自控第5章频率响应

( ) arctgT
图5.9 1+jT和1/(1+j T)的近似对数频 率特性图

G(s)=Ts+1， 频率特性 G( j ) 1 jT 1 2T 2 e jarctgT
j
jω+1/T
-1/T 0
ω
j
ω
0
1
ω=0
振荡环节
(a) (b) 图5.10 一阶微分环节的 极点—零点图(a) 和幅相曲线(b)
L() 0.1 14.0
振荡环节Bode 图
L( ) 20 lg[ (1 2 / n 2 ) 2 4 2 ( / n ) 2 ]
1/t L()| = -20lg(2) = n -40dB/dec
n
f ( 0.2 )
7.96
0.3 4.44
0.4
小 1.94
频率特性的指数形式也称极坐标表示：
G ( j ) G ( s ) s j A( )e j ( )
常用于描述频率特性的几种曲线
幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性 的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化 到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性 曲线，简称幅相曲线。 对数频率特性曲线：对数频率特性曲线又称为伯德图（Bode Plot），其横 坐标采用对数分度，对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作dB，对数相 频曲线的单位是度。 L(ω)=20lg| G(jω)| •对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。
根据定义 A( ) 1 / 1 2T 2 , ( ) arctgT
频率特性写成一个式子 e 2 2 1 T
1
jarctgT
1 1 1 jT 1 Ts s j
对一般的线性系统，有如下结论： (1) 系统的频率特性 G( j )与传递函数和微分方程 一一对应, 它从频率的角度描述系统的特性. (2) 当系统或环节的输入信号是正弦信号时, 其稳 态输出仍为与输入同频率的正弦信号. (3) 此同频率的正弦输出信号的幅值与输入正弦信 号的幅值之比等于幅频特性 A( ) G( j ) (4) 稳态同频率的正弦输出信号的初相角与输入正 弦信号的初相角之差为相频特性 ( ) G( j ) (5) 由 G ( j ) G ( s ) s j ,在理论上可将频率特性的 概念推广到不稳定系统.
自 动 控 制 理 论
5.1 频率特性 5.2 频率特性曲线的绘制 5.3 奈奎斯特判据
第五章 频域分析法
5.4 稳定裕度 5.5 频域性能指标 本章作业
引 言
• 采用正弦信号作为输入信号，当系统进入稳态 后，其输出称频率响应。 输入 r(t)=Sint 系统 输出（稳定后） c(t)=ASin（t+）
1.5
, G( j ) 0 180o
图5.11 振荡环节的幅相曲线
L( ) 20 lg (1 2 / n ) 2 4 2 ( / n ) 2
2

ω<<ωn时L(ω)≈0

ω>>ωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lg ωn) 2 / n ( ) arctg 1 ( / n )2
10 ω
-90
图a. 幅相曲线图
图b. 对数频率特性曲线图
5.2 开环系统频率特性曲线的绘制 5.2.1 典型环节的频率特性曲线

典型环节
比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 积分环节：1/s 微分环节：s 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1
Aω 设u r ASint ,则 Ur(s) 2 s ω2 1 A U c (s) 2 Ts 1 s 2
AT t / T A uc (t ) e Sin(t arctgT ) 2 2 2 2 1 T 1 T A 稳态分量 Sin(t arctgT ) 2 2 1 T
根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线 K 例1： 绘制G(s) 的Bode图。
(T1s 1)(T2 s 1) K 解：系统频率特性：G( j) ( jT1 1)( jT2 1)
系统可看成三个环节串联：一个比例环节、两个惯性环节
G (s) K
1 1 T1S 1 T2S 1
A( ) Ai ( ) ,
i 1 n
L( ) 20 log Ai ( ) 20 log Ai ( ) Li ( )
n
n
n
( ) i ( )
i 1
n
i 1
i 1
i 1
由上两式可知,开环系统的对数幅频特性表达式是各典型环 节对数幅频特性表达式之和, 开环系统的对数相频特性表达 式是各典型环节对数相频特性表达式之和. 因此开环系统 的伯德图可以根据所含的典型环节的频率特性来画出.
• 频率响应法特点： 是一种图解分析法，可以根据开环的频率特 性去判断闭环性能； 还可以指出改善性能的途径，并对系统进行校 正； 系统的频率特性很容易通过实验获得，用s代 替j就成了传递函数。 • 频率特性法是一种广泛使用的工程方法。在控制理 论中占有很重要的地位。
5.1 频率特性
1、基本概念（物理意义）
j
0
G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]
G ( j ) 1 1
ζ =0.2— 0.8
u=0
j 2 n n 2
2
-0.5
0, G( j ) 10
n ,G( j )
o
-1
1 90o 2
-1.5 -0.5
0
0.5
1
图5.8 惯性环节的幅相曲线 (dB) 20 0 -20 (o) 90 0 0.1 -90 1 10 ω 20dB/dec
( ) -arctg T
一阶微分环节 G(s)=Ts+1
L( ) 20lg 1 T
2 2
0.1 1/T
1
10 ω -20dB/dec
ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT =20(lgω-lg1/T)

对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频特 性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
系统：G(s)=1/(Ts+1)
(dB)
20
j
0 -20
0.1 1/T
1
10 ω -20dB/dec
ω=∞ 0 -45o ω=1/T (b)
ω=0 K
(o) 90 0 0.1 1
0.5 0
0.7 -2.92
0.8 -4.08
0.9 -5.1

1 -6
2 / n ( ) arctg 1 ( / n ) 2
-180
o
相频特性曲线也与 大小有关
20lg M r
谐振频率ωr与谐振峰值Mr： 当阻尼比比较小时，在ω= ωn附近将出现谐振峰值。
M r A( r )
4(0.5S 1) 的Bode图。 例2： 绘制G( s) 2 2 S (2S 1)(0.125 S 0.05S 1) 解：该系统由5个典型环节组成： 1、比例环节 K=4 20lgK=12dB
2、积分环节 3、惯性环节
幅频特性-20lg 是一条过=1，斜率-20dB/dec 的直线 相频特性 -90°
比例环节

比例环节的频率特性是G(jω)=K,幅相曲线如下左图。
(dB) j 20lgK 0
1
10
ω
(o )
0
k
·
0
1
10
ω
图5.3 比例环节K的幅相曲线
图5.4 比例环节的 对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 相应曲线如上右图。
G1 ( j) K
G 2 ( j)
1=1/ T1
0dB/dec
1 jT1 1
G 3 ( j)
2=1/ T2
1 jT2 1
L1()
20lgK
-20dB/dec
L2()
-20dB/dec
L3() - 40dB/dec
L() 系统相频特性通过表达式计算描点
分析： • 系统开环传函由三个典型环节组成，其对数幅频特性的近似特性 由三段组成； • 转折处频率就是两个惯性环节的交接频率（=1/T）； f() • 经过一个惯性环节转折频率后，对数幅频特性的近似特性的斜率 增加 -20dB/dec;
谐振频率为 :
1 2 1
2
(0 0.707)
(0 0.707 )
r n 1 2 2
5.2.2 开环对数频率特性曲线的绘制
开环系统的频率特性表达式为:
G( j ) Gi ( j )
i 1 n
上式表明, 开环系统的频率特性表达式无非是各典型 环节频率特性表达式的乘积, 因而
图5.6 1/jω和jω的对数频率特性图
积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,

而相频特性是 φ(ω)=-90o。
j ω 0 ω=0
图5.7 微分环节幅相曲线
微分环节: G(s)=s G(jω)= jω= ω∠π/2 L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。
惯性环节 G(s)=1/(Ts+1)
积分环节
G( s ) 1 1 1 , G( j ) s j 2
j 0 ω 图5.5 积分环节的幅相曲线

(dB) 20 0 |1/jω| 20dB/dec 1 10 ω -20dB/dec
0.1 -20 |jω| (o) 90 0 -90
∠jω 0.1
1
∠1/jω
10 ω
(dB) 40 20 0 0.1 -20 (o) 180 0 -180 图5.12 振荡环节的近似对数频率特性图 40dB/dec 1 10 ω/ωn -40dB/dec
0.1
1
10
ω/ωn
L( )
幅频特性精确曲线 与大小有关,1 因此， 近似曲线应根据 值进行修正；误差 最大发生在=n处。
频率特性定义如下: 频率特性是指线性系统或 环节在正弦信号作用下, 稳态输出与输入之比对 频率的关系特性.
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。
数学本质
U c ( s) 1 1 G( s ) U r ( s ) R1C1 s 1 Ts 1
i1(t) R1 C1
b0 s m b1s m1 bm1s bm G( S ) H ( s ) a0 s n a1s n1 an1s an
K (1 2 s ) 1 1 例 : G ( s) K (1 2 s ) s(1 0.1s ) s 1 0.1s
低频为 0dB/dec直线， 在i=1/Ti处转折为
L1 () 20lgK 是一条幅值为 20 l gK的直线
L2() 20lg
1 2T12 1
L3() 20lg
1 2Biblioteka Baidu2 T2 1
- 20dB/dec的直线
L() L1() L2() L3()
1() 1() 2() 3()
1 1 频率特性 G( j ) e jarctgT 1 jT 1 2T 2
j ω=∞ 0 ω=0 K
L( ) 20lg 1 2T 2
-45o
ω=1/T (b)
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
• 系统对不同频率的正弦输入的响应特性称为 频率响应特性。
• 频率特性用于系统的分析与设计，
根据： 一般周期性的输入信号可以分解为付立叶 (Fourier）级数，它由一 些不同频率、幅值的正弦分 量组成，知道了各正弦分量的响应便知道全部的响应 （迭加）
• 数学基础： 付立叶级数、复变函数、保角变换等