高二第一学期月考数学试题
高二数学第一学期月考数学试卷
第一学期高二年级第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题；每小题5分；共60分）1．若直线1=x 的倾斜角为α；则α （ ）A ．等于0B ．等于4πC ．等于2πD ．不存在2．与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称的直线方程是（ ）A ．0832=++y xB ．0732=++y xC ．01223=--y xD ．0223=+-y x3．两条直线022=--y x 与04=-+y x 的夹角的正弦值是（ ）A ．22B ．1010C ．10103D ．510 4．直线01=-+y x 被曲线062222=---+y x y x 所截得的线段的中点坐标是( )A ．)21,21(B ．（0；0）C ．)43,41(D ．)41,43( 5．点P(2；3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时；d 与a 的值依次为 （ ）A ．3；-3B ．5；1C ．5； 2D ．7；16．如图；设点C(1；0)；长为2的线段AB 在y 角 是 ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7．已知x ；y 满足约束条件 0,04242≥≥≤+≤+y x y x y x ；则y x z +=的最大值是 （ ）A ．34B ．38 C ．2 D ．4 8．F 1；F 2是定点；且|F 1F 2|=6；动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6；则M 点的轨迹方程是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段9．圆1622=+y x 上的点到直线03=--y x 的距离的最大值是--------------( )A ．223B ．2234-C ．2234+ D ．0 10．已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆；则m 的取值范围是( )A ．m<1B ．-1<m<1C ．m>1D ．0<m<111．当0≠a 时；方程022=-++ay ax y x 所表示的图形----------------( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线0=-y x 对称D ．关于直线0=+y x 对称12．曲线025)3(22=-+-+y x y x 所表示的图形是---------------------( )． D ．二、填空题（本大题共6小题；每小题4分；共24分）13．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4；且在不等式32<+y x 表示的平面区域内；则点P 的坐标是_______________.14．若实数x ；y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是 ．15. 圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 。
重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．直线:1l y +的倾斜角为（ ） A ．0︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒2．已知直线1:50l x y ++=，2:10l x y ++=，则1l 与2l 的距离为( )A ．1B ．2C D ．3．已知(1,0)A -、(3,6)B ，则以AB 为直径的圆的一般方程为（ ） A ．222630x y x y +--+= B ．222630x y x y +---= C ．222630x y x y ++-+=D ．222630x y x y ++--=4．已知直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +--=，若12l l ⊥，则实数a =（ ）A B C ．-1 D ．-2 5．已知动点P 在椭圆22:143y x C +=上，(0,1)F -，(3,3)D -，则D |P PF -的最小值为（ ）A ．5BC ．2D ．16．已知直线1:12l y x =+与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于A 、B ，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．127．已知点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且AB 的中点M 在圆22:(2)1C x y -+=上，则弦长AB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的焦距为2c ，若直线()380kx y k c -++=恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，则椭圆Γ的离心率范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知ABC V 的三个顶点(2,1)A -，(2,7)B -，(2,1)C -，则下列描述正确的有（ ） A ．直线BC 的倾斜角不存在 B ．直线AB 的斜率为-2C ．边AB 上的高所在直线的方程为240x y -+=D ．边AB 上的中线所在直线的方程为30x y -+=10．已知动点P 在直线:60l x y +-=上，动点Q 在圆22:(1)(1)4C x y -+-=上，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）A ．直线l 与圆C 相交B ．PQ 的最小值为2C ．四边形PACB 面积的最小值为4D ．存在P 点，使得120APB ︒∠=11．已知椭圆222:1(20)4x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，动点P 在椭圆C 上，则下列描述正确的有（ ）A ．若12PF F V 的周长为6，则b =B ．若当12π3F PF ∠=时，12PF F V b =C ．若存在P 点，使得12PF PF ⊥，则b ∈D ．若PB 的最大值为2b ，则b ∈三、填空题12．焦点在x 轴的椭圆C ，长轴长为10，离心率为35，则椭圆C 的标准方程为.13．经过点()0,0O 作直线l ，若直线l 与连接()1,1A -，()2,2B 两点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围为.14．已知点()0,1A ，()0,1B -，()0,2C -，动点P 满足：||||10+=PA PB ，且||2||PC PA ≥，则点P 的轨迹长度为.四、解答题15．已知点()2,1P -，直线:220l x y ++=. (1)求点P 到直线l 的距离；(2)求点P 关于直线l 的对称点Q 的坐标.16．已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程. 17．已知直线2y kx =+与椭圆2213x y +=相交于不同的两点,P Q . (1)求实数k 的取值范围；(2)若OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点，求实数k 的值.18．已知圆22:4x y Γ+=，点Q 在圆Γ上，过Q 作y 轴的垂线，垂足为Q '，动点P 满足23Q Q Q P ''=u u u u r u u u r ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率存在且不过()0,2B 的直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，BM 与BN 的斜率之积为209. ①证明：直线l 过定点； ②求BMN V 面积的最大值.19．如图1，已知圆心C 在x 轴的圆C 经过点(3,0)D 和(E .过原点且不与x 铀重合的直线l 与圆C 交于A 、B 两点（A 在x 轴上方）.(1)求圆C 的标准方程；(2)若ABD △l 的方程；(3)将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AOD )与y 轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如图2，求折叠后AB的范围.。
山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(含解析)
2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题考试时间：120分钟 试题满分：150分一、单选题（共8小题）1. (5分)已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则实数x 的值是( )A . 3 B . 4 C . 5 D . 62. (5分)已知直线l 的一方向向量为，则直线l 的倾斜角为( )A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°3. (5分)如图，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A . k 1<k 3<k 2 B . k 3<k 1<k 2C . k 1<k 2<k 3 D . k 3<k 2<k 14. (5分)如图，在三棱锥S -ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 满足＝，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝( )A . a ＋b ＋cB . a －b ＋cC . －a －b ＋cD . a －b ＋c5. (5分)若直线与平行，则的值为（ ）A . 0 B . 2 C . 3 D . 2或36. (5分)已知a >0，b >0，直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0，l 2：x ＋2by ＋1＝0，且l 1⊥l 2，则＋的最小值为( )A . 2B . 4C . 8D . 97. (5分)已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 始终没有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A . B . C . D . {k |k <2}8. (5分)若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则实数a 应满足的条件是( )A . a ＝1或a ＝－2B . a ≠±1C . a ≠1且a ≠－2D . a ≠±1且a ≠－2二、多选题（共4小题）9. (5分)已知空间三点A (1,0,3)，B (－1,1,4)，C (2，－1,3)．若 →AP ∥ →BC ，且||＝，则点P 的坐标为( )A . (4，－2,2)B . (－2,2,4)C . (－4,2，－2)D . (2，－2,4)10. (5分)已知直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A . 若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2 B . 若斜率k 1＝k 2，则l 1∥l 2C . 若倾斜角α1＝α2，则l 1∥l 2D . 若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α211. (5分)下列说法正确的是（）()1:240l a x ay -++=()2:2340l a x y -++=aA . 直线的倾斜角为B . 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C . 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D . 过两点的直线方程为12. (5分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，以D 为坐标原点，，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )A .B 1的坐标为(2,2,3) B .＝(－2,0,3)C . 平面A 1BC 1的一个法向量为(－3,3，－2)D . 二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为三、填空题（共4小题）13. (5分)点到直线的距离为______．14. (5分)已知|a |=13,|b |=19,|a +b |=24,则|a -b |=________.15. (5分)已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.16. (5分)已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.四、解答题（共6小题）17. (10分)如图，在空间四面体OABC 中，2＝，点E 为AD 的中点，设＝a ，＝b ，＝c ．(1)试用向量a ，b ，c 表示向量；(2)若OA ＝OC ＝3，OB ＝2，∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°，求·的值．18. (12分)已知直线l 经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l 的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积．19. (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方20x y --=π420x y --=()1,4030x y -+=()()001,4,x y 、004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1:230l x y ++=2:20l x my m -+=m =1l 2l形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．