26麦克斯韦速率分布率玻尔兹曼分布定律
麦克斯韦速率分布规律
麦克斯韦速度分布律任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。
它以詹姆斯麦克斯韦和路德维希玻尔兹曼命名。
1定义气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
2历史1859年，麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。
因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。
麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ~υd υ内的分子数与总分子数的比率为：麦克斯韦速率分布函数。
3内容在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~vdv的分子数占总分子数的比率为: 麦克斯韦速率分布函数。
4速率分布函数按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。
1）将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间。
例如速率间隔取100m/ ,整个速率分为0-100;100-200;…等区间。
2）总分子数为N，在v→v△v区间内的分子数为△N在v→v△v区间内的概率为△Ni/N。
则可了解分子按速率分布的情况。
3）概率错误!△Ni/N与v有关，不同v附近概率不同。
错误!△Ni/N与△v有关，速率间隔大概率大。
→dv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dN/N∝dv写成等式fv=dN/Ndv表示分布在v→vdv区间内的分子数占总分子数的比率或百分比。
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理玻尔兹曼分布是热力学中描述粒子分布的重要概念。
麦克斯韦速度分布律和能量均分定理则基于玻尔兹曼分布，对分子在气体中的速度和能量分布进行了详细研究。
本文将从玻尔兹曼分布开始，逐步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，并解释其重要性和指导意义。
首先，我们来回顾一下玻尔兹曼分布的概念。
玻尔兹曼分布描述了在热平衡状态下，粒子的能级分布情况。
在一个封闭系统中，粒子的分布与其能量有关，服从玻尔兹曼分布的概率可以用以下公式表示：P(E) = (1/Z) * e^(-E/kT)其中，P(E)表示粒子能量为E的概率，Z是配分函数，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过玻尔兹曼分布，我们可以了解不同能量级别上粒子的分布情况。
基于玻尔兹曼分布，我们可以推导出麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布律描述了气体中粒子的速度分布情况。
根据分子动理论，气体分子的速度服从高斯分布。
在二维情况下，麦克斯韦速度分布律可以表示为：f(v) = (m/(2πkT))^0.5 * e^(-mv^2/(2kT))其中，f(v)表示速度为v的粒子的概率密度函数，m是粒子质量。
这个分布函数说明了粒子速度随温度和质量的变化。
接下来，我们来推导能量均分定理。
能量均分定理是基于麦克斯韦速度分布律的一项重要结果。
根据能量均分定理，系统中每个自由度的平均动能为kT/2。
自由度可以理解为能够存储和传递能量的独立振动模式或轨道数。
对于一个分子来说，自由度通常包括平动、转动和振动。
在热平衡情况下，每个自由度的平均动能相等。
能量均分定理在热学和统计物理中具有重要的指导意义。
它说明了在热平衡状态下，分子具有与温度相对应的能量。
通过平均动能，我们可以计算出系统的总能量。
这个定理的应用广泛，在材料科学、化学反应动力学以及热力学等领域都扮演着重要角色。
总结起来，玻尔兹曼分布为我们提供了粒子分布的重要理论基础。
基于玻尔兹曼分布，我们可以进一步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，分别描述了气体粒子的速度和能量分布情况。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导
1876年，玻尔兹曼提 出以下证明思路：在均 匀重力场中恒温理想气 体的分子数密度为n(h)
= n(0)exp[mgh/(kT)].
