平行与垂直专题练习.doc
《平行与垂直》专题练习
一、选择题（每小题
（时间： 90 分钟
3 分，共 30 分）
满分： 100 分）
1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点 A ． PD
B ． PC
C ． PO
P 到直线 AB 的距离的是
D ． PE
(
)
2．仔细观察下列方格中的线段 AB ， CD ，其中不平行的是 ( )
3．下列说法中正确的个数是 ( )
①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离．
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ． 4
4．在同一平面内，如果直线 AB 与直线 CD 平行，直线 CD 与直线 EF 相交，那么直线 AB
与 EF 的位置关系是 ( )
A ．平行
B ．相交
C ．相交或平行
D ．不能确定
5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不 相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有 ()
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
6．如图， AB ⊥ CD ，垂足为 O ， EF 为过点 D 的一条直线，则∠ 1 与∠ 2 的关系一定成立的
是()
A ．相等
B ．互余
C ．互补
D ．互为对顶角
7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那
么它们之间的交点只能有
(
)
A ．0 个
B ．1
个
C ．2 个
D ．3
个
8．如图， P 为直线 a 外一点，点 A ，B ，C 为直线 PC ＝ 5 cm ．则点 P 到直线 a 的距离
(
)
A ． 2 cm
B ．3 cm
C ． 5 cm
a 上的三点，已知 PA ＝ 2 cm ，PB ＝3 cm ，
D ．不大于 2 cm
9．在如图所示的长方体中，和棱AB 平行的棱共有( )
A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条
10 ．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC， BD 相交于点 O，将△ AOD 平移至△ BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有( )
A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11 ．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个
数是 ______；两条直线重合，公共点有______个．
12 ．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有 _______条，分别是 _______．
13 ．如图， AC⊥ BC，CD⊥AB，图中线段 ______的长度表示点 C到 AB 的距离，线段 _______ 的长度表示点 A 到 BC 的距离，线段 BC的长度表示 ______ 的距离．
14 ．如图，直线 AB 与 CD平行，直线 EF 与 AB，CD 分别相交于点 G，H 请你用量角器量一量，然后判断∠ 1 与∠ 2 的关系是 ______ ，∠ 2 与∠ 3 的关系是 _______．
15 ．如图， BA⊥ AC， AD⊥ BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条．
16AB l CB l B A B C
不在同一条直线上，你认为有道理吗答：_______；请将你的理由
写出： _______．
17．已知直线 a 与 b 都经过 P 点，且直线a∥ c， b∥ c，那么 a 与 b
必 ______，这是因为 ______________．
18．如图，在平面内，两条直线l1， l2相交于点O，对于平面内任意一点
M ，若 p， q 分别是点M 到直线 l1， l2的距离，则称 (p ，q)为点 M 的“距离坐标” ，根据上
述规定，“距离坐标”是(2， 1)的点共有 ______个．
三、解答题（共46 分）
19．（ 6 分）如图，点D 在∠ BAC的内部，请根据下列要求完成画图并回答问题：
(1)过点D画直线DE
23．如图，可以分四种情况，故三条直线可以把平面分成4或6或7 个部分．
24．(1)①45° .② 45°． (2)∠ DOE＝∠ AOB．
直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳
直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳 考点一立体几何中的探索性问题 [典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧?CD所 在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC. (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． [解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM. 因为M为?CD上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 因为DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下： 连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP. 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD. [题组训练] 1.如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6. (2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下： 如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC . 因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ?平面MBN ， 所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝1 2， 从而NC ＝AC －AN ＝3 2， 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝1 3 . 2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG . (1)求证：PC ⊥BC ； (2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， 所以PD ⊥BC . 因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .
专题19立体几何中平行与垂直(解析版)
专题19立体几何中平行与垂直（解析版） 在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。 立体几何中平行与垂直的易错点 易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一 谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。 易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视 ",//,"a a b b αα??三个条件中的某一个。 易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一 谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大； 题组一：基本性质定理 1.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【解析】 如图所示，联结，.因为点为正方形 的中心，为正三角形，平面平 面，是线段的中点，所以平面 ，平面， 因为是中边上的中线，是中 边上的中线，直线，是相交直线，设，则， BE BD N ABCD ECD △ECD ⊥ABCD M ED BM ?BDE EN ?BDE BM BDE △DE EN BDE △BD BM EN DE a =2BD a =
空间几何——平行与垂直证明
c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?