20.(12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．21.(12分)直线l经过两直线l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交点．(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．22.(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.数学参考答案1. 【答案】C【解析】因为a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，x ，－1)，所以a ·b ＝－3＋2x －5＝2，解得x ＝5.2. 【答案】B【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ＝，∴θ＝60°．故选B ．3. 【答案】A【解析】设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，即k 1<0，k 2>k 3>0.4. 【答案】B 【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a －b ＋c ．故选B ．5. 【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B .6. 【答案】C【解析】因为l 1⊥l 2，所以(a －1)×1＋1×2b ＝0，即a ＋2b ＝1，因为a >0，b >0，所以＋＝(a ＋2b )＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时等号成立，所以＋的最小值为8．故选C ．7. 【答案】A 【解析】∵k AP ＝＝2，k BP ＝＝，如图，12//l l ()()3220a a a ---=2a =3a =2a =1:20l y +=2:340l y +=12//l l 3a =1340:l x y ++=2:340l x y ++=2a=∵直线l 与线段AB 始终没有交点，∴斜率k 的取值范围是.8. 【答案】D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若l 1∥l 2，是由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1.②若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1.③若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1.当a ＝1时，l 1，l 2与l 3三线重合，当a ＝－1时，l 1，l 2平行．④若三条直线交于一点，由解得将l 2，l 3的交点(－a －1,1)的坐标代入l 1的方程，解得a ＝1(舍去)或＝－2.所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.9. 【答案】AB【解析】设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则＝(x －1，y ，z －3)，∴或解得或故点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．10. 【答案】BCD【解析】对于A ，若l 1∥l 2，且l 1与l 2的倾斜角均为，则直线l 1与l 2的斜率不存在，故A 错误；对于B ，若斜率k 1＝k 2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，则l 1∥l 2，故B 正确；对于C ，若倾斜角α1＝α2，且直线l 1与l 2为两条不重合的直线，由平行线的性质可得l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，若l 1∥l 2，由平行线的性质可得倾斜角α1＝α2，故D 正确．故选B 、C 、D ．11. 【答案】AB【解析】对于A ，直线的斜率为，其倾斜角为，A 正确；对于B ，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B 正确；20x y --=1k =π420x y --=,x y ()()2,0,0,2-12222S =⨯⨯=对于C ，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C 错误；对于D ，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D 错误.故选：AB .12. 【答案】ABD【解析】因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，所以A 1(2,0,3)，B (2,2,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A 、B 正确；设平面A 1BC 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，所以{m ∙→A 1B =0,m ∙→BC 1=0,即令x ＝－3，则y ＝－3，z ＝－2，即平面A 1BC 1的一个法向量为(－3，－3，－2)，故C 错误；由几何体易得平面A 1B 1C 1的一个法向量为n ＝(0,0,1)，由于cos 〈m ，n 〉＝＝＝－，结合图形可知二面角B -A 1C 1 -B 1的余弦值为，故D 正确．故选A 、B 、D ．13. 【答案】1【解析】点到直线的距离.故答案为：.14. 【答案】22【解析】|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=132+2a ·b +192=242,∴2a ·b =46,|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=530-46=484,故|a -b |=22.15. 【答案】【解析】因为直线与互相平行，所以，解得，则，()1,4()0,04y x =()1,404y x =001,4x y =≠004,1y x =≠004141y x y x --=--()1,2P 3460x y +-=1d 14-1:230l x y ++=2:20l x my m -+=2123m m -=≠4m =-2:220l x y +-=所以与之间的距离.故答案为：；.16. 【答案】0 0【解析】因为 →AB ＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， →AC ＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得 →AB ∥ →AC ，即λ―12＝－ 12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.17. 【答案】解 (1)∵2＝，∴＝＝(－)＝(c －b )，故＝＋＝b ＋(c －b )＝b ＋c ，∵点E 为AD 的中点，故＝(＋)＝a ＋b ＋c ．(2)由题意得a ·c ＝，a ·b ＝3，c ·b ＝3，＝c －a ，故·＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝－a 2＋c 2＋a ·c ＋b ·c －b ·a ＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．18. 【答案】解 (1)因为直线l 的两点式方程为＝，所以＝，即＝x －1.所以y －6＝－2x ＋2，即2x ＋y ＝8.所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1.(2)如图所示，1l 2ld4-直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ，且OA ⊥OB ，由 x 4+y8=1可知|OA |＝4，|OB |＝8，故S △AOB ＝×|OA |×|OB |＝×4×8＝16.故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.19. 【答案】(1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E (a ，a2，0)，P (0,0，a )，F(a 2，a 2，a2).∵ →EF · →DC ＝ (―a2，0，a2)·(0，a ，0)＝0，∴ →EF ⊥ →DC ，∴EF ⊥CD .(2)解 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则{n ∙→DF =0，n ∙→DE =0，即 {(x ，y ，z )∙(a2，a2，a2)=0，(x ，y ，z )∙(a ，a 2，0)=0，即{a 2(x ＋y ＋z )＝0，ax +a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2，1)是平面DEF 的一个法向量，∴cos 〈 →BD ，n 〉＝→BD ∙n|→BD |∙|n |＝a2a ∙6＝ 36.设DB 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈→BD，n〉|＝3.620.【答案】解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．【解析】【知识点】根据直线的一般式方程求斜率、截距、参数值及范围21.【答案】解 (1)直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为(－2,2)，设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，代入交点(－2,2)得m＝4，所以l的方程为3x＋y＋4＝0．(2)当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝－2，符合条件；当l斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，根据d＝＝5，解得k＝，所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0．综上所述，l的方程为12x－5y＋34＝0或x＝－2．22.【答案】(1)证明 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k).依题意得解得k>0.∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.。
高二数学上学期第一次月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
高二数学第一次月考试题
高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。
四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。
重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足()2i 34i z -=+（i 为虚数单位），则z 的值为（ ）A．1B C D ．2．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βD ．若l α∥，m α⊥，则l m ⊥3．“直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行”是“6a =”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知两个单位向量1e u r ，2e uu r 的夹角为120o ，则()()12212e e e e +⋅-=u r u u r u u r u r （ ）A ．32B ．3C ．52D ．55．圆222460x y mx my ++++=关于直线30mx y ++=对称，则实数m =（ ） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或36．直线:0l x 与圆22:(2)(1)2C x y ++-=交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为（ ） A ．120o B ．145oC ．165oD ．210o7．已知4tan23θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若ππcos cos 44m ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θθ，则实数m 的值为（ ） A ．13-B ．12-C ．13D ．128．已知圆22:(2)(1)5C x y -++=及直线()():2180l m x m y m ++---=，下列说法正确的是（ ）A ．圆C 被x 轴截得的弦长为2B ．直线l 过定点()3,2C ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为10x y +-=D ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为50x y --=二、多选题9．在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC ，CD 的中点，则（ ）A ．2AB AD EF -=u u u r u u u r u u u rB ．4AE AF ⋅=u u u r u u u rC ．()32AE AF AB AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u rD ．AE u u u r 在AD u u u r上的投影向量为12AE u u u r10．如图，直三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为4，D ，E ，F ，G 分别在棱1111,,A B AC AB ，AC 上，（不与端点重合）且11A D A E BF CG ===，H ，P 分别为BC ，1A H 中点，则（ ）A ．11//BC 平面PFGB ．过D ，F ，G 三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C ．