18谓词演算的推理规则.

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离散数学课件1.8

离散数学课件1.8

∀ xA( x) ∴ A( y )
应用US规则的条件是: A(x)对于y必须是自由的。 设 A( x) = ∃y( x > y) 则 ∀xA( x) = ∀x∃y( x > y) , x,y的 的 个体域为R, 是一真命题. 个体域为 , 是一真命题 若应用US得 则是错误的。 若应用 得 ∃y( y > y) ,则是错误的。 正确的做法是换成 ∃y( z > y) ( z ∈ R)
用变元x取代 , 则要求在 原公式中y不 用变元 取代y, 则要求 在 原公式中 不 取代 能出现在量词(∀ 或 ∃ 的辖域之内 的辖域之内。 能出现在量词 ∀x)或(∃x)的辖域之内。
16
第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用(4)
推导4: (1)G(x, c) (2)(∃x)G(x, x) P EG,(2)
17
第一章 数理逻辑 1.8.3 推理举例 例1 根据前提集合:同事之间总是有工作矛盾的,张平和李 明没有工作矛盾, 能得出什么结论? ; 解 设P(x, y): x和y是同事关系, Q(x, y): a: 张平, x和y有工作矛盾, b: 李明,
则前提是:∀x∀y(P(x,y) → Q(x,y)) , ┐Q(a,b) ∀ ∀
6
第一章 数理逻辑 这一规则也可写为:
∀ xA( x)推得A( x) 或
它的意义是, 全称量词可以删除。
∀ xA( x) ⇒ A( x).
7
第一章 数理逻辑 (2) 存在指定规则 存在特定规则 存在量词消去规则 ) 存在指定规则(存在特定规则 存在特定规则/存在量词消去规则 (Existential Specification)简记为ES。
15
第一章 数理逻辑

离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统

离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明:令 P(e)表示“e为人”; W(e)表示“e喜欢步行”; D(e)表示“e喜欢乘汽车”; R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为: (1) ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) (2) ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) (3) ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为:
例 设有 P(x,g(a))Q(y) P(z,g(a))Q(z)
可得归结式如下:
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x,g(a))P(z,g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库, 而规则表就是归结,表中的规则用到数据库中的
子句对,产生一个新的子句,把新子句加入数据 库中产生新的数据库,形成新的归结,重复此过 程,观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序,使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R , 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类:
一类是规则,其由蕴含式表示,它表达了有关领
域的一般知识,且可作为产生式规则来使用;
另一类是事实,其由不包含蕴含式的陈述组成,
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结

2-5 谓词演算的四个推理规则

2-5 谓词演算的四个推理规则

§2.5.1 存在指定规则
例如:
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立,那么在盒子里面任找一个球,它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×

» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真,且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真, 应用ES规则可得: (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则,并最后还原带量 词的结论形式,在推理过程中经常要消去和 添加量词,以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真,那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真,因此 US规则通常也可以这样用:
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时,应先作存 在指定,再作全称指定。
» 指定规则的使用
西安电子科技大学 软件学院
§2.5.1 存在指定规则
例如:
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立,那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物,x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如:
西安电子科技大学 软件学院
如果从盒子中任取一个球,能证明它是 黑球,那么“盒子里面全是黑球”成立。

