数学建模案例分析2.双层玻璃的功效
初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析
第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。
需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。
双层玻璃功效问题
双层玻璃功效问题（模型建立）
【模型建立】
根据热传导定律，对于双层玻璃的情况，单位时间内通过单 位面积的热量：
Tb − T2 Ta − Tb T1 − Ta = k2 = k1 Q = k1 d L d
双层玻璃功效问题（模型求解）
由上面等式，消去Ta、Tb, 可得
k1 (T1 − T2 ) Q= , d ( s + 2)
Q 2 2 1 k L = = = (因为，s = 1 h = 16h ，h = ） Q' s + 2 16h + 2 8h + 1 k2 d
双层玻璃功效问题（模型求解）
如果假设玻璃的厚度d=1, 则h=L/d=L.
Q 1 1 = = Q ' 8h + 1 8 L + 1
故热量损失比为：
当0<L<6时，热量损失比
双层玻璃功效问题
【问题提出】使房子加热是日常预算中较为昂贵的部分。
如煤、煤气、电等用来加热的燃料成本近些年明显的增加。将 尽可能多的热量保持在居室内是非常重要的。据分析，热量的 损失主要是通过墙、窗、屋顶和地面发出去，将窗户安装成双 层玻璃是控制热量损失的有效方法之一（如图）。试建立一个 模型来描述热量通过窗户的流失过程，并将双层玻璃与用同样 多材料做成的单层玻璃的热量流失进行对比，对双层玻璃窗能 够减少多少热量损失给出定量分析结果。
k 2 = 2.5 × 10 −4 ~ 8 × 10 −4 (焦尔 / 厘米 ⋅ 秒 ⋅ 度）
而这空气是干燥的、不流通的. 作为模型假设的这个条件在实际 环境下是不可能完全满足的. 所以, 实际上双层窗户的功效要比 上述结果要差一些. 双层玻璃窗户出奇的保热功效是房屋设计和房屋装修的重要 参考依据.
最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效
精品文档双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失 .我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗 (如右图，玻璃厚度为2d )的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果 .一、模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2. 室内温度T 和室外温度T 保持不变，热传导过程已处于稳定1 2状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数 .二、 符号说明T ——室内温度 1T ——室外温度2 d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度T —— 内层玻璃的外侧温度aT ——外层玻璃的内侧温度bk ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的 物理规 律：厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ，与 T 成正比，与d 成反比，即T Q = kd(1)其中 k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 T ，外层玻璃的内侧温度为 T ，a b玻璃的热传导系数为 k 1 ，空气的热传导系数为 k 2 ，由(1)式单位时 间单位面积的热量传导(热量流失)为：Q = k 1T T 1ad = k 2 T T ab d = k 1 T T b 2d(2)由 Q = k 1 T T 1ad及 Q = k 1 T T b2d可得 T a T b = (T 1 T 2 ) 2Qdk 1再代入 Q = k就将(2)中 T a 、 T b 消去，变形可得：k 1 (T 1 T 2 ) k l d (s + 2) k 2 d(3)2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为 2d 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：Q, = k 1 1 23. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较(3) (4)有： Q = 2Q, s + 2(4) (5)显然， Q < Q, .为了获得更具体的结果，我们需要 k 1 , k 2 的数据，从有关资料可 知，不流通、干燥空气的热传导系数 k 2 = 2.5 104(J/cm.s .ºC)，常用玻璃的热传导系数 k 1 = 4 103 ~ 8 103 (J/cm.s.ºC)，于是k 1= 16 ~ 32 k 2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 k 1 = 16 ，由(3) (5)可得：2Q 1 =Q, 8h + 1k Q = , s = h1 , h = lh =(6)T Td2d精品文档4. 模型讨论比值Q Q,反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h = l d 有关，下图给出了Q Q, ~ h的曲线，当h由 0 增加时，Q Q,迅速下降，而当h超过一定值(比如h > 4)后Q Q,下降缓慢，可见h不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的 .通常，建筑规范要求h = l d 必 4 .按照这个模型，Q Q, 必 3%，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右.不难发现，之所以，而这有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k2要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下精品文档当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。
数学建模实例-双层玻璃的功效教学提纲