M 在111A B C △内部（含边界），1π6A AM ∠=，则M 到棱11B C D ．若M ，N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为3 11．已知圆221:1C x y +=和圆222:()(2)4C x m y m -+-=，0m ≥．点Q 是圆2C 上的动点，过点Q 作圆1C 的两条切线，切点分别为G ，H ，则下列说法正确的是（ ）A ．当m ⎡∈⎢⎣⎭时，圆1C 和圆2C 没有公切线 B ．当圆1C 和圆2C 有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C ．圆1C 与x 轴交于M ，N ，若圆2C 上存在点P ，使得π2MPN >∠，则m ∈⎝⎭D ．圆1C 和2C 外离时，若存在点Q ，使四边形1QGC H 面积为m ∈⎝三、填空题12．将函数πcos 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π 02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则 φ=．13．已知点()3,0P 在直线l 上，且点P 恰好是直线l 夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间线段的一个三等分点，则直线l 的方程为．（写出一条即可）14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O （如图）的东偏南1cos 7θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向350km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北60o 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km ，并以10km/h 的速度不断增大，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，2π3C =，D 为AB 边上一点．(1)若D 为AB 的中点，且CD =c ；(2)若CD 平分ACB ∠，且ABC V 的面积为CD 的长．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，6CA =，E 为棱AC 的中点，P 为BC 边上靠近B 的三等分点，且11PB BC ⊥．(1)证明：1//CB 平面1EBA ；(2)求平面11ABB A 与平面1BEC 夹角的余弦值．17．圆心为C 的圆经过A 0,3 ，B 2,1 两点，且圆心C 在直线:320l x y -=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点()1,2M 作圆C 的相互重直的两条弦DF ，EG ，求四边形DEFG 的面积的最大值与最小值．18．如图、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，O 为AB 的中点，AC BC ⊥，1OC =，4PA =．(1)证明：面ACP ⊥面BCP ；(2)若点A 到面BCP 的距离为43，证明：OC AB ⊥；(3)求OP 与面PBC 所成角的正弦值的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222120x y x +---=，1M ，2M 是圆C 上的动点，且12M M =12M M 的中点为M ． (1)求点M 的轨迹方程；(2)设点A 是直线0l y -+=上的动点，AP ，AQ 是M 的轨迹的两条切线，P ，Q 为切点，求四边形APCQ 面积的最小值；(3)若垂直于y 轴的直线1l 过点C 且与M 的轨迹交于点D ，E ，点N 为直线3x =-上的动点，直线ND ，NE 与M 的轨迹的另一个交点分别为F ，(G FG 与DE 不重合），求证：直线FG 过定点．。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
山西大学附属中学校2024年高二10月月考数学试题及答案
山西大学附属中学2024～2025学年第一学期高二10月月考（总第二次）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若直线2:tan 5l x π=的倾斜角为α，则α=（ ）A ．0B ．25πC ．2πD ．不存在 2．已知向量(),2,1a x =− ，()2,4,2b =− ，若a b，则（ ） A ．1−B ．1C ．5−D ．53．已知直线1:2l y x a =−+与直线()22:22l y a x =−+，则“1a =−”是“12l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且13EH EF =，记OH xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 等于（ ）A ．111,,326B ．111,,263C ．111,,362D ．111,,2365．如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，2AB SO ==，D ，E 分别为SO ，SB 的中点，点C 是底面圆周上一点（不同于A ，B ）且OC AB ⊥，则直线AD 与直线CE 所成角的余弦值为（ ）ABCD ．126．已知直线l 过点()2,3,1A ，且()1,1,1a =为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ）ABCD7．已知两点()1,5A −，()0,0B ，若直线:22l y kx k =−+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为（ ） A ．(][),11,−∞−+∞ B ．(][],10,1−∞− C ．[][)1,01,−+∞D ．[]1,1−8．已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l ，2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =，21:2l y x =−是一组“1O −共轭线对”，其中O 是坐标原点．已知1l ，2l 是一组“3O −共轭线对”，则1l ，2l 的夹角的最小值为（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．12π二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法中不正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线过点()1,2，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点()3,4C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x −−=−− D ．直线2y kx =−在在y 轴上的截距为210．在空间直角坐标系Oxyz 中，点()0,0,0O ，()2,1,1A −−，()3,4,5B ，下列结论正确的有（ ） A．AB =B ．向量OA 与OB的夹角的余弦值为C ．点A 关于z 轴的对称点坐标为()2,1,1−−−D ．向量OA 在OB 上的投影向量为110OB −11．如图，在三棱锥P ABC −中，AB BC ==BA BC ⊥，2PAPB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥P ABC −1+B ．若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与ABC ．若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C −−D ．PM MA +的取值范围为4三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知点P 在平面ABC 上，点O 是空间内任意一点，且()1322OP OA mOB OC m R =++∈，则m 的值为_______________．13．直线的一个方向向量为()1,3v=−，且经过点()0,2，则直线的一般式方程为_______________.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C内一动点（含边界），若1D Q =且1D Q 与平面1A PD 所成的角最大时，线段1AQ 的长度为_______________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知ABC △的顶点坐标分别是()1,5A −，()2,1B −−，()4,3C ，M 为BC 边的中点． （1）求BC 边上的中线AM 的一般式方程； （2）求经过点C 且与直线AB 垂直的直线方程． 16．（本小题满分15分）已知()2,1,2a =−，()4,2,b x =− ，且a b ⊥．（1）求a b +；（2）求a 与a b +夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）已知直线():120l kx y kk −++=∈R （1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设AOB △的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 18．（本小题满分17分）已知在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，点E ，F ，M ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ． （1）求证：EF PA ⊥；（2）求点B 到平面EFM 的距离；（3）在线段PA 上是否存在点N ，使得直线MN 与平面EFM PN 的长度；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）已知Ω的正四面体ABCD ，设Ω的四个顶点到平面α的距离所构成的集合为M ，若M 中元素的个数为k ，则称α为Ω的k 阶等距平面，M 为Ω的k 阶等距集．（1）若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{}a ，求a 的所有可能值以及相应的α的个数；（2）已知β为Ω的4阶等距平面，且点A 与点B ，C ，D 分别位于β的两侧．是否存在β，使Ω的4阶等距集为{},2,3,4b b b b ，其中点A 到β的距离为b ？若存在，求平面BCD 与β夹角的余弦值；若不存在，说明理由．山西大学附中2024～2025学年第一学期高一（10月）月考（总第一次）数学评分细则一．选择题：1234567891011A DBAABCDABCBDABD三．填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
高二上册数学月考试卷
高二上册数学月考试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A. 一个骰子掷一次得到2的概率是1/6，则掷6次一定会出现一次2B. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元C. 随机事件发生的概率是随着试验次数的增加而改变的D. 随机事件发生的概率与试验次数无关答案：D2.在棱长均等的正三棱柱ABC-A'B'C'中，直线AB与A'C'所成角的余弦值为（）A. -√3/2B. √3/3C. -√2/2D. √2/2答案：（此处需要具体计算，但选项未直接给出，需通过空间向量或几何法求解）3.已知直线l经过点P(4,1)，且与直线2x-y-3=0垂直，则直线l的方程是（）A. x+2y-8=0B. x+2y+8=0C. 2x-y-4=0D. 2x-y+4=0答案：A4.在四面体ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在AB上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于（）A. -(1/2)a-(1/2)b+(1/2)cB. (1/2)a+(1/2)b+(1/2)cC. -(1/2)a-(1/2)b-(1/2)cD. -(1/2)a+(1/2)b-(1/2)c答案：B（通过向量运算求解）5-8. （其他选择题，题目和选项略）二、填空题（每小题5分，共20分）9.已知直线l的方程为x-3y-2=0，则直线l的倾斜角为______。
答案：30°（通过斜率求解）10.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则AB的中点坐标为______。
答案：(5/2, 7/2, 9/2)（通过中点公式求解）11-12. （其他填空题，题目和答案略）三、解答题（共40分）13.已知向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2-x,2-y)，且a⊥b，a⊥c。
（1）求x+y的值；（2）求向量a+b与2a-c的夹角。
高二数学第一次月考试题
开始 i =1 s =0i =i +1s =s+i i ≤5? 输出s 结束① ② a是否 7 9 8 4 4 4 6 7 9 3 高二数学第一次月考试题一、选择题：1. 高二年级有14个班，每个班的同学从1到50排学号，为了交流学习经验,要求每班学号为14的同学留下来进行交流，这里运用的是( ） A ．分层抽样 B ．抽签抽样 C ．随机抽样 D ．系统抽样 2. 五进制数(5)444转化为八进制数是( ）A 。
(8)194B.(8)233 C 。
(8)471D.(8)1743. 计算机执行下面的程序，输出的结果是（ ）a =1b =3 a =a +bb =b a PRINT a ，b ENDA 、1，3B 、4，9C 、4，12D 、4，8 4. 甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是 ( ）A 。
31B 。
41C 。
21 D 。
无法确定 5. 如下四个游戏盘,现在投镖，投中阴影部分概率最大的是 ( )6. 下图是2008年我校举办“激扬青春，勇担责任"演讲比赛大赛上， 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为 （ ）A.85;87 B 。
