三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的四心在解析几何中的应用

∆的内心、外心、重心、垂心，在平面几何中有着广泛的应用，如果把∆的四心与解析几何有关

图形的性质有机地结合，可拓展应用的范围，使很多解析几何问题获得明快的解决．

一、内心

∆内切圆的圆心，就是∆的内心，也就是∆三条内角平分线的交点．

例1 （2010年河南六市）已知点P 是双曲线b a b

y a x ,(122

22=->)0右支上一点，21,F F 分别是双

曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212

1

F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=成立，则=双e （ ） A. 4 B.

25 C. 2 D. 3

5 分析 设内切圆半径为,r 则.||21

,||21,||2121212121r F F S r PF S r PF S F IF IPF IPF ⋅=⋅=⋅=∆∆∆

由已知易有，2,2|,|2

1

||||2121=∴=∴+=e c a F F PF PF 故选C

例2 （2008年哈尔滨九中）已知点M 是椭圆a b y a x (122

22=+>b >)0上一点，椭圆两焦点分别是

21,F F ，点I 是21F MF ∆的内心，连结MI ，并延长交线段21F F 于,N 则

=|

||

|IN MI ( ) A. 2

2

b

a a - B.

2

2

b

a b - C.

b b a 2

2- D. a

b a 2

2- 分析 点I 是21F MF ∆的内心，根据∆内角平分线的性质与椭圆的定义，有

.22||||||||||||||||||||2221212211b

a a

c a N F N F MF MF N F MF N F MF IN MI -==++=== 故选A

点评 例1和例2把内心的性质与双曲线、椭圆的定义及性质有机地结合，使∆的内心与已知

条件挂起钩来，使得问题顺利解决．

二、外心

∆外接圆的圆心，称为外心，就是∆三边在垂直平分线的交点。

例3 已知抛物线x y 42

=的通经为P AB ,是抛物线上非B A ,的动点，分别过B A ,作BP AP ,的垂线，它们相交于点M ，求点M 的轨迹方程．

分析 M B P A ,,,四点共圆，圆心C 就是PM 的中点，即APB ∆的外心，故点C 在线段AB 垂直平分线x 轴上，

设y y y x P y x M -=∴000),,(),,( ①

而11

2

1200-=--⋅--=

⋅x y x y k k MA PA 把①代入上式有11

4

20+--=

x y x ② 将①、②代入抛物线的方程有).4(4)4)(1(),11

4

(

4)(2222

-=--∴+--=-y y x x y y 又P 是抛物线上非B A ,的动点，知,042

≠-y 故点M 的轨迹方程为).2(5±≠=y x

点评 本例利用外心的定义及性质，使已知条件与外心挂起钩来，使得问题顺利解决． 三、重心

∆三边中线的交点，就是∆的重心，重心将每条中线都分成1:2两部分．

例4 （2010年广西梧州）21,F F 分别是双曲线b a b

y a x ,(122

22=->)0的左、右焦点，A 是它的右顶

点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为G P ,是21F PF ∆的重心，若,021=⋅→

→

F F GA 则=双e （ ）

A.

2 B.

3 C. 2 D. 1

分析 G 是21F PF ∆的重心，由,021=⋅→

→

F F GA 有3,3,3,//22=∴=∴=∴e a c OA OF PF GA

例5 （2009年武汉）已知ABC ∆内接于椭圆a b

y a x (122

22=+>b >)0，且ABC ∆的重心落在坐标

原点，则=∆ABC S

分析 椭圆a b

y a x (12222=+>b >)0是圆2

2121a y x =+经过变换：横坐标不变)(1x x =，纵坐标缩

短)(1y a

b

y =

得到的，在圆中MNK ∆是内接∆，且重心在原点，它一定是正∆，且边长为,4

33,32

a S a MNK =

∆经过变换后得到椭圆的内接ABC ∆且重心G 仍在原点， 由此得.4

3

34332ab a b a S ABC =⋅=

∆ 点评 本题利用坐标变换简捷地求出∆的面积，跳出运算繁琐的陷阱，这是一种新颖的方法．

四、垂心

∆三边高线的交点，就是∆的垂心．

例6 （2010年江西卷）设a b

y a x C (1:22221=+>b >)0,抛物线.:2

22b by x C =+

(I)若2C 经过1C 的两焦点，求1C 的离心率；

(II)设)4

5

,33(),,0(b Q b A ，又N M ,为1C 与2C 不在y 轴上的两交点，若AMN ∆的垂心为

),4

3

,0(b B 且QMN ∆的重心在2C 。求椭圆1C 与抛物线2C 的方程．

分析 (I)有抛物线2C 经过椭圆1C 的两焦点),0,(),0,(21c F c F -

可得.22

,21,2,222

2

2

2

2

2

=

∴=∴=+=∴=e a

c c c b a b c (II)由N M ,关于y 轴对称，可设11111)(,(),,(x y x N y x M ->)0，

则由AMN ∆的垂心为),43,0(b B 有0))(43(,0112

1=--+-∴=⋅→→b y b y x AN BM ①

由),(11y x N 在2C 上，有.2

12

1b by x =+ ②

由①、②有.4

1b y -=

再用重心条件，即求得.3

16,22

=

=a b 所以椭圆1C 的方程为14

1632

2=+y x ，抛物线2C 的方程为.422=+y x 点评 本题灵活运用重心和垂心，把几何条件代数化，顺利地解出椭圆和抛物线的方程．