平行与垂直的概念
《平行与垂直的概念》教学设计 教学内容：平行与垂直（人教版四年级上册56页） 教学目标： 1、知识与技能：初步认识并理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识平行线与垂线。 2、过程与方法：引导学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 3、情感态度与价值观：培养学生的空间观念及空间想象能力,引导学生具有合作探究的学习意识。 重点、难点与关键： 1、教学重点：平行与垂直的概念。 2、教学难点：理解“同一平面”的含义。 3、解决问题的关键：加强指导，培养空间能力。 教具准备：直尺、三角板，课件等。 学具准备：直尺、练习纸、每人三根小棒。 教学过程： 一、组织活动，引出问题： 1、揭示课题。 教师导入谈话： （1）简要说明学生已经学过的一些几何图形。 （2）宣布本节课的学习内容。 板书：平行与垂直。
2、学习动手操作。 教师：什么是平行？现在，请每一位同学自行在练习纸上画两条直线。（1）学生动手画两条直线，教师巡视。 （2）以4人为小组，让学生在小组说一说自己所画的两条直线的位置关系。 3、反馈结果。 教师：你们所画的两条直线的位置关系一样吗？ 学生：不一样。 教师：说一说怎么不一样？ 学生可能说不清，但是可以捉住两种说法： ①两条直线相交； ②两条直线不相交。 二、研究问题，揭示概念： 1、把学生的作品粘贴于黑板。 2、分类比较。 教师：现在，我们把这四幅作品进行分类，你说应该按什么样的标准进行分类呢？ 学生：看是否相交来分类。 教师按照学生的要求调整作品的位置。 讨论：下图中的两条直线是否相交？
讨论后，得出正确的位置，并调整。 3、揭示概念： 教师引导学生对相交和不相交的情况进行观察和讨论。 不相交： ①通过观察、想象，学生体会“永不相交”。 ②呈现平行线的概念。 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）相交： ①通过测量练习纸上相交的两条直线所组成的角的度数，发现垂线所夹角的特征。 ②呈现垂线的概念。 如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 三、课堂活动，应用知识： 1、ppt展示一些生活中见到的一些平行与垂直的现象。 2、找一找，是平行线的画“○”，是垂线的画“△”。
平行与垂直的综合应用
平行与垂直的综合应用 [基础要点] 指出每个箭头方向表示的定理： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ 题型一、平行关系的综合应用 例1、如图示，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点E 、F 分别是棱上11,CC BB 的点，点M 是线段AC 上的动点，EC=2FB=2 （1）当点M 在何位置时，MB ∥平面AFE （2）若MB ∥平面AFE ，判断MB 与EF 的位置关系，说明理由，并求MB 与EF 所成角的余弦值。 变式:如图示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 题型二、垂直关系的综合应用 例2、如图示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠ （1）求证：1C C BD ⊥ A B C 1 A 1 B 1 C E F N M B H C A D G F E D
（2）当 1 CD CC 的值为多少时，能使1 AC ⊥平面1C BD ?请给出证明 变式：平面α内有一个半圆，直径为AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影 （1）求证：NH ⊥SB （2）这个图形中有多少个线面垂直关系？ （3）这个图形中有多少个直角三角形？ （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？ 题型三、空间角的问题 例3、如图示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 11,1A B B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点，平面1 AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （1）异面直线AD 与1C G 所成的角的大小 （2）二面角11A C G A --的正弦值 变式：如图示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，SB ⊥面ABCD ，SB=AB ,设Q 为SD 的中点，M 为AB 的中点， （1）求证：MQ ∥平面SBC （2）求证：平面SDM ⊥平面SCD （3）求锐二面角S －M －C 的大小 题型四、探索性、开放型问题 例4、已知正方体中1111ABCD A BC D -，E 为棱1CC 上的动点， （1）求证：1A E ⊥BD (2) 当E 恰为棱1CC 的中点时，求证：平面1A BD ⊥平面 EBD （3）在棱1CC 上是否存在一个点E ，可以使二面角1A BD E --的大小为45 ？如果存在， C1 A1D B C B1 G F A E D1 A C D S Q A
平行与垂直专题练习
《平行与垂直》专题练习 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点P到直线AB的距离的是( ) A．PD B．PC C．PO D．PE 2．仔细观察下列方格中的线段AB，CD，其中不平行的是( ) 3．下列说法中正确的个数是( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A．1 B．2 C．3 D．4 4．在同一平面内，如果直线AB与直线CD平行，直线CD与直线EF相交，那么直线AB 与EF的位置关系是( ) A．平行B．相交C．相交或平行D．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 6．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点D的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( ) A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么它们之间的交点只能有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个 8．如图，P为直线a外一点，点A，B，C为直线a上的三点，已知PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝5 cm．则点P到直线a的距离( ) A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．不大于2 cm
9．在如图所示的长方体中，和棱AB平行的棱共有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条 10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中各线段所在的直线互相平行的有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．在同一平面内，两条相交直线公共点的个数是_______；两条平行直线的公共点的个数是______；两条直线重合，公共点有______个． 12．如图，根据图上的标注可以知道，直线EF的垂线有_______条，分别是_______． 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，图中线段______的长度表示点C到AB的距离，线段_______的长度表示点A到BC的距离，线段BC的长度表示______的距离． 14．如图，直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H请你用量角器量一量，然后判断∠1与∠2的关系是______，∠2与∠3的关系是_______． 15．如图，BA⊥AC，AD⊥BC，其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有___条． 16．某人画AB⊥l，CB⊥l，B为垂足如图情况，判断A，B，C三点 不在同一条直线上，你认为有道理吗答：_______；请将你的理由 写出：_______． 17．已知直线a与b都经过P点，且直线a∥c，b∥c，那么a与b 必______，这是因为______________． 18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点 M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”，根据上
第2讲 空间中的平行与垂直