84； 86 C 。
84;85 D.85;867. 如左图的程序框图(未完成）.设当箭头a 指向①时，输出的结果 s =m ，当箭头a 指向②时,输出的结果s =n ,则m +n = （ )A 。
30 B.20 C 。
15 D 。
5 8. 10个正数的平方和是370,方差是33，那么平均数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 读程序甲：INPUT i ＝1 乙：INPUT i ＝1000 S ＝0 S ＝0 WHILE i ＜＝1000 DOS ＝S ＋i S ＝S ＋i i ＝i ＋l i ＝i 一1 WEND LOOP UNTIL i ＜1 PRINT S PRINT SEND END对甲乙两程序和输出结果判断正确的是（ ）A ．程序不同，结果不同B ．程序不同,结果相同C ．程序相同,结果不同D ．程序相同，结果相同10. 已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ）A 。
福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考（高二数学）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，，则（ ）A.9B.12C.15D.182.已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）A.1或 B.1C.2或D.23.已知数列的前项和，，则（ ）A.20B.17C.18D.194.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ）A.60B.55C.50D.115.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺A.B.C.D.6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）A.2B.4C.8D.167.在数列中，若，，则（ ）A. B.1C.D.2.8.高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）A.2023B.4046C.2022D.4044二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.{}n a 53a =96a =13a ={}n a 12a =53a a =10a 1-2-{}n a 221n S n =+*n ∈N 5a ={}n a n S n 65a =11S 47162981545{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b ={}n a 11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-10a =1-12123100++++ 1100101+=299101+=5051101+=501015050⨯=n {}n a 120231a a =24()1f x x=+()()()122023f a f a f a +++=9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（）A.的通项公式为B.等差数列的前项和为C.等比数列的公比为D.10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）图（1）图（2）A. B. C. D.11.已知数列满足，，则（ ）A. B.数列是等差数列C. D.数列的前99项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，则___________.13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，（1）求的通项公式；{}n a 32a =392S ={}n b 11b a =415b a ={}n b n n T {}n a 24n a n =-{}n a n 234n n nS +={}n b 1221n n T =-⋯{}n a {}n b 515a =520b =101045b a =+(1)2n n n a +={}n a 12a =1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++216a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10102400a =2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2516{}n a 1359a a a ++=24a a +={}n a 4780a a -=1a 21a +3a 5a ={}n a 211n n n na a k a a ++++=k {}n a k {}n a 11a =22a =2202a ={}n a 2d =5a 6a 9a {}n a（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.（I ）求；（II ）若数列，求数列的前项和.18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大正整数.19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.{}n a n n S n S n {}n a 12a =324a a =+{}n a {}n b {}n n a b +n n S n S {}n a n 132a a +=-()*1575N S n =∈9S ()()1144n n n b a a +=++{}n b n n T {}n a 127a =()*1231n n n a a n a +=∈+N 13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1231111100na a a a +++⋯+<n {}n a n n S ()*12N 2n n S a n =-∈{}n b 11b =120n n b b +-+={}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T 0λ>n 222nnb k a λλ-+>k柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考（高二数学）参考答案1. A在等差数列中，，，所以，所以，2.C设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3.C因为数列的前项和，，所以.4.B因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：B.5.D设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.故选：D 6.D等差数列中，，故原式等价于解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.故选：D.7.A解：因为，，所以，，{}n a 53a =96a =95132a a a =+139522639a a a =-=⨯-={}n a q 12a =53a a =21q =1q =±91012a a q ==±{}n a 221n S n =+*N n ∈()()2255425124118a S S =-=⨯+-⨯+={}n a n S n 65a =()1111161111552a a S a +===d 2020192042322S d ⨯=⨯+=45d =45{}n a 31172a a a +=27740a a -=70a =74a ={}n a 774a b =={}n b 268716b b b ==11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-2111111(1)2a a ===---321121112a a ===--，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.8.B解：选B 根据等比数列的下标性质由，函数，，令，则，，.9.AC【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，，所以，故A 错误；，故B 正确；设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C 错误；，故D 正确.故选：AC.10.ACD【详解】依题意，，，AD 正确；，，B 错误；，，C 正确.故选：ACD 11.ACD解：A 选项，中得，，故，A 正确；413111112a a a ===-=--52411111(1)2a a a ====---{}n a 1033111a a a ⨯+===-12023202411n n a a a a -⋅=⇒⋅= 24()1f x x =+222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫∴+=+== ⎪++⎝⎭+()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a ∴=++++++=⨯ 4046T ∴={}n a d 32a =392S =122a d +=9332a d +=11a =12d =1n 11(1)22n a n +=+-=211n 3n(1)224n S n n n +=+-⨯={}n b q 111b a ==4158b a ==38q =2q =n122112n n T -==--(1)12342n n n a n +=+++++=55(51)152a +==2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== 525b =1010(101)552a +==1010100554545b a ==+=+1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++1n =21223212a a -=⨯⨯=216a =B 选项，变形得到，故数列不是等差数列，B 错误；C 选项，，……，，上面个式子相加得，设①，则②，式子①－②得，则，故，所以，故，C 正确；D 选项，由C 选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，的前99项和为，D 正确.12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.13.【解答】解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，由，，成等差数列，可得，即为，解得，所以，故答案为：32.11(1)2(2)2(1)(2)1n n n n n n na n a a an n n n n n++-+=⇒-=+⋅+++n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2321232,422132a a a a -=⨯-=⨯11(1)21n n n a a n n n ---=+⋅-(1)n -2113242(1)21n n a a n n --=⨯+⨯+++⋅ 213242(1)2n n T n -=⨯+⨯+++⋅ 2323242(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ 231426222(1)26(1)22212nn nn n n T n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 22n n T n =⋅-222n na n n-=⋅-22n n a n =⋅210101021001024102400a =⋅=⨯=22nn a n =122(1)2n n a n a n ++=2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()1002512991001004252222222221612-+++==-<==- {}n a 313539a a a a =++=33a =24326a a a +=={}n a q 4780a a -=3748a q a ==2q =1a 21a +3a ()21321a a a +=+()1122141aa a a +=+12a =5232as ==14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.【解答】解：令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.15.【答案】（1）（2）最小值为，.【小问1详解】由知为等差数列，设的公差为，则，，，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：（1）设为等比数列的公比，则由，得，1n n na b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=2n n b b +=1b 2b n b 2020a n 1nn a b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=20n n b b +-=2n n b b +=2112a b a == 2131b b ∴=-=*1*1,2,N 2,21,Nn n n a n k k b a n k k +⎧=∈∴==⎨=-∈⎩101032019202022020112201820191212122a a a a a a a a a a ∴=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=1010229n a n =-16-4n =12n n a a +-={}n a {}n a d 2d =5a 6a 9a 2659a a a =()()()211110816a a a +=++17a =-2d ={}n a 29n a n =-22(729)8(4)162n n n S n n n -+-==-=--4n =n S 16-q {}n a q q {}n a 12(1)21n b n n =+-=-n q {}n a 12a =324a a =+2224q q =+即，解得或（舍去），因此，的通项为；（2）由已知可得，，，【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.17.