离散数学谓词复习和习题例题讲解详解

离散数学谓词复习和习题例题讲解详解

2)、G2=P(a)→(x)P(x);
3)、G3=(x)(P(x)∧┐P(x))。
XDC
温故而知新!
38-8
C
谓词演算的基本永真公式
S | S W U S T
XDC
温故而知新!
38-9
C
S
几个规则
| ▪ 规则1(约束变元的改名规则):1.6
S
1)、将量词中出现的变元以及该量词辖域中此
变量之所有约束出现都用新的个体变元替换。
词的辖域。
XDC
温故而知新!
38-3
C
S
全总个体域
|
基于上述情况,必须对个体域进行统一,全部使用
全总个体域,此时,对每一个句子中个体变量的变化范
S
围用一定之特性谓词刻划之。而统一成全总个体域后,
W
此全总个体域在谓词公式中就不必特别说明,常常省略
U
不记。同时,这种特性谓词在加入到命题函数中时必定 遵循如下原则:
T
为约束变元只改名为另一个个体变元,约束关系不改变, 约束变元不能改名为个体常量;代入后,不仅可用另一
个个体变元进行代入,并且也可用个体常量去代入,从
而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常量有意义,
即公式的含义改变了。
XDC
温故而知新!
38-11
C
S
规则3:替换规则 1.7.3
|
设A(x1,x2,…,xn) = B(x1,x2,…,xn), 而A
S
等表示。
T
谓词中个体词的顺序是十分重要的,不能随
意变更。
XDC
温故而知新!
38-2
C
S
量词的定义
|
引进如下两个符号:

离散数学-谓词演算的推理规则

离散数学-谓词演算的推理规则
解: P(x) :x 是液体, G(x):x是金属, R(x, y):x 溶解 y ,
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言,并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ,其中G(x, y) : xy y 解:对任意正整数 x ,存在正整数 y,
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元, G(x, y) 中的 y是自由变元; y 的辖域是F( y) , F( y) 中的 y 是约束变元; R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除,写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点: 全称指定规则(US)(Universal Specification) 存在指定规则(ES)(Existential Specification) 全称推广规则(UG)(Universal Generalization) 存在推广规则(EG)(Existential Specification)
3
3、全称推广规则(UG)
A( y) xA(x) 要求:(1)y是个体域中任一个体,且都有A( y)为真。
4、存在推广规则(EG)
A( y) xA(x)
要求:(1) y 是个体常元或变元,
(2)在公式A(y)中,y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注:考察以下推理过程
① xyP x, y

yP(c, y)
谓词公式;辖域,约束变项,自由变项; 代换实例;重言式, 矛盾式,可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。

谓词逻辑的等值和推理演算

谓词逻辑的等值和推理演算
• 例2:人皆有死,孔子是人,所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))

第四章 谓词演算的推理理论-永真推理系统

第四章  谓词演算的推理理论-永真推理系统

例 (续 )
证明:
x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
(3) P(x) xP(x)
公理21 公理3
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x))) (5) (xP(x))(P(x)) 分(3)(4)
(4) △ (x (x) (1 ))
两次运用调头公理2
分离Байду номын сангаас1)(2)
存0规则
公理2
(5) △ ((x (x) (1 )) (1(x (x) ))) (6) △(1 (x(x) )) 分离(5)(6)
例(练习4.1(1))
证明:
x(P(x))(xP(x))
回顾: 量词作用域的收缩与扩张
设公式中不含有自由的x,则下面的公式成立:
x((x) → )= ( x(x) → )
x( →(x)) = (→x(x)) x((x)→ )= (x(x) →) x(→(x))= (→x(x)) 全称量 词引入 存在量 词引入
例 (练习4.2)已知公理 (A) △(P(QP)) (B) △(PP) 及分离规则和全称规则,全称规则为: △(1(2(x)))├△(1(2x (x))) 试证:全0规则 △(x)├△x(x)
证: (1) △(x) (2) △ (P(QP)) (3) △ ((x) ((PP) (x) (4) △(PP) (x) (5) △(((PP) (x)) ((PP) ((PP) (x)))) (6) △((PP) ((PP) (x))) (7) △((PP) ((PP) x(x))) (8) △(PP) (9) △((PP) x(x)) (10) △(x(x))
基本符号(续)

概率论-第七讲 谓词演算的推理规则

概率论-第七讲 谓词演算的推理规则

(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3:推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人,所以有的成员是青年专家。” 证: 设 F(x):x是学术会成员; G(x):x是专家; H(x):x是青年。 前提:∀x(F( x ) → G ( x )),∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论:∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义:如果公式 A ( x )中, x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内,则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则:E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则: US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件:A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义:全称量词可以删除。 例: ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y):x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T,), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P

