26麦克斯韦速率分布率玻尔兹曼分布定律

v1
v1
Leabharlann Baidu
v1
2. 方均根速率
分子速率平方的平均值
全部分子速率平方之和 分子总数
v 2
v 2dN
0
1
v
2
Nf
(v )dv
v
2
f
(v )dv
3kT
N
N0
0
μ
v 2 3kT 1.73 RT
μ
M
3. 最概然速率
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
说明
f(v)
(1) 一般三种速率用途各
不相同
T
·讨论速率分布一般用 v p ·讨论分子的碰撞次数用 v
·讨论分子的平均平动动 O
vp v v2
v
能用 v 2
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p
(3) 平均平动动能
K
1 N
0 K dN
0 K f (v)dv
1 mv2 f (v)dv 3 kT
2πkT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
02
2
(4) 速率的任意函数的平均值 g g(v) f (v)dv 0
指出下列各式的物理意义
f (v)dv
Nf (v)dv
vP f (v)dv
0
v2 Nf (v)dv
v1
Nf (v)dv
0
1 mv2 f (v)dv 02
v2 N 1 mv2 f (v)dv
2 v1
f (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数占总分子数的比率 N
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布在整个速
f(v) T
率范围内所有各个
速率间隔中的分子
数与总分子数的比
率的总和
O
vp
v
f (v )dv 1 (归一化条件)
0
·最概然速率v p
( 速率分布曲线 )
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
df (v ) dv
0
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
物理意义：将速率分为相等的速率间隔，则在包含vp的间 隔中的分子数最多。
间内分子数的比率为 dN N
单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
f (v) dN Ndv
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总
分子数的比率。
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置 2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
v L
(2) 通过改变角速度ω的大小，
19 ~20 4000 40%
21~22 1000 10%
例如气体分子按速率的分布
速率
v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv
…
分子数按速率
的分布
ΔN1
ΔN2
…
ΔNi
…
分子数比率 按速率的分布
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布数
二. 速率分布函数 f (v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率 全部分子速率之和 分子总数
v
vdN
0
1
v Nf (v)dv
N
N0
v v f (v)dv
8kT 1.59
RT
0
π
M
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
k
R N0
8.31 6.022 1023
1.381023 J/K
Nf (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数
vP f (v)dv vP dN N
0
0N N
速率在0~vp之间的分子数占总 分子数的比率
v2 Nf (v)dv v2 dN N 速率在v1~v2之间的分子数
v1
v1
Nf (v)dv dN N
分子总数
0
0
1 mv2 f (v)dv 1 mv2 dN 1 1 mv2dN
·不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系
由于曲线下的面积不变,由此可见
vp
2kT μ
① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动
② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2( > μ1) μ1
O v p1 v p2
vO
思考：
v 2 vf
v1
(v )dv
是否表示在v1
~v2 区间内的平均速率
？
v2
vdN
v2
vf (v)dv
v2 v dN
v1
v1
N v1
N
vv1~v2 ;
v2
v2
v2
vdN vNf (v)dv vf (v)dv
v v1
v1 ~v2
v2
v1 v2
v1 v2
dN Nf (v)dv f (v)dv
02
02
N N 02
分子的平均平动动能
v2 N 1 mv2 f (v)dv v2 1 mv2dN
选择速率v
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间
v
L 2
v
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率
下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 ( ) v e 3/ 2 2 v 2 / 2kT ( 麦克斯韦速率分布函数 )
说明
(1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。
(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。
(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线
·由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。
§9.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
17 ~ 18 3000 30%