第2讲空间中的平行与垂直 高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则() A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 解析连接BD，BE， ∵点N是正方形ABCD的中心， ∴点N在BD上，且BN＝DN， ∴BM，EN是△DBE的中线， ∴BM，EN必相交. 连接CM，设DE＝a，则EC＝DC＝a，MC＝3 2a，
∵平面ECD ⊥平面ABCD ，且BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面EDC ， 则BD ＝2a ，BE ＝ a 2＋a 2＝2a ， BM ＝ ? ?? ?? 32a 2 ＋a 2＝72a ， 又EN ＝ ? ????a 22 ＋? ?? ?? 32a 2 ＝a ， 故BM ≠EN . 答案 B 2.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________. 解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离. 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 所以PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°. 在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝ （3）2－12＝ 2. 答案 2 3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：
江苏省高考数学二轮复习专题空间平行与垂直
空间平行与垂直 1.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3. 解析：连结AC 交BD 于点O ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为1 3 S BB 1D 1D ·AO ＝6. 答案：6 2.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|P A |＋|PC 1|＝2的点P 的个数为________． 解析：点P 在以A ，C 1为焦点的椭圆上， 若P 在AB 上，设AP ＝x ， 有P A ＋PC 1＝x ＋(1－x )2＋(2)2＝2， 解得x ＝1 2 . 故AB 上有一点P (AB 的中点)满足条件． 同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件． 又若点P 在BB 1上， 则P A ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2>2. 故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P . 答案：6 3．在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________． 解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π. 答案：12π 4．(2012·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β； ③存在两条平行直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α. ④存在两条异面直线a ，b ，a ?α，b ?β，a ∥β，b ∥α. 其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)
空间几何平行与垂直证明
空间几何平行与垂直证明 线面平行 方法一：中点模型法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形， E 为PC 的中点. 求证：PA//平面BDE 练习： 1.三棱锥_P ABC 中，P A A B A C ==，120BAC ∠= ，P A ⊥平面A B C ， 点E 、F 分别为线段P C 、B C 的中点， （1）判断P B 与平面A E F 的位置关系并说明理由； （2）求直线P F 与平面P A C 所成角的正弦值。 P A B C D E C B
2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD .DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD . (1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：AC ⊥平面PBD . 3.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：AC//平面EFG. 4.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：EF //平面BGH. 方法二：平行四边形法 例：1.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点. 求证：OE //平面ADP A B C D E F G H A B C D E F G H P A B C D E O
2.正方体1111ABC D A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点. 求证：//E G 平面11BD D B 练习 1.如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形， M 为O A 的中点，N 为B C 的中点 证明：直线MN ‖平面O C D ； 2.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点. 求证：//A F 平面PC E 3．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； G E D 1 C 1 B 1 A 1A D C B O A M D C B N P B C D A E F D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
空间中的平行与垂直
空间中的平行与垂直(文/理) 热点一空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题； (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断． 例1(1)(·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 (2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是() A．若a∥b，b?α，则a∥α B．若a∥α，b?α，则a∥b C．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b 答案(1)D(2)D 解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交． (2)线面平行的判定定理中的条件要求a?α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D. 思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
平行与垂直
平行与垂直 一、游戏导入 （ppt 长方形线段正方形射线直线） 师：上课之前，我们先来玩个猜图游戏，你们想玩吗？ 生：想 师：游戏规则是这样的，老师在大屏上出示图形，由同学们来描述，一名同学来猜，谁愿意来猜第一个？ {最后补充完整，直线的所有特征，强调延伸性和直的} 二、深入画图感知 师：了解了直线的特征，请同学们闭上眼睛，这时你们的脑海中出现了一条直线，接着又出现了一条直线，那么你们脑海中的这两条直线是什么样子的呢？想完之后，请你们把脑海中的直线用手边的彩笔复制到我们提前准备好的白纸上。 开始吧。看看谁画的又好又快。 三、感受分类，达成共识 师：同学们的想象力实在是太丰富了，在这么短的时间里画出了这么多种情况，老师挑了几幅作品，大家一起来看一看。 师:这么多种情况，你们不觉得乱吗？ 生：乱 师：那我们能不能尝试去给这些情况，分分类？
生：能 师：好，请四人小组讨论，我们该如何分类，开始。 师：讨论完毕，迅速坐正。 师：哪个小组愿意派代表来说说你们想法？ 两类相交/不想交 1234/5 三类相交/快要相交/不想交 134/2/5 四类相交/快要相交/不想交/相交成直角 13/2/5/4 （纠正交叉，在数学上这种两条直线交叉所形成的位置关系叫做相交）师：这么多种分类方法，请同学们再次四人小组讨论，说一说你们更赞同哪一种呢？ （ppt 展示三种图形分类结果） 师：通过再次的讨论，那么对于第一次的分类结果，你们有什么想法？（2延长后会相交，直角也是相交） 师最后达成共识，把黑板上贴图区分开，再让孩子看一遍相交和不相交的情况 四、认识平行 （ppt 展示平行线） 师：我们先来看看五号图，这两条直线的位置关系是怎样的？ 生：不想交 师：想一想，如果把这两条直线延长，他们会相交吗？如果一直延长呢？