逻辑与思维背记知识点总结

逻辑与思维背记知识点总结

逻辑与思维背记知识点总结逻辑与思维背记知识点总结逻辑和思维是人类认识和思考世界的重要工具。

通过逻辑思维,我们能够准确、合理地判断、推理和证明事物之间的关系和联系。

逻辑与思维背记知识点是我们在学习逻辑和思维过程中需要掌握的基础知识,下面将对其进行总结。

一、命题逻辑的基本概念与规则1.命题和命题联结词:命题是用语句形式陈述的有真假性质的表达式,可以是陈述句、疑问句、感叹句等。

命题联结词包括合取(且)、析取(或)、否定等。

2.真值表:真值表是用来表示命题联结词的真值情况的一种方法,通常用0表示假,用1表示真。

3.蕴涵、等价和逆否命题:蕴涵是一种命题之间的关系,其中一个命题是由另一个命题推导出来的。

等价是指两个命题具有相同的真值情况。

逆否命题是指将原命题的否定和逆命题进行结合得出的新命题。

4.命题演算的推理规则:命题演算是通过推理规则对命题进行推导。

常用推理规则包括假言推理、拒取推理、假设推理等。

二、谓词逻辑的基本概念与规则1.谓词:谓词是带有变元的陈述句,它含有一个或多个变元,并通过替换变元的方式生成具体的命题。

2.量词:量词是用来限定谓词中变元的范围的,常见的量词有全称量词∀和存在量词∃。

3.量词的转换:量词的转换是指将全称量词和存在量词进行转换得到的新命题。

4.谓词演算的推理规则:谓词演算是进行谓词逻辑推理的工具,常用的推理规则包括全称推理、存在推理、全称拒取、存在拒取等。

三、演绎推理与归纳推理1.演绎推理:演绎推理是从一般规律出发,根据前提条件得出特殊结论的推理方法。

常见的演绎推理形式有假言推理、拒取推理、假设推理等。

2.归纳推理:归纳推理是从特殊事实出发,得出一般规律的推理方法。

常见的归纳推理形式有类比推理、因果关系推理、分类推理等。

四、思维误区与思维规范1.思维误区:思维误区是指在思考过程中容易出现的问题或陷阱,如先验偏见、非黑即白思维等。

2.思维规范:思维规范是指进行合理思考和推理时应遵循的原则和规则,如清晰明确、客观公正、逻辑严密等。

谓词演算与消解(归结)原理-图文

谓词演算与消解(归结)原理-图文

3.3.3 合一的一个例子
在此基础上又调用: unify (((father bill) (mother bill)), ((father bill) Y )) 导致调用: (1) unify((father bill),(father bill)) unify (father, father) unify (bill, bill) unify (( ), ( )) 所有的调用都成功,返回空代入集 { }。 (2) unify ((mother bill), Y)
与谓词相关的一个正整数称为元数或“参数数目”, 具有相同的名但元数不同的谓词是不同的。
真值true和false也是原子命题。
任何原子命题都能够用逻辑操作符将其变成谓词演 算的命题。用的联结词也和命题演算一样: ∨,∧, ~, => 和=。
当一个变元在一个命题中作为参数出现时,它代表 的是域中不特定的对象。谓词演算包括两个符号, 量词(全称量词)和彐(存在量词), 用于限定 包含变元的命题的含义。
3.2.2 谓词演算的语义
谓词演算表达式的真值 设有表达式E和在非空论域D上对E的一个解释I,E的
真值按以下规律决定: 1)一个常元的值是根据I指派给它的D的一个元素。 2)一个变元的值是根据I指派给它的D的一个元素集合
。 3)一个函词的值是根据由I指派给它的参数值计算得
到的D的元素。 4)真值符号true的值是T,false的值是F。 5)原子命题的值或者为T,或者为F,取决于解释I。 6)如果一个命题的值为F,则其否定式为T,否则为F

