微积分第二章第四节极限运算法则教案
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微积分2-5
4
故a 6, b 7.
例12 设 lim( x2＋2＋ax b) 2,求a、b. x x 1
解 左边 lim x2 2 axx 1 bx 1
x
x1
1 ax2 a bx 2 b
lim
x
x1
商的极限存在，必须
1a 0， ab 2
解得 a 1 ， b 3 .
例13
§2.5 极限的运算法则
一、极限的运算法则 二、求极限方法举例
多项式与分式函数代入法求极限; 消去零因子法求极限; 无穷小因子分出法求极限; 利用无穷小量运算性质求极限; 利用左右极限求分段函数极限.
一、极限的运算法则
定理:在某一变化过程中，如果变量 x 和变量 y 分别以
A 与 B 为极限，则变量 x y 以 A B 为极限，即
x2
321 7 0
所以
2x2 lim
x5
x2 3x 1
lim(2x2 x 5)
x2
5
lim(3x 1) 7
x2
练习
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
练习
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x 2 3 x 5) x2
lim x 2 lim 3x lim 5
x4 x 4 x4 ( x 4)( x 2)
lim
x4
x4 ( x 4)( x 2)
lim 1 1 x4 x 2 4
(消去零因子法)
例9
求
lim (
x 2
1 x
2
12 x3
) 8
人大版 微积分 第二章 极限的运算法则
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
大学数学教案：微积分中的极限和导数
大学数学教案：微积分中的极限和导数概述本教案将介绍微积分中的两个重要概念：极限和导数。
这两个概念是微积分的基石，对于理解函数的性质和计算变化率非常重要。
通过本教案的学习，学生将能够掌握极限和导数的定义、计算方法以及应用。
目标•理解极限和导数的定义；•学会用极限求函数在某点处的极限值；•掌握导数的计算方法，包括用导数求函数在某点处的切线斜率；•熟练运用导数求函数图像上各点处的切线方程；•了解导数在实际问题中的应用。
内容1. 极限1.1 定义•数列收敛与极限定义；•函数收敛与无穷大与无穷小定义。
1.2 计算方法•极限运算法则；•已知极限求新复杂表达式下的极限。
2. 导数2.1 定义•导数定义及几何意义；•左右导数与可导性判断。
2.2 计算方法•基本导数公式；•高阶导数的计算。
2.3 应用•导数与函数图像的关系；•切线方程求解；•最值问题与导数应用。
学习任务1. 极限学习任务1.阅读极限定义及相关概念，理解数列和函数的收敛性；2.熟悉极限运算法则，掌握基本的极限计算方法；3.完成练习题，巩固基本极限运算法则和计算方法。
2. 导数学习任务1.阅读导数定义及相关概念，理解导数的几何意义；2.掌握基本导数公式，并能够熟练计算函数的一阶和高阶导数；3.学习如何通过导数求函数图像上各点处的切线方程；4.完成练习题，提升对于导数计算和应用的理解和熟练度。
总结本教案通过详细介绍了微积分中的两个重要概念：极限和导数。
通过学习这两个概念，学生可以深入理解函数的性质和变化率，并运用它们解决实际问题。
通过掌握极限的定义和计算方法，学生可以求得函数在某点处的极限值；而对于导数，学生不仅能够计算切线斜率，还能在图像上求出各点处的切线方程，并应用导数解决最值问题。
通过练习题的完成，学生可以提升对于极限和导数的运用能力和理解深度。
希望学生们通过本教案的学习，掌握微积分中的极限和导数概念及相关应用，并能够将它们灵活运用到实际问题中。
高等数学II_(微积分_龚德恩_范培华)2.4_极限的运算法则与复合函数的极限
如果 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 那么
x x0 x x0
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x x0 x x0 x x0
(2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x u x u
15
例7 求 lim( x 5) 2 .
x3
解 lim( x 5) 2
x3
u x 5, x 3，则u 8
lim u 2
u 8
64
16
例8 求 lim e .
