第4课时基本不等式

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微专题 2：换元法求最值
已知
x＞54，求函数
16x2－28x＋11 y＝ 4x－5 的最小值．
【思路】 通过换元转化为形如 Ax＋Bx＋C 形式的函数．
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【解析】 设 4x－5＝t，∵x＞54，∴t＞0. ∴y＝16（t＋4 5）2－t 28·t＋4 5＋11＝t2＋3tt＋1 ＝t＋1t ＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 t＝1 即 x＝32时，上式取“＝”号． ∴x＝32时，ymin＝5. 【答案】 5
当且仅当 x－8＝x1－68，即 x＝12(x＝4 舍去)，此时 y＝3，“＝” 成立 ，故 x＋2y 的最小 18.
【答案】 ①32 ②18
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(2)已知正数 x、y 满足 x＋2y＝4，则： ①xy 最大值为________． ②2x＋1y最小值为________．
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授人以渔
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题型一 利用基本不等式求最值(微专题)
微专题 1：拼凑法求最值 (1)在下列条件下，求 y＝4x－2＋4x1－5的最值． ①当 x<54时，求最大值； ②当 x>54时，求最小值； ③当 x≥2 时，求最小值．
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(2)( a＋1 ＋ b＋3 )2 ＝ a ＋ b ＋ 4 ＋ 2 a＋1 · b＋3 ≤ 9 ＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2 ＝ 9 ＋ a ＋ b ＋ 4 ＝ 18 ， 所 以
a＋1 ＋
b＋3≤3 2，当且仅当 a＋1＝b＋3 且 a＋b＝5，即 a＝72，b＝32时
答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1. ∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确． 而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
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3．设 x>0，y>0，且 x＋4y＝40，则 lgx＋lgy 的最大值是( )
A．40
B．10
【解析】 因为 0<x<25，所以 5x>0，2－5x>0，
则 f(x)＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)≤15[5x＋（22－5x）]2＝15，
当且仅当 5x＝2－5x，即 x＝15时，等号成立，此时 f(x)取得最
大值15.
【答案】
1 5
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★状元笔记 拼凑法求最值的技巧
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方法二：(消元法)由8x＋1y＝1，得 y＝x－x 8，由 y>0⇒x－x 8>0， 又 x>0⇒x>8，则 x＋2y＝x＋x2－x8＝x＋2（x－x－8）8 ＋16＝x＋2＋ x1－68＝(x－8)＋x1－68＋10≥2 （x－8）·x1－68＋10＝18，
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1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)函数y＝x＋1x的最小值是2. (2)函数f(x)＝cosx＋co4sx，x∈(0，π2 )的最小值等于4. (3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．
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C．4
D．2
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答案 D 解析 ∵x＋4y＝40，且 x>0，y>0， ∴x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”) ∴4 xy≤40.∴xy≤100. ∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2. ∴lgx＋lgy 的最大值为 2.
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思考题1 (1)设x>0，则函数y＝x＋2x2＋1－32的最小值为 ________．
(2)(2015·重庆，文)设a，b>0，a＋b＝5，则 a＋1 ＋ b＋3 的最大值为________．
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(3)(2017·人大附中模拟) （3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的
(2)错误，cosx不可能为2；
(3)错误，x<0，y<0不等式也成立；
(4)错误，2 a不是定值；
(5)错误，对于a2＋b2≥2ab只要a＝b即可，而对于
a＋b 2
≥
ab
需要a＝b>0才可以；
(6)正确，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三
式相加即可．
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29 45
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(2)若将例 2 中的条件变为 x≠54，求 y 的值域． 【解析】 设 4x－5＝t，则 t≠0. ∴y＝t＋1t ＋3. 当 t＞0 时，y≥2＋3＝5； 当 t＜0 时，y≤－2＋3＝1. ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[5，＋∞)
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 x·2y. ∴2 x·2y≤4，∴xy≤2.
②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4xy)≥14(4＋2 【答案】 ①2 ②2
xy·4xy)＝2.