~ (P∧Q) = (~P∨~Q)
▪分配律:P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R)
▪ 分配律:P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)

第四讲谓词演算的推理理论

第四讲谓词演算的推理理论

谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 : (1) 在座的成员都是大学生,并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以,有些成员是青年女大学生。 解:设M(x):x是在座的成员 Y(x):x正值青春年华 U(x):x是大学生 W(x):x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题: ( x)( y)A(x, y) P
全称指定: ( y)A(a, y) P 等价式: P (y) A(a, y) 全称推广: P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式: P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意:使用指定或推广规则时,量词的作用域必 须是整个谓词公式,而不是其中的一部分

离散数学27谓词演算的推理理论

离散数学27谓词演算的推理理论
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六、例题
例:给定下面2个推理,找出错误.
(1) 1.x (F(x) G(x)) P
2.F(y) G(y)
US(1)
3.x F(x)
P
4.F(y)
ES(3)
5.G(y)
T(2)(3) I
6.xG(x)
UG(5)
(2) 1.xy F(x, y)
P
2.y F(z, y)
US(1)
3.F(z, c)
ES(2)
4.x F(x, c)
UG
5.yx F(x, y)
EG
*在上面推理中(1)中从3到4有错,(2)中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时,千万注意条件,否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例:证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的,张三是人,所以张三要死。” 首先将命题符号化:
EG(5)
*以上结论显然错的,其原因是违背条件(1),2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如,在实数集中,xy(x>y)是真命题,请看下 面推导:
1.xy(x>y)
P
2.y(z>y)
US(1)
3.z>c
ES(2)
4.x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的,其原因是违背了(3),对2使用ES规
解: F(x):x为学术会成员。G(x):x是专家。
H(x):x是工人。
R(x):x是青年人。
前提:x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论:x (F(x) R(x) G(x))

谓词逻辑的等值和推理演算-SJTUCS

谓词逻辑的等值和推理演算-SJTUCS
这是正确的推理形式 在命题逻辑里只能表达成p q → r,显然不是
正确的推理形式
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推理形式
例2: 人皆有死,孔子是人,所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
例3: 若有一个又高又胖的人,则有一个高个 子而且有一个胖子.
(x)Man(x)(x)Woman(x) 要么所有人都是男人,要么所有人都是女人
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量词分配等值式(续)
回顾:约束变元改名规则
(x)(x) = (y)(y) (x)(x) = (y)(y)
变元易名后的“分配律”
(x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y)) (x)(x)(x)(x)=(x)(y)((x)(y))
步骤: 设 是任一公式,通过下述步骤可将其转化
为与之等价的前束范式: (1)消去公式中包含的联结词“”、“”; (2)反复运用摩根定律,直接将“”内移到原子
谓词公式的前端; (3)约束变元易名(如果必要的话); (4)使用分配等值公式,将所有量词提到公式的最
前端。
14
求((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) 的前束范式。 解 (1)消去联结词“”、“”,得: ((x)(y)P(a, x, y)(x)((y)Q(y,b)R(x)))
引入新个体常项a代入x消去u时引进的个体因为与左边的y和z有关所以不能用个体常项而是用函数两者明显不等值但在不可满足的意义下两者是一致的skolem范式不保持等值24谓词逻辑的推理命题逻辑中有关推理形式重言蕴涵以及基本的推理公式的讨论和所用的术语都可引入到谓词逻辑中并可把命题逻辑的推理作为谓词逻辑的推理的一个部分来看待我们讨论谓词逻辑所特有的推理形式和基本推理公式25推理形式推理形式是指用表达推理的公式例1

谓词逻辑推理定律

谓词逻辑推理定律

谓词逻辑推理定律首先,让我们了解什么是谓词逻辑。

谓词逻辑是一种逻辑分析方法,用于分析一些断言或句子的真假性。

谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。

通常情况下,谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题,如逻辑谬误,语言理解等。

谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则,它们能够帮助我们合理地进行推理,确保推理的合法性和准确性。