【解答】解：（I ）设等差数列的公差为，则由，，得，解得.；（II ）由（I ）知，，，.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题.18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.（1）解：，，，，又，，220q q --=2q =1q =-2q ={}n a ∴n 1n 222n a -=⨯=12(1)21n b n n =+-=-2(21)n n n a b n ∴+=+-()12212(1)222122n n n n n S n n +-+∴=+⨯-=+--n {}n a d 132a a +=-1575S =112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩121a d =-⎧⎨=⎩9989(2)1182S ⨯∴=⨯-+⨯=21(1)3n a n n =-+⨯-=-()()1111144(1)(2)12n n n b a a n n n n +∴===-++++++123111111112334122224n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111332n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1231111na a a a +++⋯+1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x (33)0f <(34)0f >1231n n n a a a +=+ 13112n n na a a ++∴=111322n n a a +∴=+1111332n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭127a =1171322a ∴=-=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，，，若，则，，令，所以在上单调递增，且，，所以满足条件的最大正整数.19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，当时，解得.当时，②，①－②得，整理得，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以.数列满足，点在直线上.所以（常数），所以.（2），所以①，②，①－②得，整理得.∴13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212111113222n n n a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132nn a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111100n a a a a ++++< 1131002nn ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭13992nn ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x R 331(33)999902f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭341(34)1029902f ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭33n ={}n a n ()*1,22n n n S S a n =-∈N 1n =112a =2n ≥11122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12n n a a -={}n a 1222n n a -={}n b 11b =()1,n n P b b +20x y -+=12n n b b +-=21n b n =-2(21)2n n n n c a b n -==-⋅21113252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅- 1211232(21)n n T n -=⨯+⨯++⋅- ()2211212222(21)2n n n T n ---=+++++-- 13(23)22n n T n -=+-⋅（3）由（1）得，所以，所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，对所有的正整数都有都成立，故，可得，所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.2222(21)n nnb n a -=⋅-222212(1)22(21)2(21)2(56)0n n n n nn nb b n n n a a ---++=⋅+-⋅-=-<2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1221n n b b a a ≤=2n n b a n 222nnb k a λλ-+>221k λλ-+>21k λλ<+1k λλ<+min12k λλ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭2k <k (,2)-∞。
2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。
高二上学期数学第一次月考试卷与答案解析
高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．32．已知方程2212x y m m +=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2)3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知实数x ，y 满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0B ．1CD ．25．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）试卷第2页，共4页A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.776．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =−7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．28．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a = B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=11．已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ） AB ．22AF BF +的最大值为8C D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
湖南2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z=，则z=（）A.1i33-B.1i33+ C.12i33- D.12i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得11i333z-===-，故选：A2.设集合{}(){}212,ln1A x xB y y x=+≤==+，则A B=（）A.[]0,1B.[]3,0- C.[)3,∞-+ D.[)0,+∞【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231x x-≤+≤⇒-≤≤，所以{}3|1A x x=-≤≤，因为211x+≥，所以()2ln10y x=+≥，所以{}|0B y y=≥，所以[)3,A B=-+∞，故选：C.3.）A.2π B.3πC. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，，母线长为2r，1212r r⨯=∴=，则该圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=，故选：B4.若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(23α-=（）A.45- B.35- C.45 D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出t n(aπ6α-，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36αα+=-，得πππcos[()]2cos()266αα+-=-，即ππsin(2cos()66αα--=-，则πtan(26α-=-所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66αααααα----=-=-+-2222π1tan()1(2)36π1(2)51tan()6αα----===-+-+-.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则a c⋅=（）A.12B.2C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2ac b=+平方后求出78a b⋅=-，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则()2214a bc==+，即22148488a a b b a b +⋅=++=⋅ ，则78a b ⋅=- ，故()2712222284a c a ab a a b =⋅=⋅++⋅=-⨯=，故选：C6.若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A.[]4,10 B.[]4,14 C.[]10,14 D.[)10,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故选：C7.已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（）A.2B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P 的轨迹，再设ABP θ∠=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10l mx y -+=恒过定点()0,1A ，2:10l x my +-=恒过定点()1,0B ，且两直线的斜率之积为1-，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上运动，AB =，设ABP θ∠=，则,AP BP θθ==，所以π2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4θ=时，即0m =时，AP BP +取得最大值2，此时点P 的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P 在椭圆τ：22221x y a b +=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设P 的坐标，由题意可得,A Q 的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出,AD PA 的斜率，设B 坐标，,P B 在椭圆上，将,P B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224 PA PB b k k a⋅=-，再由PA PB ⊥可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】设()11,P x y ，则()()1111,,,A x y Q x y ---，3,4PD PQ →→=，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则2211222222221 ,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212,,PBAD AB y y x x b k k k x x a y y -+==-⋅=-+即()1211211121124 ,4PA y y y y y y k x x x x x x ++===++，,PA PB ⊥故 1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3 2e =.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a <，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260x y x y a a +--+=∈R 即圆()()()221310x y a a -+-=-∈R ,需满足10a <，则圆心为()1,3圆心()1,3到直线3450x y ++=的距离为312545d ++==，要使圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，需满足42≥，解得610a ≤<，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =-对称B.()f x 的图象关于点()1,0对称C.()31f -=D.()f x 的一个周期为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB ；利用赋值法求出()1f 的值，结合对称性可求()3f ，判断C ；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，则()()11f x f x --=-，即()()2f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，A 正确；又()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，即()()2f x f x -+=-，故()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由于()()11f x f x -+=-+，令0x =，则()()()11,10f f f =-∴=，又()f x 的图象关于直线1x =-对称，故()()310f f -==，C 错误；又()()2f x f x --=，()()2f x f x -+=-，则()()22f x f x --=--+，故()()22f x f x -=-+，即()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=，即()f x 的一个周期为8，D 正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=，点T 满足1AT xAB y AC z AA =++，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（）A.