但是，速度分量vz的分 布函数f(vz)应该仅由温度 T决定而与重力场强g或 高度h无关。高处的n(h) 之所以会比较小，是由于 低处那些vz小的分子不能 克服重力场而飞到高处。
Rlg$L%+j9(4ZO)0e%AqYm9NowrBg#Wu48(%sSpE SmF&PoaBWsJ%F1FKFSBjpb1oxTIr v9Z)X W kJdo x%4j&q+afDCB$0fA( cWA# DbpS0PC5+&x k+gJW u7x9T- tV2bD DD$-b Vj*coW(9P5!#-Y6p ky Hi7SZ 1$8dsqy 6EjG!AYioM Xu8Bj0p*t8+7 Wy y c*aa9uW&rY&ixksQKBPGCEt6h zzYe l3%gs TPYJSWxowi( $x2(Z7 $ZIWu xc&5vqTmHkBcD0& V#r- kF-Sm0je%1pEy y &kZ#)PDsJWO6IF#9Pv6lODZ4DT J8Z0#F(v)cVnltz2OtK $(Ha k31!rFu( %V% zlZ2hPxseZRnczGXk%7d(0tNMOcXfm7VW O7c#v8 2$t&xqlu9RdrF3C%bFMwBZ 5wxw Mrw!0N %QJW nB5f8 W&pS9NMO3 *J87hM gYtjNJwK2!X IJVBN ZK82C1u8pqL 2rg0-# e9MDRO+R1 w6N!PTeCoo zx hBeY$ I4%PZ4Qas# G
麦克斯韦速率分布律
粒子速率分布实验曲线如下所示
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
理想气体状态方程
或
三个速率
麦克斯韦速率分布率
上节基本概念回顾
速率分布函数
温度越高，速率大的分子数越多
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
比较 的高低
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
分子质量越小，速率大的分子数越多。
比较 的大小
--- 用于讨论分子碰撞
三种速率的使用场合
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。 N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大气质量的23%)。
气体分子速率的算术平均值。
(2)平均速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
(3)方均根速率：
三种速率均与 成正比,与 成反比，但三者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。
三个速率的比较
vp --- 用于讨论速率分布
---用于计算分子的平均平动动能
把速率分成很多相等的间隔
+
o
统计出每个间隔内的分子数N
间隔内分子数与分子总数N之比
某 处单位速率间隔内分子数与总数之比
速率分布函数表达式 的意义
（1）速率分布函数 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 确定，则处于速率 内的分子数占总 数的比值为
例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数
玻耳兹曼能量分布律和麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。
平均速率（算术平均速率）
根据某连续变量 x 的平均值等于该
量与概率密度函数乘积的积分的定义。
注意到
类似
也有 或
方均根速率方均根（ 速的率统计平均值的开平方）
即 作为参与统计平均的连续变量
则
注意到
得
回忆 联系
类似
也有 或
速率小结
氧气摩尔特质征量 速率3.2例0 题10 mol
温度 27 C 处于平衡态
气体分子的
和
27 273 300 （ k ）
394 ( m s ) 447 ( m s )
483 ( m s )
归一化例题
假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
求速率在
区间的粒子数
抛物线方程
+
得 Max
续上 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
概率分布函数应满足
归一化条件
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
求速率在
区间的粒子数
本题
要求
抛物线方程
+
得 Max
得
速率在 区间的粒子数
得
请在放映状态随下点堂击小你认议为是对的答案
f (v)
①
②
o
v
则代表氧的分布函数曲线为
（1）曲线 ①
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布
统计力学中的玻尔兹曼分布与麦克斯韦速度分布统计力学是一门物理学的分支，它研究的是大量微观粒子所组成的系统在宏观上的行为。
而玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是统计力学中的两个重要概念。
首先，让我们来了解一下玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布是描述非简并理想气体平衡态的分布函数。
简单来说，它告诉我们在热力学平衡状态下，不同能级上粒子的数目与相应能级的能量成正比。
根据玻尔兹曼分布定律，粒子在不同能级上的分布可以通过玻尔兹曼因子来描述，玻尔兹曼因子等于自然对数的底e与能级对应的能量除以系统的热力学温度的乘积。
玻尔兹曼分布的重要性在于，它提供了理论上求解热力学平衡态下系统宏观性质的方法。
正是基于玻尔兹曼分布，我们可以计算出气体的压强、体积、温度等宏观物理量的统计平均值。
接下来，我们来探讨一下麦克斯韦速度分布。
麦克斯韦速度分布描述了气体分子在各个速度范围内的分布情况。
根据麦克斯韦速度分布定律，气体中分子的速度分布服从高斯分布，也就是正态分布。