人教版数学高一-必修2学案 2.4平行与垂直综合问题
2．4平行与垂直综合问题 自测自评 1．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则(D) A．n⊥βB．n∥β或n?β C．n⊥αD．n∥α或n?α 解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.若m?β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n?α；同理m?β，仍有n∥α或n?α.综上所述，D正确．2．若三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，则α与β(A) A．垂直B．平行 C．相交D．以上三种可能都有 3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A) A．平行B．相交 C．垂直D．互为异面直线 4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)． ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
基础达标 1．已知平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，则正确的结论是(D) A．平面ABC必平行于α B．平面ABC必与α相交 C．平面ABC必不垂直于α D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 2．设直线l?平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B) A．1条B．2条 C．3条D．4条 解析：如图所示 与α成30° 角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC，AB都满足条件，故选B. 3.下列命题中，正确的是(C) A．经过不同的三点有且只有一个平面 B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
空间平行与垂直专题
空间平行与垂直专题 1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲 是乙成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点 答案：B a // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y 其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④ 解析：对于?』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于?』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此?不正确.综上所述，正确命題的序号是①③, 答案：A 3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（ ） A. API PB AP I PC 可以共面, 例如 EF// GH 故选B. 解析：若 2 .设m n 是不同的直线, 3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题: ①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a ④若 m// n , n? a ,贝U m//
B. API PB BC ^ PB C. 平面 BPQ_平面 APC BCL PC D. API 平面 PBC 解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B 4 ?设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题: 其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4 解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于?,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故?错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A 5?如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点, 解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平 面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面 MNQ 故选A. 答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中 ①若 m// n , ②若 m// a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a 中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（ . _________ B A AT-? M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体 A i M
16-17版 第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系
突破点11 空间中的平行与垂直关系 提炼1 异面直线的性质 (1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线． (2)异面直线所成角的范围是? ????0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直． (3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质 (1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法 (1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理． (2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质． (3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理． (4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．
回访1异面直线的性质 1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 1 3 A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1. ∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m. ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可证CD1∥n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为 3 2.] 2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是() A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．] 回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断 3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l
人教版四年级上册平行与垂直教案
” ” 仅供个人参考 For personal use only in study and research; not for commercial use 平行于垂直 教学设计 执教教师：王军伟 麦南中心小学 2015-10-27 平行与垂直 1、教学目标。 （1）帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两 种位置关系，初步认识垂线和平行线。 （2）引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。 （3）培养学生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。 重点：正确理解“同一平面、“相交、“互相平行、“互相垂直”等概念， 发展学生的空间想象能力。 难点：相交现象的正确理解（特别是看似不相交，而实际上是相