当点T 为三角形111A B C 的重心时，2x y z ++=B.当1x y z ++=时，AT 的最小值为3C.当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D.当1x y +=时，点T 到1AA 的距离的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】将AT 用1,,AB AC AA 表示，再结合1AT xAB y AC z AA =++ 求出,,x y z ，即可判断A ；将AT平方，将()1z x y =-+代入，再结合基本不等式即可判断B ；当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++ ，求出,,x y z ，再根据[],,0,1x y z ∈即可判断C ；求出AT 在1AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，当点T 为三角形111A B C 的重心时，()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+，所以1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,13x y z ===，所以53x y z ++=，故A 错误；对于B ，2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++，因为1x y z ++=，所以()1z x y =-+，则()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当23x y +=时取等号，所以()2121133AT xy xz yz =-++≥-= ，所以3AT ≥，所以AT 的最小值为63，故B 正确；对于C ，当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-，则()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,,x y z μμλ=-==，所以11x y z μμλλ++=-++=+，因为[]0,1z λ=∈，所以[]11,2λ+∈，所以x y z ++的最大值为2，故C 正确；对于D ，当1x y +=时，由A 选项知，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ ，AT 在1AA 方向上的投影为111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+，所以点T 到1AA的距离d ==因为()2144x y xy +≤=，所以2d =≥=，当且仅当12x y ==时，取等号，所以点T 到1AA的距离的最小值为2，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++，求出,,x y z ，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,342P A P B P A B ==+=，故()()()()P A B P A P B P AB +=+-,则()()()()111134212P AB P A P B P A B =+-+=+-=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是112332O A =⨯⨯，1(O 为上底面截面圆的圆心)下底面222A B C所在平面截球所得圆的半径是2223432O A =⨯⨯，2(O 为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，因此球的表面积是24π4π25100πS R ==⨯=．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log 2321log x x a a+->+的最小整数解，则a 的取值范围为____________．【答案】2021202222a ≤<【解析】【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21log a +大于零和小于零时分类讨论即可；【详解】由题意可得012230xa a a >⎧⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎩，变形不等式可得()()222222223log 2log 2321log 01log 1log 1log xx a x x a a a a a a-+-+-+-=>+++，当211log 02a a +>⇒>时，有2223log 20x a x a-+->，由指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240x x a a -⋅->，即()()2420xxaa -+>，解得24x a >或2x a <-（舍去），从而2log 4x a >，又12a >时2log 41a >，所以要使2024是不等式()22log 2321log x x aa+->+的最小整数解，有22023log42024a ≤<，解得2021202222a ≤<，所以2021202222a ≤<，当211log 002a a +<⇒<<时，注意到20242024323212a ->->，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a 的取值范围为2021202222a ≤<.故答案为：2021202222a ≤<.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%p c =列式求出c ，再由图2求出误诊率()q c ；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以()950.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的有100(0.0100.002)56⨯+⨯=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022⨯-⨯+⨯⨯=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A ．分别用a ，b ，c ，d ，E ，F 表示这6人，E ，F 代表被误诊的2人，样本空间{},,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF Ω=，事件{},,,,,,,A aE aF bE bF cE cF dE dF =，故()15n Ω=，()8n A =，()()()815n A P A n ==Ω，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+，其中O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若CMP !的面积为2，求AB ．【答案】（1）()()22132x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）设s ，求出圆心坐标，利用CM MP ⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，由三角形面积公式求出2d ，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】由2OM OA OB =+可得点M 为线段AB 的中点，设s ，圆方程化为标准方程为()22416x y +-=，所以圆心()0,4C ，半径4r=，所以()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，因为CM MP ⊥，所以()(),42,20x y x y -⋅--=，整理可得()()22132x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d ，因为M 为AB 的中点，且CM AB ⊥，CMP !的面积为2，CP =所以122d =，即4d =，解得24d =，由弦长公式可得AB ===17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =，又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形，则12BM AD =且//BM AD ，∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，则PF AB ⊥，PE PF P = ，∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，2PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ，∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =，∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴()2,1,1PC =- ，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩ ，令1y =可得()0,1,1n =r .设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos 9n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅∴直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为9.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M 的纵坐标，同理求出N 的纵坐标，进而求出2MNF 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231122a b c c a b ⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：28a =，24b =，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；【小问2详解】由(1)可得右焦点2(2,0)F ，由题意设直线1l 的方程为：2x my =+，设直线与椭圆的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则中点M 的纵坐标为122M y y y +=，联立直线1l 与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)480m y my ++-=，12242m y y m -+=+，∴222Mmy m -=+，同理可得直线2l 与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()N m m y m m-⋅-==++-，∴2221|||||||2MNF M N S MF NF y y =⋅=⋅△22422222(1)2(1)||||2522(1)m m m m m m m m ++==++++222||121m mm m =+⋅++，设0m >，令212m t m+=，则2212MNF S t t=+△，令1()2f t t t =+，2t ，21()2f t t '=-，2t ，()0f t '>恒成立，∴()f t 在[2，)+∞单调递增，∴22241192222MNF S t t ==+⨯+△．∴2MNF 面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...nin i aa a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...nnnn ni i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...ni n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n+++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．（1）已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值；（2）已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniii i a na==-≥-∏∏；（ⅱ）当2024n ≥，求3111nii i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421n n -【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13x y x y +≥-，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n +元和1n -元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数()()()ln 1ln 1f x x x =---+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()1133x y x y y x y y x y +=+-+≥⋅--.而当2x =，1y =时，有0x y >>，()112321x y x y +=+=--.