绝对值与相反数(基础)知识讲解

绝对值与相反数（基础）

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【要点梳理】

要点一、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．

2．性质：

（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为0．

要点二、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ．

要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．

（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．

要点三、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点四、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．

2．法则比较法： 两数同号

同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号

正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：

（3）判定两数的大小．

3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．

4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b <，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．

5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．

【典型例题】

类型一、相反数的概念

1．（2016•益阳）的相反数是（ ）

A ．2016

B ．﹣2016

C ．

D ．

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．

【答案】C

【解析】解：∵﹣

与只有符号不同，

∴﹣的相反数是． 故选：C ．

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．

举一反三：

【变式】（2015•天水）若a 与1互为相反数，则|a+1|等于（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B

类型二、多重符号的化简

2．化简：

（1）﹣{+[﹣（+3）]}；

（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．

【答案与解析】

解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；

（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型三、绝对值的概念

3．求下列各数的绝对值．

112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭

【思路点拨】1

12，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字

就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】

方法1：因为112-到原点距离是112

个单位长度，所以111122-=． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．

因为132⎛

⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭． 方法2：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭

． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．

因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0

因为1302⎛

⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322

⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

类型四、比较大小