在一维情况下，麦克斯韦速度分布可以用以下公式表示：f(v) = (m/2πkT)^(1/2) * exp(-mv^2/2kT)其中，f(v)表示速度为v的分子的分布函数，m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为系统的热力学温度。
麦克斯韦速度分布告诉我们，气体分子的速度在不同范围内服从不同的分布。
更具体地说，分子的速度大致呈正态分布，而且随着速度的增大而逐渐减小。
这个分布曲线在速度较小的情况下逐渐上升，然后在速度达到峰值后迅速下降。
麦克斯韦速度分布的重要性在于，它可以帮助我们理解气体的热运动性质。
通过麦克斯韦速度分布，我们可以计算出气体中分子的平均速度、平均动能等重要参数，进而推导出气体的热力学性质。
总结一下，统计力学中的玻尔兹曼分布和麦克斯韦速度分布是描述非简并理想气体平衡态的重要工具。
玻尔兹曼分布告诉我们系统中不同能级上粒子的分布情况，而麦克斯韦速度分布描述了气体分子的速度分布。
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
玻尔兹曼分布律
2
e
m 2kT
(vx2
v
2 y
vz2
)
dvxdvy
dvz
3
并注意到 v2 vx2 vy2 v，z2
则有
dN 4 (
m
)3/ 2
mv2
e 2kT
v2
dv
N
2k T
此即麦克斯韦速率分布律。
f v 1 dN , dN f vdv
N dv
N
二、玻尔兹曼分布律
麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布
e
Ek kT
d)
2 kT
因为在速率空间中有
d 4v2dv
所以，有
dN /
Ep
n0e kT dV
m
3
2 mv2
e 2kT
0 2kT
4v 2 dv
8
又
f (v)dv 1
0
Ep
dN n0e kT dV
表示在空间某位置（具有Ep）的体积元dV＝dxdydz内的总 分子数。 ２、分子数密度按势能分布的规律
dN N
A(
m
2 k
T
)3
/
2
e
Ek E kT
p
dvx
dv
y
dvz
dxdydz
dN
C( m
2 kT
) e 3/ 2
Ep EK kT
dvx dv y dvz dxdydz
Ep EK
E
e kT e kT
称玻尔兹曼因子 Ｃ＝ＡＮ
比例常数
dN
C( m
2 kT
)3/ 2
E
e kT
dvx dvy dvz dxdydz
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的讲解与应用
麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的讲解与应用麦克斯韦玻尔兹曼分布定律是统计力学中一个重要的概念，描述了理想气体中不同速度分子的数量分布情况。
本文将对麦克斯韦玻尔兹曼分布定律进行详细的讲解，并探讨其在化学、物理等领域的应用。
1. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的概述麦克斯韦玻尔兹曼分布定律是由麦克斯韦和玻尔兹曼独立提出的，描述了理想气体中不同速度分子的数量分布情况。
该定律的核心思想是，处于热平衡状态下的气体中，不同速度分子的数量与其速度的平方成正比。
2. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的数学表达麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的数学表达式为：f(v) = 4πv²(N/m)(e^(-(mv²)/(2kT))),其中，f(v)表示速度为v的分子的数密度，N为气体的分子数，m 为单个分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
3. 速率常数与分子速度的关系根据麦克斯韦玻尔兹曼分布定律，不同速率的分子的分数与它的速度的平方成正比。
这意味着，在给定温度下，分子速度较大的分子比速度较小的分子更加稀少。
4. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在化学反应中的应用麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在化学反应中有着广泛的应用。
根据该定律，速度较大的分子具有较高的平均能量，更有可能发生反应。
因此，在反应速率较快的条件下，分子间碰撞的频率会增加，从而促进反应的进行。
5. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律对理想气体的应用在理想气体的研究中，麦克斯韦玻尔兹曼分布定律被广泛应用。
通过该定律，可以计算出理想气体在不同温度下分子的速率分布情况，进而评估气体的性质和行为。
6. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的实验验证麦克斯韦玻尔兹曼分布定律可以通过实验进行验证。
实验通常采用气体扩散、光散射等技术手段来测量不同速度分子的分布情况，并与理论计算结果进行比较。
7. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的局限性尽管麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在描述理想气体中分子的速率分布具有广泛应用，但在非理想气体和高密度气体中，由于分子间相互作用的影响，实际分子速度分布可能与理论预测有所偏差。
26麦克斯韦速率分布率玻尔兹曼分布定律
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率 全部分子速率之和 分子总数
v
vdN
0
1
v Nf (v)dv
N
N0
v v f (v)dv
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。
p nkT
gh
n0kTe kT
gh
p0e kT
式中 p0 是高度为零处的压强
(等温气压公式)