所以()1x y x y +-的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0n a a a >，12...1n a a a +++=，故对1,2,...,i n =，由均值不等式有()()11121112111......1......n i i i i i n i i i i n a a a a a a a a n a a a a a a a +-+-++=++++++++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()11121112111......1......n i i i n i i n a a a a a a n a a a a a --+-+-=++++++≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.将二者相乘，得()()2222211121111......nn nii i nia n a a a a a a+--+-≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.再将该不等式对1,2,...,i n =相乘，即得()()()()()22212112222211111111n n n nn n n n nnn i i i i i i i i a n a n a n a -⋅++-====⎛⎫⎛⎫-≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.（ⅱ）对01x <<，设()()()ln 1ln 1f x x x =---+.则()1111f x x x'=--+，()()()2211011f x x x ''=+>-+.对01a b <<<，设()()()()()h u f u f b u b f b '=---，01u <<.则()()()h u f u f b '''=-，()()0h u f u ''''=>，所以()h u '在()0,1上递增.所以对0u b <<有()()()0h u f u f b '''=-<，对1b u <<有()()()0h u f u f b '''=->.这表明()h u 在()0,b 上递减，在(),1b 上递增，所以由a b ≠有()()()()()()0f a f b a b f b h a h b '---=>=.这就得到()()()()0f a f b a b f b '--->，同理有()()()()0f b f a b a f a '--->，即()()()()0f a f b a b f a '---<.再设()()()()()()11g t tf a t f b f ta t b =+--+-，01t ≤≤.则()()()()()()1g t f a f b a b f ta t b ''=---+-，()()()()210g t a b f ta t b ''''=--+-<.所以()g t '在[]0,1上递减.而()()()()()00g f a f b a b f b ''=--->，()()()()()10g f a f b a b f a ''=---<.所以一定存在01η<<，使得对0t η<<有()0g t '>，对1t η<<有()0g t '<.故()g t 在[]0,η上递增，在[],1η上递减，而()()010g g ==，结合()g t 的单调性，知对任意01t <<有()0g t >.特别地，有102g ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此即()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.对01b a <<<，同理有()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.而对01a b <=<，显然有()()22f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，对任意(),0,1a b ∈，有()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.先证明一个引理：设()12,,...,0,1n a a a ∈，则()()()1212......n nf a f a f a a a a f nn ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.用数学归纳法证明.①当1n =时，结论显然成立.②若结论对n k =成立，则对()122,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()()()()12212122.........222k k k k k f a f a f a f a f a f a f a f a f a k k k+++++++++++=+1212212122 (1)11222k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a f f f f k k k k ++++++++++⎛++++++⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212212122............22k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a k k f f k ++++++++++⎛⎫+ ⎪+++++++⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭.从而结论对2n k =也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n 成立.③若结论对1n k =+成立，则对()12,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()12121212 (1)kk k k a a a f a f a f a f f a f a f a a a a k f k kk k +++⎛⎫++++ ⎪++++++⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭()()()121212.........111k k k a a a f a f a f a f a a a k k f k k k k +++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫⎝⎭≥⋅ ⎪+⎝⎭1221212.........111k k k k k a a a a a a a a a k k f f k k k k +++++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫≥⋅-⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎝⎭121212 (1)1k kka a a a a a a a a k f f f k k k k k ++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而结论对n k =也成立.由于原结论对无穷多个正整数n 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n 成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln 1ln 1ln1f x x x x =---+=-，故1211111ln 122223332111111111e 1nn i i n n nna nnni i i i i i i i i i i i i i a a a n n n n n a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭====++++∏⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥===⋅ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏()221111ln1111114ln11222222221eeeee111n nni i k i k k f a f a f n n n a n n n n n n n n n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑=⋅=⋅≥⋅=⋅=⋅=⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭.而当121...n a a a n ====时，有2343222111113111111nnni i i i i i a n n n nn n n n a a n n n n n===++===⋅=-----∑∑∑.所以3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值是421nn -.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.。
高二数学上学期月考试题
高二数学上学期月考试题一、单选题（4分×10=40分）1．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．221332a b c +- C ．111222a b c +- D ．211322a b c -++ 2．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（ ）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种 3．已知随机变量X 的分布列为()24k P X k ==，2,4,5,6,7k =，则()15P X <≤等于（ ） A ．1124 B ．712 C ．23 D ．13244．以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =-B ．210x y =-或28y x =C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =5．已知圆2260x y x +-=，过点()2,2的直线被该圆所截得的弦长的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2 7．已知()511a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数为10，则实数a 的值为（ ） A ．12- B ．12 C ．2- D ．28．已知（1+2x ）n 的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为（ ）A ．211B ．210C ．29D ．289．若直线1:210l mx y -+=与2:(1)20l m x my -++=互相垂直，则实数m =（ ） A ．23 B ．32 C ．1-或0 D ．32或0 10．已知抛物线216x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，点Q 在圆()()22:264E x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题（5分×4=20分）11．一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X 表示取出球的最大号码，则X 的分布列为_____________12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为60°的直线1l 与过2F 的直线2l 交于A 点，点A 在椭圆上，且1290F AF ∠=︒.则椭圆C 的离心率e =__________.13．过点()1,4A -作圆22231x y 的切线l ，则切线l 的方程为_________．14．我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法三、解答题（10分×4=40分）15．在n ax ⎛ ⎝的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79. (1)求n 的值；(2)若展开式中的常数项为552，试问展开式中系数最大的项是第几项？ 16．若()82801281mx a a x a x a x +=++++，其中356a =-. (1)求m 的值；(2)求128a a a +++；(3)求()()22024681357a a a a a a a a a ++++-+++.17．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2,,PA AD AB M N ===分别为,AB PC 的中点.(1)求证：MN 平面PAD ；(2)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.18．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列．。
江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学试题（考试时间120分钟 总分150分）命题人：审题人：第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．经过，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定4．已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体。