下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。

1. 否定演算规律:一个命题与它的否定命题不能同时成立。

例如,如果说“所有动物都能呼吸”,那么这么说就是错误的:“所有动物不能呼吸”。

因此,被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。

2. 否定引入规律:在一个推理中,当我们不能证明一个命题时,我们可以推出它的否定命题是真的。

例如,如果一个人说“我已经搜索了整个屋子,但是没有找到我的钥匙”,那么我们可以推断出:“我的钥匙不在我的房子里”。

因为如果钥匙在房子里,就一定会被找到。

3. 等价规律:如果两个命题具有相同的真值,那么它们具有等价关系。

例如,命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。

4. 分配律:如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符,将它们分成两个组合不影响其含义。

例如,命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。

5. 归纳法则:当推理一组命题时,我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。

例如,如果我们希望证明所有偶数之和是偶数,我们可以归纳地首先证明2和4之和为6,接着证明6和6之和为12,以此类推。

通过这种归纳方法,我们可以得出结论:所有偶数之和是偶数。

6. 相反法则:只有证明命题的逆否命题为真,才能真正证明该命题为真。

例如,如果我们想证明“如果人类能够站立,那么他们就能够行走”,我们可以相反地批判性地假设人类不能行走,然后我们就可以推断出,他们也不能站立。

以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。

数学逻辑中的谓词与谓词演算

数学逻辑中的谓词与谓词演算

数学逻辑中的谓词与谓词演算在数学逻辑领域中,谓词是一种用于描述事物属性或关系的语言元素。

谓词演算是一种形式化的推理方法,旨在通过一系列符号化的公式来分析和推断命题的真假性。

本文将对数学逻辑中的谓词与谓词演算进行探讨。

一、谓词的定义与应用谓词是数学逻辑中最基本的概念之一,它是用于描述命题中的属性或关系的符号。

谓词的定义通常包括两个部分:谓词符号和谓词变元。

谓词符号表示谓词的含义,例如P(x)表示“x具有属性P”,Q(x, y)表示“x与y之间存在关系Q”。

谓词变元则是赋予谓词具体内容的变量,可以是常量、变量或复合表达式。

谓词在数学逻辑中广泛应用于命题的表达和推理过程。

通过引入谓词,我们可以更精确地描述事物的属性和关系,使得逻辑推理更加准确和有效。

例如,在数学中我们可以使用谓词来描述“偶数”、“素数”等特殊的数学性质,进而进行相关的推理和证明。

二、谓词演算的基本构成谓词演算是数学逻辑中一种重要的形式化推理方法,旨在通过对谓词之间的关系和结构进行符号化处理,从而进行逻辑推理和证明。

谓词演算通常包括以下几个基本构成要素:1. 逻辑符号:谓词演算中使用的逻辑符号包括命题符号、连接符号和量词符号等。

命题符号用于表示命题的真假,常用的命题符号包括“∧”表示逻辑与、“∨”表示逻辑或、“¬”表示逻辑非等。

连接符号用于连接多个命题形成复合命题,量词符号则用于描述谓词的范围和数量。

2. 公式化规则:谓词演算中使用的公式化规则通常包括谓词逻辑公式的构造和推导规则。

通过这些规则,我们可以将复杂的逻辑关系转化为一系列公式,并进行逻辑推理和证明。

3. 推理规则:谓词演算中的推理规则主要包括共识化、脱离量词、简化和替换等方法。

通过这些推理规则,我们可以通过对谓词形式的公式进行逻辑操作,得到新的公式以推导出结论。

三、谓词演算的应用和意义谓词演算在数学逻辑和计算机科学中有着广泛的应用和重要意义。

它不仅可以用于描述和分析命题的真假性,还可以应用于模型论、证明论和自动推理等领域。

谓词演算 公理

谓词演算 公理

谓词演算1. 简介谓词演算(Predicate Calculus),也称为一阶逻辑(First-order Logic),是数理逻辑中的一种形式化的推理系统。

它用于描述和推理关于对象和关系的陈述,是人工智能、计算机科学和哲学等领域的基础。

谓词演算包含两个基本要素:谓词和量词。

谓词是用来描述关系或性质的符号,比如“是父母关系”、“是红色的”等。

量词则用来描述对象的数量,包括全称量词(∀,表示“对于所有的”)和存在量词(∃,表示“存在一个”)。

2. 语法和符号谓词演算的语法包括常量、变量、谓词、逻辑连接词和量词。

常量是指具体的对象,比如“John”、“Mary”等;变量是用来代表任意对象的符号,比如“x”、“y”等;谓词是描述关系或性质的符号,比如“父母关系”、“红色”等;逻辑连接词包括逻辑与(∧)、逻辑或(∨)、逻辑非(¬)等;量词包括全称量词(∀)和存在量词(∃)。