数学建模实例-双层玻璃的功效双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如下左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如下右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
一、模型假设1、热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2、室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3、 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
二、 符号说明1T ——室内温度2T ——室外温度d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度a T ——内层玻璃的外侧温度b T ——外层玻璃的内侧温度k ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dT k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数。
1、双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为： dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2）由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=- 再代入d T T k Q b a -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dl h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）2、单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3、 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较（3）（4）有：22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<。
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果摘要：中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
通过对问题一的数学模型进行分析后得到：一般情况下，建筑规范要求d l /≈4。
据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%； 双层玻璃的隔声优势为 ：lge ，根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。
游客节能低碳的交通出行工具安排：（1）长途参观者建议直接或间接购买碳信用额度；（2）对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式；（3）对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘（P+R ）方式；（4）对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用；（5）对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。
最后，我们计算了各种出行方式的二氧化碳的排放量后，据此代表上海世博会组委会给游客写了一份倡议书。
关键字：双层玻璃窗 隔热效果 隔音效果 碳足迹目录1、问题重述与分析 (3)1.1、问题重述 (4)1.2、问题分析 (4)2、条件假设 (4)3、符号说明 (4)4、模型的建立及求解 (5)4.1双层玻璃隔热效果探究 (5)4.1.1模型建立 (5)4.1.2、模型的应用 (8)4.2、双层玻璃隔音效果探究 (9)4.2.1、模型建立 (9)4.2.2结果讨论 (11)4.3绿色出行建议 (11)4.3.1碳排放与出行安排 (11)4.3.2倡议书 (15)参考文献 (16)1、问题重述与分析1.1问题重述中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
中国现在是工业排放量占大头，交通和建筑类排放较小。
随着生活水平的提高，建筑节能的比重将逐步上升，有很大发展潜力。
据研究报告称，相关交通工具所使用燃料释放的气体是目前造成全球变暖的主要原因之一。
为此请考虑以下几个问题：1、请用数学模型说明双层（中间有密封空气层）玻璃窗户对单层玻璃窗户的优势以及双层玻璃窗户的隔音效果如何？2、请你为参观上海世博会的各种游客分别设计节能低碳的交通出行工具安排，计算相应二氧化碳的排放量，并据此代表上海世博会组委会给游客一份倡议书。
双层玻璃窗的功效
数学模型 之 初等模型
双层玻璃窗的功效
2012-9-18
初等模型： 如果研究对象的机理比较简 单，一般用静态、线性、确定性 模型描述就能达到建模目的时， 我们基本上使用初等数学的方法 来构造和求解模型。 另外需要指出，衡量一个模 型的优劣全在于它的应用，而不 是采用了多么高深的数学方法。
问题归纳：两层厚度为d的玻璃夹着一层厚 度为l的空气。试描述热量通过窗户的传导过 程，并与厚度为2d的单层玻璃窗相比较。
模 型 构 成
热传导定律：设厚度为d的均匀介质， 两侧温度差为，则单位时间内从温 度高的一侧向温度低的一侧通过单位面 积的热量Q与 成正比，与d成反比， 即 T Q k , (1) d 其中k为热传导系数。
设 双 层 窗 内 层 玻 璃 外 侧 温 度 为 Ta ， 外 层玻璃内侧温度为Tb，玻璃的热传导 系数为k1，空气的热传导系数为k2。由 (1)，单位时间内通过单位面积的热量为
1 2
得：
Q Q
1 8h 1 ,
h
l d
.
(6)
Q
由图知，当h增加时， Q/ Q' 迅速下降， 而当h>4后，下降变 缓。所以h不宜过大。
Q
0.06 0.03 0应用：
通 常 建 筑 要 求 h = l / d 4 , 于 是 ， Q/ Q ' 3%。因此，双层玻璃窗比用同样多的 玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量97% 左右。当然，由于其他因素的存在，实际情况 没这么好。
1 1 2
(4)
Q
Q s 2
2
.
(5)
显然， Q Q .