”事实上，有很多代数问题可以转化可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）A ．B ．CD ．7．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过定点（）()1,3A -()1,1B -45︒60︒90︒135︒30xy +-=260x y -+=230x y +-=4290x y +-=290xy -+=290x y +-=4290x y -+=,a b 1ax by +=221x y +=(),P a b 221:1C x y +=()()222:3449C x y -+-=:l y kx =-2360x y +-=l ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭(),M x y (),N a b y =+3()1,0M -()1,0N 0x y m -+=P 0PM PN ⋅=m (][),22,-∞-+∞ (),-∞+∞[]2,2-⎡⎣22:1C x y +=P 240x y +-=P C ,PA PB ,A B ABA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列说法不正确的是（）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．不经过原点的直线都可以用方程表示C ．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件D ．直线的倾斜角的取值范围是11．设直线与圆，则下列结论正确的为（）A ．可能将的周长平分B ．若直线与圆相切，则C ．当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1D ．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．已知，则P 点关于直线的对称点的坐标为______．13．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为______．14．已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______；点到直线的最大距离为______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知的三个顶点为，，．（1）求边上的高的直线方程；11,42⎛⎫⎪⎝⎭11,24⎛⎫⎪⎝⎭⎫⎪⎪⎭⎛⎝l ()3,2-l 230x y +=320x y +=50x y --=10x y +-=1x ya b+=210a x y -+=20x ay --=1a =-sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭():4l y kx k =+∈R 22:4C x y +=l C l C k =1k =C l l C ,A B ABC △()2,1P :30l x y -+=Q 230x y -+=340ax y +-=d d ()()2200:4M x x y y -+-=()3,4N M ,NP NQ P Q π3PNQ ∠=M M 34250x y ++=ABC △()4,0A ()2,3B ()4,6C BC AD（2）求过点且与两点距离相等的直线方程．16．（本小题满分15分）已知圆的圆心在轴上，且经过点，．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．17．已知圆．（1）若满足，求的取值范围；（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围；18．（本小题满分17分）已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点．（1）求点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；（3）当取得最小值时，求的面积．19．（本小题满分17分）．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为．（1）求点的轨迹方程；（2）若，求点的轨迹的方程；（3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．B AC 、C x ()1,0A -()1,2B C ()0,2P l C ,M N MN =l 22:2O x y +=,x y 222x y +=2y x+:2l y kx =-O ,A B AOB ∠k :20l ax y a -+-=P x y ,A B O P O l l PA PB ⋅AOB △A B 、λ0λ>1λ≠xOy ()1,0A ()2,0B -P 12PA PB=P 1C P PA AQ =Q 2C A 1l 2l Q 2C M N 、P Q 、MPNQ2024年秋东台市第一中学高二年级月考一数学答案第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）题号12345678答案CBBADADA二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号91011答案ACABCBCD第Ⅱ卷（非选择题 共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．12．1314．；14四、解答题：15．（本小题满分13分）．【解析】（1）由点的坐标，得直线的斜率，由，得直线的斜率，由点斜式方程得直线的方程为，整理得，所以边上的高的直线方程为．（2）由点的坐标，得线段的中点坐标为，①到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为；②到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为，所以过点且与距离相等的直线方程为和．16．（本小题满分15分）．【解析】（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，()2,5-()()223416x y -+-=B C 、BC 633422BC k -==-AD BC ⊥AD 123AD BC k k =-=-AD ()2043y x -=--2380x y +-=BC AD 2380x y +-=A C 、AC E ()4,3,A C BE BE y ⊥BE 3y =,A C AC AC x ⊥2x =B ,A C 2x =3y =AB D ()0,1D CD AB ⊥1CD AB K K ⨯=-1CD K =-所以线段的垂直平分线方程是．设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；②当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或．17．（本小题满分15分）【解析】（1），令，即直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径解得或．即（2）设的坐标分别为，，将直线代入，整理，得，，，，即，当为锐角时，AB 10x y +-=C ()222x a y r -+=(),0C a ()0r r >(),0C a CD 1a =()1,0C 2r CA ==C ()2214x y -+=F MN CF l ⊥FM FN ==C l 1d CF ===l l 0x =1CF =l l 2y kx =+20kx y -+=d 34k =-l 324y x =-+3480x y +-=l 0x =3480x y +-=22:2O x y +=2y k x+=:20l kx y --= l O ∴()0,0O l r =d =≤1k ≤-1k ≥][()2,11,y x+∈-∞-+∞ ,A B ()11,x y ()22,x y :2l y kx =-222x y +=()221420k x kx +-+=12241k x x k ∴+=+12221x x k =+()()224810k k ∆=--+>21k >AOB ∠()()1212121222OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--，解得，又，或．故的取值范围为．（用几何法同样得分）18．（本小题满分17分）【解析】（1）直线，整理可得：，可得直线恒过；（2）要使点到直线的距离最大，则，可得，即到直线的距离两边平方可得：，整理得，所以，所以，即．（3）由题意，直线的截距均不为0，由题意和（1）可得，，且、，因为，所以，，所以，仅当时等号成立，所以时取最小值，当，则，，此时的面积为；当，则，，此时的面积为；()()22121226212401k kx x k x x k-=+-++=>+23k <21k >1k <<-1k <<k ()(1- :20l ax y a -+-=()120a x y --+=()1,2P O l OP l ⊥OP ==O l d 224451a a a -+=+()22441210a a a ++=+=12a =-15022x y --+=250x y +-=2,0a A a -⎛⎫⎪⎝⎭()0,2B a -0a ≠2a ≠()1,2P PA ==PB ==124PA PB a a ⎛⎫⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭1a =±1a =±PA PB ⋅1a =()1,0A -()0,1B AOB △121a =-()3,0A ()0,3B AOB △92所以的面积为或．19．（本小题满分17分）【解析】（1）设点，化简可得．（2）设点，，由（1）点满足方程：即 代入上式消去可得的轨迹方程为．（3）设圆心到直线，的距离分别为，则当且仅当时，等号成立因此，四边形面积的最大值为7．AOB △1292(),P x y =()2224x y -+=(),Q x y ()00,P x y P ()202024x y -+=PA AQ= ()()001,1,x y x y ∴--=-0011x x y y-=-⎧⎨-=⎩002x xy y=-⎧∴⎨=-⎩Q 224x y +=O 1l 2l 12,d d 222121d d OA +==12S MN PQ =⋅==()()()22121222448817d d d d ≤-+-=-+=-=12d d =MPNQ。
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高二第一学期月考数学试题
一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相对应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.lim3n2 . n2n1
2.等差数列an中，Sn40，a113，d2，则n_________.
3.2,x,y,z,18成等比数列，则y_________.
4.若数列an的前n项和Sn3，则数列an的通项公式是n
5.若向量a,b满足a1，b2，且a与b的夹角为，则a
3
6.在等差数列an中，a1a38,a23，则公差d
7.已知an是等比数
列,a22,a48,则a1a2a2a3a3a4anan1=___________.
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为 .
9.若不等式xax20对x(2,3)恒成立，则实数a的取值范围是
10.等差数列an中，公差d0，且2a3a72a110，数列bn是等比数列，且b7a7，22
则b6b811.设数列an满足a13a23a3…32n1ann*，nN，则数列an的通项公式3
为．
12.已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为An和Bn，若
整数的正整数的个数是 .
错误！未找到引用源。
二. 选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个准确答案，考生应在答案纸的相对应编号上填上代表相对应选项的字母，选对得3分，否则一律得零分。
13.设等比数列an的前n项和为Sn，若S510,S1050,则S20等于（）
A． 90 B． 250 C． 210 D． 850 aAn7n45，则使n为bnBnn3 14.若函数f(x)ag(x)bh(x)2(a0,b0)在0,上有值5，其中g(x)、h(x)都是定义在R上的奇函数．则f(x)在,0上有（）
A．最小值-5 B．值-5 C．最小值-1 D．值-3
15.设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
16.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则公比q为（）
A．q2 B．q1 C．q2或q1 D．q2或q1
三．解答题（本大题满分52分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相对应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
17．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题3分，第2小题5分已知函数f(x)x2a
x(x0，常数aR)．
（1）当a2时，解不等式f(x)f(x1)2x1；
（2）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
18.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分
数列an满足a11，an1an11(n2) 2
（1）若bnan2，求证bn为等比数列；
（2）求an的通项公式．
19.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题2分，第2小题3分，第3小题5分已知等比数列an中，a12,a416
(1)求数列an的通项公式；
(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，求数列bn的通项公式；
(3)将bn中的第2项，第4项，…，第2项按原来的顺序排成一个新数列cn，求此数列n
的前n项和Gn．
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20. (本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题3分，第3小题6分国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款（即无利息贷款），旨在协助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.某大学2013届毕业生小飞在本科期间申请了助学贷款，并打算在毕业后还清贷款.
小飞签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.小飞计划毕业后前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元.
（Ⅰ）用x和n表示小飞第n个月的还款额an；
（Ⅱ）若小飞在本科期间申请了24000元助学贷款，并于毕业后三年（第36个月）恰好还清贷款，求x的值；。