD // PB i, 又AO= B i O,所以AD = PD,又AC// C i P,所以CD = C i D.。
高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质
两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题
高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题高中数学知识点总结及公式大全：立体几何中的平行与垂直问题在高中数学中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的重要内容之一。
在立体几何中，平行和垂直是我们经常遇到的问题。
本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，并提供一些常用的公式。
一、平行与垂直的概念在几何中，平行和垂直是两个基本的关系。
平行指的是两条直线永远不会相交的情况，可以想象成两条铁轨永远平行。
垂直则指的是两条直线相互成直角，可以想象成两根彼此垂直的木棍。
二、平行与垂直的判定方法1. 平行关系的判定方法：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一组相交线段所切割，且这些相交线段的对应角相等，则这两条直线是平行的。
(2) 平行线的性质定理：如果一条直线上的两个点分别与另一条直线上的两个点相连，且相连的线段互相平行，则这两条直线是平行的。
(3) 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。
2. 垂直关系的判定方法：(1) 两条直线相交且相交角为90度，则这两条直线是垂直的。
(2) 垂直线的性质定理：如果一条直线与另一条直线相互垂直，且这两条直线各自还与第三条直线相交，则第三条直线与这两条直线也是垂直的。
(3) 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线是垂直的。
三、常用公式在立体几何中，我们经常使用一些公式来求解问题。
下面是一些常用的公式：1. 立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长平方。
2. 立方体的体积公式：立方体的体积等于边长的立方。
3. 正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长平方。
4. 正方体的体积公式：正方体的体积等于边长的立方。
5. 圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。
6. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积等于πr²h，其中r为底面半径，h为高。
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
高三数学知识点归纳总结
高三数学知识点归纳总结高三数学知识点归纳总结6篇高三数学知识点归纳总结11.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2.判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3.两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”;(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;(3)两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
高三数学知识点归纳总结2一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3++a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N_)，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an・an+2(n∈N_)，则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c・qn(c，q均是不为0的常数，n∈N_)，则{an}是等比数列.注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.高三数学知识点归纳总结3不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
第3节 空间直线、平面的平行--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点.连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,
因为AB∥CD,AB=CG=2,
所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.
因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,
所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,
所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,
证明 如图,连接 OC,OD.因为 C 为 上靠近 A 的三等分点,D 为 上靠近 B
的三等分点,所以 =
π
,则∠AOC=∠BOD=3,
∴△AOC,△BOD均为正三角形,∴∠OAC=∠OBD,∴AC∥BD.
∵BD⊂平面PBD,AC⊄平面PBD,
∴AC∥平面PBD.又平面PAC∩平面PBD=l,AC⊂平面PAC,∴AC∥l.
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.
同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,
所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以
1
AD=D1C1=2A1C1.
又 AC=A1C1,所以
高中数学必修课件第一章平行关系的性质
思路梳理
首先，根据平行面的定义和性质 ，明确平行面被第三个平面截得 的交线也是平行的。然后，利用 这一性质来证明题目中的结论。
实际应用场景举例
01
建筑学
在建筑设计中，平行面的概念被广泛应用于墙体、地面和天花板的布局
。通过确保这些平面相互平行，可以创造出稳定、和谐的视觉效果。
02 03
机械工程
在机械设计中，平行面被用于确保机器部件的精确配合。例如，轴承和 轴之间的配合就需要保证它们各自的平面相互平行，以确保机器的正常 运转。
答案
根据已知条件和三角函数公式，证明了两直线所成的同 角三角函数值相等，因此两直线平行。
拓展：其他函数在平行关系中应用
要点一
指数函数和对数函数
要点二
三角函数与其他函数的复合应用
在平行线问题中，有时可以利用指数函数和对数函数的性 质和公式进行求解。
在解决平行线问题时，可以将三角函数与其他函数进行复 合应用，如三角函数与二次函数、三角函数与反三角函数 等，从而得到更复杂的数学模型和更精确的求解结果。
探讨平行关系在代数、几何、三角函数等领域的 应用。
解题方法技巧归纳
判定平行线的方法
01
通过同位角、内错角、同旁内角等角度关系判定两直线是否平
行。
利用平行线性质解题
02
运用平行线的性质定理和推论解决相关问题，如角度计算、线
段比例等。
平行平面问题的求解策略
03
掌握平行平面在空间几何中的判定和性质，运用空间想象和逻
误区提示
在判断两直线是否平行时，要注意同位角、内错角和同旁内角的概念及性质，避免出现混淆或误判的情况。同时 ，在求解角度问题时，也要注意对顶角和邻补角的概念及性质。
19-03-18高一数学《平行关系的相互转化》(课件)
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3. 已知平面α//β，P是α、β外一点，过点P的两条
直线PAC、PBD分别交α于A，B，交β于C，D，且 PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为_________。
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4. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, M、N分别
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7.
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8.
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9.
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线线 平行
线面 平行
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面面 平行
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1.
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2. 过三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD的中点M，N,
P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的 是________，若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则 截面四边形的面积是_______。
是A1B1，AB的中点，点P在线段B1C上，如图，则NP与
平面AMC1的位置关系是（ A. 垂直
）A1 M
C1
B. 平行
B1
C. 相交但不垂直
D. 依点P的位置而定
A
N
P C
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B
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5.
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微专题 空间平行关系的转化
微专题空间平行关系的转化要点梳理归纳题型分类解析1.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3， D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. 证明(略)2. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （１） 求证：直线MN //平面PBC ； （２） 求线段MN 的长．（１） 答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连1A A接PE ，则由AD BC //，得BN NEND AN=． BN PM ND MA =∵，NE PMAN MA=∴． MN PE ∴//，又PE ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN //平面PBC ． （２） 解：由13PB BC PC ===，得60PBC ∠=þ；由58BE BN AD ND ==，知5651388BE =⨯=， 由余弦定理可得918PE =，8713MN PE ==∴．3.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .1证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1 （2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDG4. 如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MBMB AB -=MB MBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .5. 如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l .(1)判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN 与平面P AD 的位置关系，并证明你的结论．6. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF ＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A ′EF 位置，使得A ′C ＝2 6.(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．。
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高中数学知识点：平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
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