由数据资料知道，常用玻璃的热传导系数 k1=410-3~ 810-3(焦耳/厘米· 度) ，干燥 秒· 不流通的空气的热传导系数k2=2.510-4(焦 耳/厘米· 度)。 秒· 所以，
数学模型 数学论文指导 双层玻璃的功效
l
知识引入 热传导原理：厚度为 d ，的均匀介质，两侧温
度差为 ∆T ，则单位时间由温度高的一侧向温 度低的一侧通过单位面积的热量为：∆T Leabharlann =k dk为热传导系数
模型的建立
由假设知： 由假设知：
T1 − Ta Ta − Tb Tb − T2 Q = k1 = k2 = k1 d l d
消去 T , T a b
−3
−3
k 2 = 2.5 × 10 −4
于是：
做保守的估计，取最小的16，得
k1 = 16 ~ 32 k2
Q 1 = Q1 8 ⋅ l + 1 d
可见
Q Q1 仅与
Q1
l 有关， d
Q 小，若取
则
l =4 d
l 越大， d
越
Q ≈ 3% Q1
模型评价：模型具有一定的实用性，但 是在实际中效果没有这么好。
模型假设 1、设室内温度为 室外温度为 ，内层玻璃外侧 T1 T2 的温度为 ，外层玻璃内测的温度为 Ta Tb 2、设双层玻璃在单位时间内通过单位面积的热量 为 Q 3、设窗户的密封效果很好，两层玻璃之间的空气 不流动。 4、室内、室外温度保持不变，热传导处于稳定状 态，即单位时间通过单位面积的热量是常数。玻璃 的热传导系数为常数 k1 空气的热传导系数为常 数 k2 5、设玻璃的厚度为 d 两层玻璃之间的间隔为
得
k 1 ( T1 − T 2 ) Q = k l d ( 1 + 2) k2d
对于厚度为 2d 的单层玻璃，其传导的热 量为： k (T − T 2 ) Q = 1 1
1
从而
Q 2 = k1l Q1 +2 k2d
2d
数学建模双层玻璃的功效模型评价
数学建模双层玻璃的功效模型评价
双层玻璃是一种常见的建筑材料，具有一些独特的功效。
本文将基于数学建模方法，对双层玻璃的功效进行评价。
首先，我们可以通过数学模型评估双层玻璃的保温性能。
双层玻璃的两层之间通常会填充一种叫做气体的绝热材料，如氩气或氪气。
这些气体具有较低的热传导性，可以减少室内与室外的热量传递。
我们可以利用传热学中的热传导理论，建立数学模型来计算双层玻璃的热传导系数。
通过对比单层玻璃和双层玻璃的热传导系数，我们可以评估双层玻璃在保温方面的功效。
其次，我们可以利用数学模型来研究双层玻璃的隔音效果。
双层玻璃通过夹层的气体和两层之间的距离，可以有效吸收声波的能量，减少声音的传播。
我们可以运用声学原理，建立声波传播的数学模型，计算双层玻璃的声学性能指标，如声传递系数和噪音减少量。
通过与单层玻璃进行对比，我们可以评估双层玻璃在隔音方面的功效。
此外，数学建模还可以应用于评估双层玻璃的安全性能。
双层玻璃的两层之间可以夹入一层薄膜，以增强玻璃的抗冲击能力和防护性能。
我们可以运用力学原理建立数学模型，评估双层玻璃在受力情况下的强度和稳定性。
通过计算双层玻璃的抗压强度和抗张强度，我们可以对其安全性能进行评价。
总之，数学建模是评价双层玻璃功效的有效工具。
通过建立合适的数学模型，我们可以准确评估双层玻璃在保温、隔音和安全性能方面的优势，为建筑设计和使用提供科学依据。
数学建模基础 12.10双层玻璃的功效
Q
k1
T1 T2
,
而
Q 2 , Q Q Q s 2
说明双层玻璃比单层玻璃保温,为得定量结果, 考虑的s的值,查资料有
常用玻璃:k1=410-3 ~ 810-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气:k2=2.510 - 4 (焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
问题:北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内
保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损 失的定量分析结果
模型准备:热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果:
厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与T成正 比,与d成反比,即:Q=k T/d
Ta
T1
T2
L
Tb
模型构成:
由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
Q
k1
T1
d
Ta
k2
Ta
Tb L
k1
Tb
d
T2
消去不方便测量的T1 ,T2,有
Q
k1
T1 T2 d(s 2)
,
s h k1 , h L k2 d
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层 玻璃,有热传导:
k为热传导系数.物理定律
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)
2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户 单位面积的热量是常数)
3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度, T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度, T2:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数
双层玻璃的功效
2d k2 L1 L2 Ln k1
验
由此可以发现，当 d 一定时，决定保温性能的其实是 L1 至 Ln 之和。也就是说，与
内 玻璃层数无关。玻璃厚一点（ d 大一些），间隙大一些（ L 大一些）即可。
容
由以上分析可知，当T1 20C ，T2 10C ， d 1cm ， L 2d 时，
容
二、模型假设
○1 室内的热量传播只有传导形式（不考虑对流、辐射）；
及
○2 室内温度与室外温度保持不变（即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数）；
○3 玻璃厚度均匀，玻璃材料均匀（即热传导系数是常数）。
数
三、符号说明
据
T1
处
T2
理