例 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10 m，大气压 约降低133.3 Pa。试用恒温气压公式验证此结果（海平面 上大气压按1.013×105 Pa 计，温度取273K）。
间内分子数的比率为 dN N
单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
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02
2
(4) 速率的任意函数的平均值 g g(v) f (v)dv 0
指出下列各式的物理意义
f (v)dv
Nf (v)dv
vP f (v)dv
0
v2 Nf (v)dv
v1
Nf (v)dv
0
1 mv2 f (v)dv 02
v2 N 1 mv2 f (v)dv
2 v1
f (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数占总分子数的比率 N
说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线
·由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
不相同
T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v v2
v
能用 v 2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
(3) 平均平动动能
K
1 N
0 K dN
0 K f (v)dv
1 mv2 f (v)dv 3 kT
02
02
N N 02
分子的平均平动动能
v2 N 1 mv2 f (v)dv v2 1 mv2dN
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
v2
vdN
v2
vf (v)dv
v2 v dN
v1
v1
N v1
N
vv1~v2 ;
v2
v2
v2
vdN vNf (v)dv vf (v)dv
v v1
v1 ~v2
v2
v1 v2
v1 v2
dN Nf (v)dv f (v)dv
f(v) T
率范围内所有各个
速率间隔中的分子
数与总分子数的比
率的总和
O
vp
v
f (v )dv 1 (归一化条件)
0
·最概然速率v p
( 速率分布曲线 )
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
df (v ) dv
0
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
物理意义：将速率分为相等的速率间隔，则在包含vp的间 隔中的分子数最多。
v1
v1
v1
2. 方均根速率
分子速率平方的平均值
全部分子速率平方之和 分子总数
v 2
v 2dN
0
1
v
2
Nf
(v )dv
v
2
f
(v )dv
3kT
N
N0
0μΒιβλιοθήκη v 2 3kT 1.73 RT
μ
M
3. 最概然速率
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
说明
f(v)
(1) 一般三种速率用途各
§9.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~ 18 3000 30%
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布在整个速
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率 全部分子速率之和 分子总数
v
vdN
0
1
v Nf (v)dv
N
N0
v v f (v)dv
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
19 ~20 4000 40%
21~22 1000 10%
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率 按速率的分布
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布数
二. 速率分布函数 f (v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
Nf (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数
vP f (v)dv vP dN N
0
0N N
速率在0~vp之间的分子数占总 分子数的比率
v2 Nf (v)dv v2 dN N 速率在v1~v2之间的分子数
v1
v1
Nf (v)dv dN N
分子总数
0
0
1 mv2 f (v)dv 1 mv2 dN 1 1 mv2dN
·不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
由于曲线下的面积不变,由此可见
vp
2kT μ
① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动
② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2( > μ1) μ1
O v p1 v p2
vO
2πkT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
间内分子数的比率为 dN N
单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
v L
(2) 通过改变角速度ω的大小，
选择速率v
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间
v
L 2
v
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率
下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v 2 / 2kT ( 麦克斯韦速率分布函数 )