谓词演算的公式可以使用一组符号来表示,包括谓词符号、变量符号、逻辑连接词和量词符号。

例如,公式∀x P(x) 表示“对于所有的x,P(x)成立”。

其中,∀是全称量词符号,x是变量符号,P是谓词符号。

3. 公理和推理规则谓词演算的推理过程基于一组公理和推理规则。

公理是被认为是真实的陈述,推理规则则是从已知的真实陈述推导出新的真实陈述。

谓词演算的常见公理包括等价律、同一律、排中律等。

等价律指出如果两个公式在所有情况下都具有相同的真值,则它们是等价的。

同一律指出对于任何公式P,P∨⊥等价于P。

排中律指出对于任何公式P,P∨¬P成立。

推理规则包括假言推理、全称推理、存在推理等。

假言推理指出如果有一个条件为真的陈述,则可以得出结果为真的结论。

全称推理指出如果一个全称陈述为真,则可以将变量替换为任意对象得出新的真实陈述。

存在推理指出如果一个存在陈述为真,则可以将变量替换为一个特定对象得出新的真实陈述。

4. 示例为了更好地理解谓词演算,我们可以通过一个简单的例子来说明。

谓词演算的推理理论

谓词演算的推理理论
3出错的原因是y已在yF(x,y)中约束出现。
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4
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2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体,
则D中必有某一个个体c(个体常元)具有该性质A。
该式成立的条件是: ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元,且此c在该推导前
结论: D(a)
推理的形式结构:x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则,规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理,规则T
南京信息工程大学数理学院
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NUIST
例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A,
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是: ⑴ y是A(y)中自由个体变元,且y取个体域D中的任何值时,
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元,否则也会产生错误。
注:使用本规则时,事先必须已经验证了对个体域中的每一个
(二)谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中,某些前提或结论会受到量词的限制, 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式,必须有消去或添加
量词的规则。
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2
消去规则(指定规则)
NUIST
1. US规则(全称指定规则)
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12
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取,其中没有x的自由出现。其意
义:若从Γ可推出A(x),那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中,x必须不是自由的;且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提:A1, A2, … , Ak
结论: B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
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注意
违反第二条: F(x,y):x>y,个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则,若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
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量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中,x不出现在量词y或 y的辖域之内,则称A(x)对y是自由的。
• 例如:B(x)= y P(y)Q(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
A(c)
成立的条件是:
•(1)A(x)对y必须是自由的。 •(2) 在第二式中, c为任意个体常元. •(3) 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时, 一定要在x自
由出现的一切地方进行取代.
注意
解 令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
前提:x(F(x)G(x)),F(a)
结论:G(a)
证明:① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