Ta
Tb
d
室内温度 室外温度 内层玻璃的外侧温度 外层玻璃的内侧温度 单层玻璃厚度
k2
Ta
Tb d
,
可得：
内
外
Q2
k1k2 (T1 T2 ) 2dk2 Lk1
.墙图 2 双层玻 Nhomakorabea示意图2
实验编号： 01
组别：10
设 s h k1 , h 1 ,
k2
d
则：
Q2
k1 (T1 d(S
T2 ) . 2)
所以 Q1 2 1, 显然双层玻璃减少了热量散失。 Q2 S 2
1
实验编号： 01
L k Q
两层玻璃之间的空气厚度 热传导系数
热量损失
组别：10
根据热传导物理定律，即厚度为 d 的均匀介质，两侧的温度差为 T T1 T2 ，则
单位时间内温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与 T 成正比，与成 d 反比，即：
最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效
精品文档双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如左图所示，据说这样做是为dl了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少d2热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定TT12状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.精品文档．精品文档二、符号说明——室内温度T1——室外温度T2——单层玻璃厚度d——两层玻璃之间的空气厚度l——内层玻璃的外侧温度T a——外层玻璃的内侧温度T b——热传导系数k ——热量损失Q三、模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高dT?的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为，与成正比，与Q T?成反比，即d?T（1）k?Q d其中为热传导系数. k 1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，TT ba玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时kk12间单位面积的热量传导（热量流失）为：T?TT?TT?T（2）ba1b2a k?k??Qk及可得由b12a kk?Q?Q2??(TT)?T?T112a1b kdd1 112dddT?TT?TQd精品文档．精品文档T?T就将（2）中再代入、消去，变形可得：ba k?QTT ba2d k)?Tk(Tl）（3 1211?, , s?hQ?h ??d2kds?2单层玻璃的热量流失2.的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：对于厚度为d2TT? 4）（?21kQ?1d2单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较3.2Q）（5 ）有：比较（3）（4??2?Qs.显然，?Q?Q的数据，从有关资料可为了获得更具体的结果，我们需要k,k21，常）.oC （J/cm.s知，不流通、干燥空气的热传导系数4?10?2k?.52（J/cm.s.用玻璃的热传导系数，于是C）o33??10k~?10?4?81k13216?~k2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们k，由（3）（5）可得：作最保守的估计，即取116?k2Q1l（6）?h??d1?h8Q精品文档．精品文档4. 模型讨论反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与比值?QQ迅的曲线，当有关，下图给出了由0增加时，??Q~QQh?ldhQ h不下降缓慢，可见速下降，而当超过一定值（比如）后?QQ4?hhh.宜选得过大四、模型的应用制作双层玻璃窗虽然工艺复杂这个模型具有一定的应用价值.通常，建筑会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.按照这个模型，，即双层玻璃窗比用同.规范要求?%??ld4?3Qh样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数，而这k2要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下精品文档．精品文档当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.精品文档．。
【数学建模实例】双层玻璃的功效
双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.二、 符号说明1T ——室内温度 2T ——室外温度 d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度 a T ——内层玻璃的外侧温度 b T ——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dTkQ ∆= （1） 其中k 为热传导系数. 1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=-再代入dT T k Q ba -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dlh k k h s s d T T k Q ==+-=, , 2)(21211 （3）2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有： 22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s .ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s .ºC ），于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621=k k ，由（3）（5）可得： dlh h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈=d l h .按照这个模型，%3≈'Q ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k ，而这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果摘要：中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
