08矩阵论

2008年硕士生《矩阵论》试卷 任课教师 .

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一、填空题（共20分）

1. （4分） n 阶实对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。 n 阶实反对称矩阵的全体按通常的矩阵加法和数乘运算构成一线性空间， 其维数等于 ，其一组基为 。

2.（3分） 设A 是线性空间n V 到线性空间m V 的线性算子，则A 在不同基偶下对应的矩阵是 关系；B 为线性空间n V 上的线性变换，则B 在不同基下对应的矩阵是 关系；设n V 是欧氏空间，则两组不同基的度量矩阵是 关系。

3. （3分） 如果n 阶矩阵A 的特征多项式和最小多项式相同，则A 的Smith 标准形 为 。

4. （3分）设(1,,0,1)T X i =-，则1||||X = ，2||||X = ， ||||X ∞= 。

5. （4分）设122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，1||||A = ，||||A ∞= ，

()A ρ= ，2()cond A = 。

6. (3分) 设A=0.10.30.70.6⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则矩阵幂级数2k E A A A +++++ 是否绝对收敛？ 。若是，其级数的和是 。

二、是否题（每题2分，共10分）

1.所有n 阶实对称矩阵与反对称矩阵的全体构成线性空间。 ( )

2.线性变换A 是正交变换的充要条件是保持任意两个向量的夹角不变。 （ ）

3.设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A B λλ和（）

相抵的充分必要条件是它们有相同的初等因子。 ( )

4. 单位矩阵的算子范数是所有与向量范数||||x 相容的矩阵范数||||I 中值最小的一个。 （ ）

5.设矩阵序列{()k A }：2,,,,k I A A A ，则lim 0k k A →∞

=的充要条件为()1A ρ<。 三、计算题（共50分）

1. (10分) 在22R ⨯中, 求由基(I) : 11000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 20100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,30010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,40

00

1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

到基(II): 11100B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 20110B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 30011B ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 42001B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的过渡矩阵及

1234x x x x α⎛⎫

= ⎪⎝⎭

在基（II ）:1B , 2B , 3B , 4B 下的坐标.

2.（10分）在3R 中，设α=123向量（x ,x ,x ）,线性变换定义为

A 23123123()(22,23,23)x x x x x x x x α=---+---+。

求3R 中的一组基，使A 在该基下的矩阵为对角阵。

3. （10分）试分别用初等旋转变换（Givens 变换）和镜像变换（Household 变换）把向量(2,2,0,1)T α=变为与2(1,0,0,0)T e =同方向的向量。

4. （10分）设311121210A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

，○1求I A λ-的Smith 标准形，○2分别写出A 的不变

因子和初等因子及其Jordan 标准形。

5. （10分）设四阶矩阵A 的特征值为,,0,0ππ- ，试利用Hamilton-Cayley 定理计算A e 和cos A

四、证明题（共20分）

1. （5分）叙述并证明特征值上界定理。

2. （10分）设A 的某种算子范数满足||||1A <，I 为n 阶单位矩阵，则证明

（1）I A + 可逆，且 11||()||1||||I A A -+≤

-。 （2）1||()||1||||A I I A A --+≤

-。

3. （5分）设可逆方阵P ∈n n R ⨯，且知2p x Px =是n R 上的向量范数。若p A 表示n n R ⨯上从属于向量范数p x 的算子范数，试导出p A 与矩阵的2范数之间的关系式。