例2
例2 构造下述推理证明
前提:x(F(x)G(x)),xF(x)
若用5取代x,得A(5)= (5>5) 假 若用6取代x,得A(6)= (6>5) 真
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注意
(1)个体域为自然数集合N F(x):x为奇数. G(x):x为偶数. xF(x)—真命题 xG(x)—真命题 对xF(x)使用EI规则时,取代x的只能是1,3,5等特定的 个体常元,而不能取4,6等. 对xG(x)使用EI规则时,取代x的只能是0,2,16等特定的 个体常元,而不能取3,7等.
P,前提 T,(1),US T,(2),ES
T,(3),UG T,(4),EG
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自然推理系统F
自然推理系统F包括下述组成部分:
1. 字母表, 同谓词语言ℱ 的字母表 2. 合式公式, 同ℱ 的合式公式
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则
重要推理定律 第一组 命题逻辑推理定律的代换实例 例如 xF(x)yG(y) xF(x) 化简律的代换实例 第二组 每个谓词逻辑基本等值式生成2个推理定律
例如 xF(x) x(F(x)), x(F(x)) xF(x)
第三组 xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
违反第一条: F(x,y):x>y,个体域为实数域 xA(x)= x yF(x,y) —真命题 使用UI规则,若用y取代x,得yF(y,y)—假命题
若用z取代x,得yF(z,y)
量词消去与引入规则 EG
存在量词引入规则(EG)
A( c )
xA( x)
该式成立的条件是:
• (1) c是使A为真的特定个体常元. • (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过.
结论:xG(x)
证明:① xF(x)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(c)
①EI
④ F(c)G(c)
②UI
⑤ G(c)
③④假言推理
⑥ xG(x)
⑤EG
注意:1.必须先消存在量词
2. ⑥ xG(x) ⑤UG 行吗?为什么?
例4
例4 构造下述推理证明 前提:xF(x)xG(x) 结论:x(F(x)G(x)) 证明:① xF(x)xG(x)
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自然推理系统F(续)
(6) 化简规则 (7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) UI规则 (13) UG规则 (14) EG规则 (15) EI规则
例1
例1 证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人, 所以苏格拉底是要死的.”
存在量词消去规则(EI)
xA( x) A(c)
该式成立的条件是:
• (1) c是使A为真的特定的个体常元. • (2) c不在A(x)中出现. • (3) x在A(x)中自由出现, 除x之外没有其他自由
出现的个体变元
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注意
违反第二条: F(x,y):x>y,个体域为实数域
x A(x)= x F(x,5) 对x A(x)使用EI规则,
前提引入
② yF(t,y)
①UI规则
③ F(t,c)
②EI规则
④ xF(x,c)
③UG规则
注意:③, 在F(t,y)中, 除y外, t也是自由出现, 不能使用EI 规则
附加前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ②④假言推理 ⑤UG
4月26日 作业
P53 4 (2) 8(1)(3) 9(1)
21

例3 设个体域:R, F(x,y):x>y. 指出下述推理证明中的错误
前提: xyF(x,y) 真命题
结论: xF(x,c)
假命题
证明: ① xyF(x,y)
(3)在居先的步骤中,如果使用US而求得之x是自由的, 那么在后继步骤中,使用ES而引入的任何新变元都没 有在A(x)中自由出现。
• 观察下面的推理
• (1) x yP(x,y)
• (2) yP(t,y) • (3) P(t,d)
• (4) x P(x,d)
• (5) y x P(x,y)
• C(x)= yP(x,y) Q(x,y), C(x)对y不是自由 的
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注:在将A(x)中的x代以y时,需要先观察 A(x)对y是否自由,如果不自由,不能代 入。
如: yP(x,y) Q(x,y), 将x代以y得 yP(y,y) Q(y,y),此时原来自由的x
变成约束的,故需要先将y改名。
② xy(F(x)G(y)) ③ x(F(x)G(z)) ④ F(z)G(z) ⑤ x(F(x)G(x))
前提引入 ①置换 ②UI ③UI ④UG
例5
例5 构造下述推理证明 前提:x(F(x)G(x)) 结论:xF(x)xG(x) 证明:① xF(x)
② F(y) ③ x(F(x)G(x)) ④ F(y)G(y) ⑤ G(y) ⑥ xG(x)
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