通过对问题一的数学模型进行分析后得到：一般情况下，建筑规范要求d l /≈4。
据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%； 双层玻璃的隔声优势为 ：lge ，根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。
游客节能低碳的交通出行工具安排：（1）长途参观者建议直接或间接购买碳信用额度；（2）对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式；（3）对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘（P+R ）方式；（4）对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用；（5）对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。
最后，我们计算了各种出行方式的二氧化碳的排放量后，据此代表上海世博会组委会给游客写了一份倡议书。
关键字：双层玻璃窗 隔热效果 隔音效果 碳足迹目录1、问题重述与分析 (3)1.1、问题重述 (4)1.2、问题分析 (4)2、条件假设 (4)3、符号说明 (4)4、模型的建立及求解 (5)4.1双层玻璃隔热效果探究 (5)4.1.1模型建立 (5)4.1.2、模型的应用 (8)4.2、双层玻璃隔音效果探究 (9)4.2.1、模型建立 (9)4.2.2结果讨论 (11)4.3绿色出行建议 (11)4.3.1碳排放与出行安排 (11)4.3.2倡议书 (15)参考文献 (16)1、问题重述与分析1.1问题重述中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
中国现在是工业排放量占大头，交通和建筑类排放较小。
随着生活水平的提高，建筑节能的比重将逐步上升，有很大发展潜力。
据研究报告称，相关交通工具所使用燃料释放的气体是目前造成全球变暖的主要原因之一。
为此请考虑以下几个问题：1、请用数学模型说明双层（中间有密封空气层）玻璃窗户对单层玻璃窗户的优势以及双层玻璃窗户的隔音效果如何？2、请你为参观上海世博会的各种游客分别设计节能低碳的交通出行工具安排，计算相应二氧化碳的排放量，并据此代表上海世博会组委会给游客一份倡议书。
数学建模双层玻璃窗
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果1、条件假设 (1)2、符号说明 (1)3.1双层玻璃隔热效果探究 (3)3.1.1模型建立 (5)3.1.2、模型的应用 (7)3.2、双层玻璃隔音效果探究 (7)3.2.1、模型建立 (8)3.2.2结果讨论 (9)参考文献 (10)1、条件假设双层玻璃隔热、隔音效果的探究中的假设：1.热量的传播过程只有传导，没有对流。
即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。
2.玻璃材料均匀，导热系数是一个常数。
3.室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态。
即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
2、符号说明I声强 d玻璃厚度 l双层玻璃中空气层厚度 T 温度温度差Q传导热量 k 热传导系数导热系数t传导时间 A导热面积 B 加权声玻璃窗户的整体隔声量,dB单层玻璃窗户封闭部分的隔声量,dB玻璃窗户上开口面积占整个玻璃面积的百分比M隔声材料单位面积的质量，Kg/错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
为介质的吸收系数声能的衰减3、模型的建立与求解3.1双层玻璃隔热效果的探究3.1.1模型建立图1 单层玻璃窗与双层玻璃窗在本文假设中，热传导过程应满足如下的物理定律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q 与T ∆成正比，与d 成反比，即：d T kQ ∆= （1）其中k =λtA ，为热传导系数。
λ为导热系数，t 为传导时间，A 为导热面积。
如图1，对于厚度为2d 的单层玻璃窗，设其内外层的温度分别为1T 、2T ，玻璃的热传导系数为1k ，传递的热量为1Q ，由（1）式可得单层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为：dT T k Q 22111-= （2） 如图1，对于双层玻璃窗，设其内层玻璃的外侧温度为3T ，外层玻璃的内侧温度为4T ，双层玻璃种空气层厚度为l ，空气的热传导系数为2k ，传递的热量为2Q ，则由（1）式可得双层玻璃窗单位时间单位面积的热量传导为：d T T k Q 3112-==l T T k 432-=d T T k 241- （3） 由（3）式可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-l T T k d T T k d T T k d T T k 432311241311 （4）由（4）式可解得：dk l k dT k T d k l k T 212212132)(+++=（5）将（5）式代入（3）式可得：d k l k T T k k Q 21212122)(+-=（6） 将（6）式比上（2）式可得：1121222121212<+=+=dk l k d k l k d k Q Q （7）即得12Q Q <。
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果.