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★状元笔记 常数代换法的技巧
(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、 商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值， 然后利用基本不等式求最值．
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第 课时 基本不等式
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课前自助餐
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基本不等式 a＋b
若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
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★状元笔记 本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值． 自己总结形如 y＝Ax2＋xBx＋C或 y＝Ax2＋xBx＋C的一类函 数的值域或最值的求法．
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值．
思考题 2 (1)若将例 2 中的条件变为 x≤45，求 y 的最大
最大值为( )
A．9
9 B.2
C．3
32 D. 2
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【解析】
(1)y
＝
x
＋
2 2x＋1
－
3 2
＝
(x
＋
1 2
)
＋
1 x＋12
－
2≥2
（x＋12）·x＋1 12－2＝0，
当且仅当 x＋12＝x＋1 12，即 x＝12时等号成立．
所以函数的最小值为 0.
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2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2
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等号成立．所以 a＋1＋ b＋3的最大值为 3 2.
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(3)因为－6≤a≤3，所以 3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式， 可知 （3－a）（a＋6）≤（3－a）＋2 （a＋6）＝92，当且仅当 a ＝－32时等号成立．
【答案】 (1)0 (2)3 2 (3)B
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【解析】 ①∵x<54，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋
1 4x－5
源自文库
＝－
5－4x＋5－14x
＋3≤－2＋3＝1.当
且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1.
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②∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时上式“＝”成立． 即 x＝32时，ymin＝5.
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微专题 3：常数代换法求最值 (1)已知正数 x，y 满足8x＋1y＝1，则 ①xy 的最小值为________； ②x＋2y 的最小值为________．
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【思路】 先利用乘常数、或消元法，再利用基本不等式求
解最值．
【解析】 设 4x－5＝t，则 x＝t＋4 5. ∵x≤45，∴t≤－95. ∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3.
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设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0.
∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．
∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
【答案】
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(3)若将例 2 中的条件变为 0＜x＜54时，求 y 的最大值． 【解析】 x∈(0，54)时，t∈(－5，0)． y＝t＋1t ＋3, y′＝1－t12. 令 y′＝0，得 t＝－1. t∈(－5，－1)时，y′＞0. t∈(－1，0)时，y′＜0. ∴t＝－1 时，ymax＝1. 【答案】 1
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴8x＋1y≥2
8 xy.
∴2 x8y≤1，∴xy≥32.
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②
方
法
一
：
x
＋
2y
＝
(
8 x
＋
1 y
)·(x
＋
2y)
＝
10
＋
x y
＋
16y x
≥
10
＋
2 xy·16xy＝18，
当且仅当8xxy＋＝1y16＝xy1，，即xy＝＝312，时“＝”成立，故 x＋2y 的 最小值是 18.
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③当 x≥2 时，y＝4x－2＋4x1－5为增函数， ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139. 【答案】 ①1 ②5 ③139
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(2)已知 0<x<25，则 f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．
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5．(课本习题改编)建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体 无盖水池，如果池底和池壁 1 m2 的造价分别为 120 元和 80 元， 那么水池表面积的最低造价为________元．
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答案 1 760 解析 设水池底面的长度、宽度分别为 a m，b m，则 ab＝4， 令水池表面的总造价为 y， 则 y＝ab×120＋2(2a＋2b)×80 ＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2 ab＝480＋320×4＝ 1 760，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”．
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4．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是( )
A．4
B．8
C．2 2
D．4 2
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答案 B 解析 ∵2x＋4y≥2 2x·22y＝2 2x＋2y＝2 24＝8，当且仅当 2x＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号， ∴2x＋4y 的最小值为 8.
(4)若a>0，则a3＋a12的最小值为2 a. (5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件． (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
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答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
解析 (1)错误，x<0时，y≤－2；
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常用不等式 (1)若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． (2)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|. (4)x＋1x≥2.
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利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)， 那么当x＝y时，x＋y有最小值2 p． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值S42．
(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①， “二定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时， 可利用函数单调性如例(1)③.
(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如 例(2)本例的关键是变形，凑出和为常数．