垂径定理

绩能教育学科教师辅导讲义

（4）若 = ，MN 为直径，则______，______，______

例2 已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且OP=4，则过点P 的所有弦中，弦长可能取的整数值为（ ）

A. 5，4，3

B. 10，9，8，7，6，5，4，3

C. 10，9，8，7，6

D. 12，11，10，9，8，7，6

巩固训练

1、已知,A 点的坐标为(-3,4),⊙A 经过原点,则⊙A 与x 轴的另一个交点坐标为（ ）

A. (-4,0)

B.(-5,0)

C.(-8,0)

D.(-6,0)

2、如图，⊙O 的直径AB ＝10，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，OE ：CE ＝3：4,则CD 的长为（ ）

A. 8

B. 6

C. 2

D. 91

•

•A

B

C

D

E O

（第2题图）

3、在图7中，半圆的直径AB=4cm ，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为____

例2 如图，已知⊙O 的半径长为R=5，弦AB 与弦CD 平行，他们之间距离为7，AB=6求弦CD 的长。

O

C

A

D

B

例3 直径为1Om的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是多少？

巩固训练

1、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM

2、如图，O是△ABC内的一点，∠BOC = 1280，⊙O截△ABC三边所得的三条弦相等

求：∠A的大小。

A

O

B C

3、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O 的半径的长。

O A

B

P

例4 已知：如图,在⊙O 中，OA 是半径，CD 是弦，OA 交CD 于点E ．现有四个条件: ①∠COA ＝∠AOD ＝60°；②AC ＝AD ＝OA ；③点E 分别是AO 、CD 的中点；④OA ⊥CD. （1）其中能推出四边形OCAD 是菱形的条件有__ ___（填写序号）； （2）选择（1）中你所写的一个条件，说明其结论的正确性。

例5 如图9，⊙O 中EF 过圆心O 且垂直于弦AD ，B 、C 两点在直线DE 上，且AD 平分∠BAC ，求证：DE 2=CE·BE 。

A

C

O

D

E

巩固训练

1、如图8，C 为的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE ⊥BC 于E ，若BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，求长

AB 的长。

2、已知：如图，⊙O 的直径AB 和CD 相交于点E 。已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=600

，求CD 的长。

O

D

B

C

A E

四、课后练习

1、已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，弦EF ⊥AB 于点D ，如果EF=8，AD=2，则⊙O 的半径是（ ）

A. 5

B. 52

C. 4

D. 174

•

O A B

P

E

F

2、如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB ＝10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A 、B 不重合），连结AP 、PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥BP 于F ，则EF 的长为（ ）

A. 5

B. 10

C. 2.5

D. 7.5

3、在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是（ ）

A ．7cm

B ．1cm

C ．5cm

D ．7cm 或1cm

4、A 是半径为5的⊙O 内一点且 OA=3，则过点A 且长小于8的弦有（ ）条 A ．O 条 B ．1条 C ．2条 D ．4条

5、P 为⊙ O 内一点，OP=3cm ，⊙ O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为____；•最长弦长为____

6、如图4，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，O 到AB 的距离等于1，则两个同心圆的半径之比为_____(大圆半径比小圆半径)

B

A C E

D

O

F

7、如图，OE⊥AB、OF⊥ CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

8、如图，AB是⊙O直径，CD是弦，AB∥CD，又AB=30cm，CD=24cm，求弦AC的长。

9、如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，D为OA中点，过D作弦BC∥MN，求证：四边形ABOC为菱形．

10、本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B 之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．

11、如图，⊙O 的弦AB 、CD 互相垂直于E ，AE=5cm ，BE=13cm ，O 到AB 的距离为102 cm 。求O 到CD 的距离，OE 的长及⊙O 的半径。

12、已知：如图6，圆O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求证：四边形CEDF 是菱形.

E

F

D B

A O

C