数学建模-双层玻璃窗、隔热效果、隔音效果摘要：中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
通过对问题一的数学模型进行分析后得到：一般情况下，建筑规范要求d l /≈4。
据此模型可得12/Q Q ≈3.03%，即双层玻璃窗比同样多的玻璃材料制成的单层玻璃窗节约热量约为96.97%； 双层玻璃的隔声优势为 ：错误！未找到引用源。
lge ，根据以上推导的结果，当空气的吸收系数与两片玻璃的距离越大时，双层玻璃窗的隔音效果就越好。
游客节能低碳的交通出行工具安排：（1）长途参观者建议直接或间接购买碳信用额度；（2）对中短途参观者，建议优先选择火车、轮船和长途客车等公共交通方式；（3）对于长三角等周边地区自驾车出行的参观者，建议采用停车换乘（P+R ）方式；（4）对上海城区内的参观者，建议优先选择轨交、公共汽车等公共交通，减少私人汽车的使用；（5）对距世博园区较近的参观者，建议步行或自行车出行。
最后，我们计算了各种出行方式的二氧化碳的排放量后，据此代表上海世博会组委会给游客写了一份倡议书。
关键字：双层玻璃窗 隔热效果 隔音效果 碳足迹目录1、问题重述与分析 (3)1.1、问题重述 (4)1.2、问题分析 (4)2、条件假设 (4)3、符号说明 (4)4、模型的建立及求解 (5)4.1双层玻璃隔热效果探究 (5)4.1.1模型建立 (5)4.1.2、模型的应用 (8)4.2、双层玻璃隔音效果探究 (9)4.2.1、模型建立 (9)4.2.2结果讨论 (11)4.3绿色出行建议 (11)4.3.1碳排放与出行安排 (11)4.3.2倡议书 (15)参考文献 (16)1、问题重述与分析1.1问题重述中国仍处于工业化初期，节能减排具有较大空间。
中国现在是工业排放量占大头，交通和建筑类排放较小。
随着生活水平的提高，建筑节能的比重将逐步上升，有很大发展潜力。
据研究报告称，相关交通工具所使用燃料释放的气体是目前造成全球变暖的主要原因之一。
双层玻璃的功效
双层玻璃的功效问题：双层玻璃与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失。
概念图：平面化：设计原理：保持室温恒定不变，比较相同时间内通过双侧玻璃的热量Q1和通过单层玻璃的热量Q2。
前提：单层玻璃的厚度要与双层玻璃（不含中空层）厚度要一致。
假设：1.热量传播中只有传导没有对流。
2.T1，T2不变，热传导过程处于稳态。
3.材料均匀，热传导系数为常数。
说明：保持室温不变为T1，室外温度为T2，在物理学中，物体是有它的热传导系数的，及任何物体都有它的热阻，在上图中及热量通过玻璃，由于玻璃的热阻所消耗的能量。
由热传导定律 TQ kd∆=，由这个式子我们就可以列出在两种情况下损失的热量Q1 ,Q2 建模：Q :单位时间单位面积传导的热量T ∆：温度差，d ：材料厚度，K1：玻璃的热传导系数，K2：空气的热传导系数l ：中空层厚度计算1Q ：单位时间单位面积下通过的热量为Q1，那我们就知道单位时间单位面积，在第一层玻璃、中空层、第二层玻璃通过的热量都是Q1，而温度的损失正是因为热阻存在，在热量通过的热量一定时，热传导系数越大，温差变化就越小。
由 121121a a b b T T T T T TQ K K K d l d---=== 我们消去a T 及b T ，然后用1T 、2T 把1Q 表示出来。
（可以通过手算由第一个等式得出a T ，第三个式子得出b T ，然后把a T 及b T 代入第二个式子与1Q 相等，解出1Q ） 这里我们用Mathematic ，消去a T 及b T 解出1Q通过化简，我们得到这样的一个式子1211(2)T T Q K d s -=+其中12K s hK = ， l h d= 计算2Q ：12212T T Q K d-=为了方便比较，我们把1Q 2Q 作比值1222Q Q s =+ 由这个式子我们可以看出，只要s 大于0，那么1Q 一定是小于2Q 的 那么s 又与什么有关呢？ 我们可以轻松的看出来12K l s d K =⨯ 我们先不管l 与d 的比值，我们看12K K ，根据调查玻璃的导热系数1K 比2K 要大很多， 常用玻璃的热传导系数1K =34~810(/)J cm s k -⨯⋅⋅干燥空气的热传导系数2K =42.510(/)J cm s k -⨯⋅⋅ S=16~32我们取最小的16，代入比值12181Q Q h =+ l h d= 我们画出12181Q Q h =+函数的图像当双层玻璃的散热只有单层玻璃的3%时，及双层玻璃少散失的热量是97%，这个效果已经很好了这时我们计算出h 应该是多少也就是ld（空气层的宽度与单层玻璃层的厚度比值为4）=4，如果我们想进一步提升保温效果，还可以增加l 来增加保温效果。
【数学建模学习】双层玻璃的功效
双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.一、模型假设1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2.室内温度T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定1状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.二、 符号说明1T ——室内温度 2T ——室外温度 d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度 a T ——内层玻璃的外侧温度 b T ——外层玻璃的内侧温度 k ——热传导系数 Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即dTkQ ∆= （1） 其中k 为热传导系数. 