动点问题最值

G

F

D A

B C

E

动点问题最值

最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、

FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ）

A ．32-

B ．13+

C ．2

D ．13-

提示：点M 在以AC 为直径的圆上

2．（2015?咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为

﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④

3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A

旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为

4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是

A

B

C

5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB

（2）若∠CPB=135°，求BD；

（3）∠PBC= 时，BD

∠PBC= 时，BD

分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，

且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°

BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，

此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°

6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，

，F为BE中点.

（1）求CF的长

（2）将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；

（3）△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的范围.

提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且

A B

A

A

C

C

A

G

D

A

M

G

D

A

7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列）则线段AC

提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。△BOP∽△

AE=在△ACE中，AE-CE≤AC≤AE+CE

8、如图，△ABC是等边三角形，边长为2，D是AC边上一动点，连接BD，⊙O为△ABD外接圆，过点A作

AE∥BC交⊙O于E，连接DE，BE.则△ADE

9、如图，正方形ABCD，AB=4，E为形外一点，且∠AED=900，连CE，F为CE的中点，求BF

连AC,取DC中点G，取AC中点H，则△FGH∽△EDA,又AD=4

∴

1

2

2

GH AD

==，∠GFH=∠DEA=90°，

∴点F在以GH为直径的圆上，∴BF1

+

二、定点到动点所在定直线的最小值，动点在一条直线上运动，其实质是点到直线的最小距离。

方法：

x

y M C A

P O B x y M C M 1M 2

A

P O B

G F D C G F

A

D C G A D C

E 1．在平面直角坐标系中，已知A (2，4)、P (1，0)，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，

使点C 在x

轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为__________

取特殊位置考虑：

当B 在原点时，5OA =OC=10，此时M （5,0） 当C 在原点时，B （0,5），此时M （0，

52），所以点M 在直线15

22

y x =-+上运动 △PM 1M ∽△21M OM ∴PM=

455

∵OM=AM ，∴点M 在OA 的垂直平分线上。

2、在平面直角坐标系中，A （-3,0），B （3,0），C （0，-33，E 为y 轴上一动点，以BE 为边向左侧作正△BEF ，则OF 的最小值为

提示：点F 在如图所示的直线AF 上运动。 那两个涂色的三角形始终是全等的 ∠FAO=30°∴332

23

OF =

=

3、如图，点D 在等边△ABC 的边BC 的延长线上，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且AF=BE ，连接EF ，以EF 为边构造等边△EFG ，连接DG ，若BD=2，则DG 的最小值是 3

考虑特殊位置：

当当E 与B 重合时，F 与A 重合，此时BG ∥AC ，当E 与C 重合时，F 与B 重合，FG ∥AC ，所有点G 在过点B 且与AC 平行的直线上，∴∠DBG=60°，当DG 垂直于过B 与AC 平行的直线

垂直时，DG 3