（ ” 交现象的理解。） 2、教学方法： ①引导学生采取“观察、想象、分类、比较、操作”等方式进行探 究性学习活动。 ②组织学生开展有意识的小组合作交流学习活动。 ③适时运用多媒体教学手段，充分发挥现代教学手段的优越性。 教学过程： 一、导入： 师：同学们，我们已经学习过了直线的相关知识，那谁能来告诉老师 直线都有哪些特征？ 生：没有端点，可以向两端无限延伸。 师：回答的真准确，谁还能再说说？ 生：没有端点，可以向两端无限延伸。 师：你说的也很棒，今天咱们一块儿再来学习一节与直线有关的知识 —平行与垂直。 二、学一学 学习目标： 1）初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两 种位置关系，初步认识垂线和平行线。 （2）通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象，培养学 生的观察能力、空间想象能力和抽象概括能力。 自学提示：自学课本 56、57 页内容，在重要的内容下面画上横 线。 1、重点看“互相平行”“互相垂直”的概念。试理解“同一平面”“不相 交“互相”的含义。 2、想一想，怎样判断同一平面内两条直线的位置关系是平行， 还是垂直？ 如有疑问可在小组内讨论。 师：早就听说咱们班的学生动手能力很强，老师想考验一下你们，敢 不敢接受挑战？ 生：敢。 师：好，从你们的回答声中，老师能听出来你们非常的自信。那就请
平行与垂直专题练习.doc
《平行与垂直》专题练习 一、选择题（每小题 （时间： 90 分钟 3 分，共 30 分） 满分： 100 分） 1．仔细观察下列图形，其中线段长度能表示点 A ． PD B ． PC C ． PO P 到直线 AB 的距离的是 D ． PE ( ) 2．仔细观察下列方格中的线段 AB ， CD ，其中不平行的是 ( ) 3．下列说法中正确的个数是 ( ) ①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间直线最短；⑤火车从南京到上海所行驶的路程就是南京到上海的距离． A ． 1 B ．2 C ． 3 D ． 4 4．在同一平面内，如果直线 AB 与直线 CD 平行，直线 CD 与直线 EF 相交，那么直线 AB 与 EF 的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交或平行 D ．不能确定 5．下列说法：①在同一平面内，不相交的线段；②在同一平面内，不相交的射线；③不 相交的直线；④在同一平面内，不相交的直线，其中可判定为平行线的有 () A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6．如图， AB ⊥ CD ，垂足为 O ， EF 为过点 D 的一条直线，则∠ 1 与∠ 2 的关系一定成立的 是() A ．相等 B ．互余 C ．互补 D ．互为对顶角 7．在同一平面内有三条互不重合的直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那 么它们之间的交点只能有 ( ) A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 8．如图， P 为直线 a 外一点，点 A ，B ，C 为直线 PC ＝ 5 cm ．则点 P 到直线 a 的距离 ( ) A ． 2 cm B ．3 cm C ． 5 cm a 上的三点，已知 PA ＝ 2 cm ，PB ＝3 cm ， D ．不大于 2 cm
(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 空间中的平行与垂直
空间中的平行与垂直 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假实行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体实行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ? ??? ? a ∥ b b ?αa ?α?a ∥α 线面平行的性质定理 ? ??? ?a ∥α a ?βα∩β＝ b ?a ∥b 线面垂直的判定定理 ? ??? ?a ?α，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b ? l ⊥α 线面垂直的性质定理 ? ????a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2． 面面垂直的判定定理 ? ????a ⊥αa ?β?α⊥β 面面垂直的性质定理 ? ??? ?α⊥β α∩β＝c a ?αa ⊥c ?a ⊥β
面面平行的判定定理 ? ????a ?βb ?β a ∩ b ＝O a ∥α， b ∥α? α∥β 面面平行的性质定理 ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题准确的是 ( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 (2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题准确的是 ( ) A ．若l ⊥m ，m ?α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 答案 (1)B (2)B 解析 (1)对于A ，直线l 1与l 3可能异面、相交；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B. (2)A 中直线l 可能在平面α内；C 与D 中直线l ，m 可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B 准确． 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理实行判断，必要时能够利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中． (1)(2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中准确的是 ( )
2021届高考数学考点与题型全归纳(文科)第八章 第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题
第六节直线、平面平行与垂直的综合问题 考点一立体几何中的探索性问题 [典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所 在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC. (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． [解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM. 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 因为DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下： 连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点． 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP. 又MC?平面PBD，OP?平面PBD， 所以MC∥平面PBD. [题组训练] 1.如图，三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC ＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM MC 的值． 解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3 2 . 由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高， 又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3 6. (2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下： 如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC . 因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ?平面MBN ， 所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝1 2， 从而NC ＝AC －AN ＝3 2， 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝1 3 . 2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG . (1)求证：PC ⊥BC ； (2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ， 所以PD ⊥BC . 因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .