第三讲麦克斯韦速率分布律气体分子的平均碰撞频率与平均自

v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
f (v)
物理意义
dS
o v v dv
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
3）方均根速率 v2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT m
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
2RT M
vp v v2
• 理想气体忽略了分子间的引力
解决真实气体从修正理气模型入手
一、范德瓦耳斯气体模型
分子力：

f rs rt
引力 斥力
s = 9 ~15 t = 4~7
f
分斥 力
子
o
力
力r
引
分子间在距离较近时表现为斥力 距离较远时表现为引力
二、真实气体的状态方程 1mol理气状态方程
如估算O2 在 T = 300 K 时 速率在 790 -- 800 m/s 区间内的
分子数占总数的百分比
解： 790m/s d Δ 10m/s
T 300K
p
2 8.31 300 32 103
395m/s
u 790 2 p 395
u 790 2 p 395
v
dN f (v)dv dS N
归一化条件
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的
百分比 .
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
百分比 .
0N
dN N

0
f
(v)dv
1
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv dS N 速率位于v v dv 内分子数
6.5 109 s1
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自
由程 :（1）273 K、1.013105 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 1.333 103 Pa 时.
（空气分子有效直径 ：d 3.101010 m ）
解

kT 2π d 2 p
1
2π

1.381023 273 (3.101010 )2 1.013105
内的分子数占总分子数的百分比
vx vy
vx vy
dN N

(
m
2kT
)3
2
e

m 2kT
(v
2 x
v
2 y
vz2
)dv
x
dv
ydvz
dN F(v)
Ndvxdv ydvz
速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的比率， 即速度概率密度（气体分子速度分布函数）
麦克斯韦速度分布函数
F
(v
x
,
v
y
0
f
()

dΔNN
NNΔd
f ()d
oo
Δd

曲线下面积恒为1
2.麦克斯韦速率分布函数
麦氏分布函数
f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间
且遵守麦克斯韦分布律
在速率区间v~v+dv中的分子数为 dN f ( v )dv dN
dN

n0eE p
kT (
m
2kT
)3
e2 Ek
kT 4v2dvdxdydz
dN

n0 (
m
2kT
)3
e2 ( Ek E p
)
kT 4v2dvdxdydz

n0 (
m
2kT
)3
2eE
运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将
与分子A 碰撞
一秒钟内: 分子A经过路程为 v 相应圆柱体体积为 d 2v
一秒钟内A 与其它分子 发生碰撞的
圆柱体内 分子数
d 2vn
Z d 2vn
平均次数
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
二、平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝

vl

l

显 示
屏
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
第三讲
麦克斯韦速率分布律 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
本次课内容
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律 §7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
课本 pp241—262；练习册 第十七单元
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v)
vp
2kT m
m(H2 ) m(O2 )
o
vp (H2 ) vp (O2 )
2000 v / m s1
m(O2 ) 32 4 m(H2 ) 2
vp (H2 ) vp (O2 )
vp (H2 ) 2000m/s vp (O2 ) 500m/s
kT 2d 2 p

1.381023 273 1.41 3.14(3.51010)1.01105

6.9108 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
空气分子在标准状态下
8RT
的平均速率
v
448m / s
M mol
z v

448 6.9 108
f (v) dN Ndv
f (v)
分子数占总分子数的百分
比的规律 .
o
v
3.三种统计速率
f (v)
v 1）最概然速率 p fmax
df (v) 0 dv vvp
o
vp
v
根据分布函数求得
M mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT M
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C 时，氢气和氧气分子的方均
Δ u Δ 10 p 395
ΔN 4 eu2u2Δu Nπ
4 e4 4 10 0.42%
π
395
* §7-6 玻耳兹曼分布律
一、 麦克斯韦速度分布律
vz dv x dv y
dvz
v vz o
分子的速度分量限制在
vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然
速率 v p 附近单位速率间隔内的相对
分子数最多 .
2）平均速率 v
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N

vdN vNf (v)dv
v 0
0
f (v)
N
N

v vf (v)dv
8kT
0
πm
o
v
f ()d
dN N
分子速率在 d
间隔内的分子数占 总分子数的百分比
Nf ()d dN 分子速率在 d
间隔内的分子数
2）f (v ) 的性质

f ()d 1 归一性质
0
dN 0 N

f ()d 1 几何意义
根速率 vrms .
MH 0.002kg mol1 R 8.31J K1 mol 1
MO 0.032kg mol1
T 300K
氢气分子 氧气分子
vrms
3RT M
vrms 1.93103 m s1
vrms 483m s1
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1

v2
区间的分子数
N

v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S

N (v1 N
v2 )

v2
v1
f
(v)dv
讨论
1）f (v ) 的意义
f
()

dN
Nd
分子速率在 附近
单位速率间隔内的分子数 占总分子数的百分比
d (m) 2.301010 3.101010 2.901010 3.701010
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰 撞频率。取分子的有效直径d=3.510-10m。已知空气 的平均分子量为29。
解： 已知 T 273K , p 1.0atm 1.013105 Pa, d 3.51010 m
f(v)
都与 T 成正比，
与 M（或 ）成反比
vp v v2
v
vp v v2
vp
2kT m
v 8kT πm
v2 3kT m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
m

8.71108
m
2
2π

1.381023 273 (3.101010 )2 1.333103
m

6.62m
§7-9 实际气体的范德瓦耳斯方程
1、范氏气体模型 2、 真实气体的状态方程
解决问题的基本思路：
从物理上审视理想气体模型 →结果→与实际比较
•理想气体忽略了分子本身的体积 （即忽略了分子间的斥力）
分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计 分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。
一、平均碰撞次数
假 每个分子都是有效直径为d 的弹性小球。
定 只有某一个分子A以平均速率 v运动，
其余分子都静止。
d
v
d
v
A
d

d
v
d
v
A
d
球心在圆柱 体内的分子
,
vz
)

(
m
2kT
)3
2
e

m 2kT
(vx
2
v
2 y
vz
2
)
二、玻尔兹曼分布律
若气体分子处于恒定的 外力场（如重力场）中
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
? 气体分子分布规律如何
推广：
（1）气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek （2）粒子分布不仅按速率区v~v+dv间分布，还应
按位置区间x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz分布
dN n0eE p kTdxdydz
dN n0eE p kTdxdydz
dN 气体分子处在空间小体积元dxdydz中的分子数
n0 为E p 0处的分子数密度
n

dN dxdydz

n0eEp
kT
假定体积元dxdydz中的分子数仍含有各种速率的分子，
kT 4v2dvdxdydz
等宽度区间，能量越低的粒子出现的概率越大， 随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。
如果E1 E2 ,则dN1 dN2
§7-7 分子的平均碰撞次数和平均自由程
气体分子
RT
平均速率
v 1.60 M mol
氮气分子在270C时的平均速率为476m/s.
气体分子热运动平均速率高， 矛盾 但气体扩散过程进行得相当慢。
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程
v 1
Z
2 d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
wk.baidu.com
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
氮
氧
空气
(m) 1.13 107 0.599107 0.647 107 7.0108
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
速率在 v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）

vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前 进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。
在相同的t时间内，分子由A到
B的位移大小比它的路程小得多
A• •B
扩散速率
平均速率
(位移量/时间) (路程/时间)
分子自由程: 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。