1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为：dT T k d T T k d T T k Q b b a a 21211-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及dT T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=-再代入dT T k Q ba -=2就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()dlh k k h s s d T T k Q ==+-=, , 2)(21211 （3）2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： dT T k Q 2211-=' （4）3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较 比较（3）（4）有： 22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s .ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s .ºC ），于是32~1621=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取1621=k k ，由（3）（5）可得： dlh h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈=d l h .按照这个模型，%3≈'Q ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k ，而这要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。
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双层玻璃的功效
北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失.
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为d2）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果.
一、模型假设
1.热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能
很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；
2.室内温度
T和室外温度2T保持不变，热传导过程已处于稳定
1
状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常
数；
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数.
二、 符号说明
1T ——室内温度
2T ——室外温度
d ——单层玻璃厚度
l ——两层玻璃之间的空气厚度
a T ——内层玻璃的外侧温度
b T ——外层玻璃的内侧温度
k ——热传导系数
Q ——热量损失
三、 模型建立与求解
由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：
厚度为d 的均匀介质，两侧温度差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q ，与T ∆成正比，与d 成反比，即
d
T k Q ∆= （1） 其中k 为热传导系数.
1. 双层玻璃的热量流失
记双层窗内窗玻璃的外侧温度为a T ，外层玻璃的内侧温度为b T ，玻璃的热传导系数为1k ，空气的热传导系数为2k ，由（1）式单位时
间单位面积的热量传导（热量流失）为：
d T T k d T T k d T T k Q b b a a 21211
-=-=-= （2） 由d T T k Q a -=11及d
T T k Q b 21-=可得1212)(k Qd T T T T b a --=-
再代入d T T k Q b a -=2
就将（2）中a T 、b T 消去，变形可得： ()d
l h k k h s s d T T k Q ==+-= , , 2)(21211 （3）
2. 单层玻璃的热量流失
对于厚度为d 2的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为： d
T T k Q 2211-=' （4）
3. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较
比较（3）（4）有：
22+='s Q Q （5） 显然，Q Q '<.
为了获得更具体的结果，我们需要21,k k 的数据，从有关资料可
知，不流通、干燥空气的热传导系数42105.2-⨯=k （J/cm.s .ºC ），常用玻璃的热传导系数331108~104--⨯⨯=k （J/cm.s .ºC ），于是
32~162
1=k k 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取
1621=k k ，由（3）（5）可得：
d l h h Q Q =+=' 181 （6） 4. 模型讨论 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，下图给出了h Q Q ~'的曲线，当h 由0增加时，Q Q '迅速下降，而当h 超过一定值（比如4>h ）后Q Q '下降缓慢，可见h 不宜选得过大.
四、模型的应用
这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的.通常，建筑规范要求4≈=d l h .按照这个模型，%3≈'Q ，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97%左右.不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数2k ，而这
要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。