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
解 lim e
x
1 x
1 u , x , 则u 0 x
x 1 1 x
20
x2 2 x 8 ( x 2)( x 4) lim lim 2 x 2 ( x 2)( x 2 x 4) x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
x4 2 4 1 lim 2 x2 ( x 2 x 4) 4 4 4 2
x x0 x x0 x x0
lim f ( x ) A f ( x) x x0 (3)当 B 0时, lim . x x0 g ( x ) lim g( x ) B
x x0
注：上述性质只表述了 x x0的情形，事实上对于 x x0 , x x0 , x , x , x 的情形，性质也是成立的。
11
Pn ( x ) 下面全面考察分式函数的极限 lim , 其中 x Q ( x ) m n n 1 Pn ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,(an 0);
x x0 x x0
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x x0 x x0 x x0
(2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x u x u
15
例7 求 lim( x 5) 2 .
x3
解 lim( x 5) 2
x3
u x 5, x 3，则u 8
lim u 2
u 8
64
16
例8 求 lim e .
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
解 lim e
x
1 x
1 u , x , 则u 0 x
x 1 1 x
20
x2 2 x 8 ( x 2)( x 4) lim lim 2 x 2 ( x 2)( x 2 x 4) x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
x4 2 4 1 lim 2 x2 ( x 2 x 4) 4 4 4 2
x x0 x x0 x x0
lim f ( x ) A f ( x) x x0 (3)当 B 0时, lim . x x0 g ( x ) lim g( x ) B
x x0
注：上述性质只表述了 x x0的情形，事实上对于 x x0 , x x0 , x , x , x 的情形，性质也是成立的。
11
Pn ( x ) 下面全面考察分式函数的极限 lim , 其中 x Q ( x ) m n n 1 Pn ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,(an 0);
微积分— 极限的运算
2x
5、
1 lim( x1 1
x
3 1 x3
)
6、
lim
x
(2x
3)20 (3x (2x 1)50
2)30
7、 lim (x h)2 x2
h0
h
8. 设f
(x)
x2
2x 3, x 1
x
1 ,求 lim
f
( x).
4 x
x1
,x 1
例 1 求lim(3x2 2x1) x1
解 lim(3x2 2x1) lim 3x2 lim 2xlim1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x1
x 1
x1
3(lim x)2 21321 2 x1
《微积分》(第三版) 教学课件
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而 lim n 1， lim n 1，
n n2 n
n n2 1
1
1
1
由准则(I)得 lim
1.
n n2 1 n2 2
n2 n
《微积分》(第三版) 教学课件
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单调数列 设有数列ynf(n) 如果对任何正整数n 恒有f(n)f(n1) 则称f(n)为单调增
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（三）两个重要极限
定理211(准则I) 如果在某个变化过程中 三个变量x、y及z满足下列条件 (1)yxz (2)lim ylim zA
则 lim xA
例12. 证明limsin x 0 x0
证
当|x| 1
《高数教学课件》第二节之四4.极限运算法则
第二节之四 4.极限运算法则
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
目
CONTENCT
录
• 极限运算法则概述 • 极限运算法则的分类 • 极限运算法则的应用 • 极限运算法则的注意事项
01
极限运算法则概述
极限运算法则的定义
极限运算法则定义
极限运算法则是微积分中的基本概念，它涉及到函数在某点的极 限值以及极限的运算性质。极限运算法则规定了函数在某点的极 限值可以通过函数的四则运算、复合函数、反函数的极限来求得 。
幂级数的展开式
如果函数f(z)在z=0处可展开为 幂级数∑an*z^n，那么 f'(z)=∑nan*z^(n-1)。
03
极限运算法则的应用
在函数分析中的应用
确定函数的有界性
通过计算函数的极限，可以判断 函数在某点的有界性，进而分析 函数的整体性质。
研究函数的连续性
极限运算法则可以用于判断函数 在某点的连续性，以及研究函数 在某点的可导性和可微性。
02
极限运算法则的分类
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法法则
减法法则
乘法法则
除法法则
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) + g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
如果lim(x→a) f(x)和lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) [f(x) g(x)]也存在，并且等于 lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
极限的复合运算法则
极限的复合函数
如果lim(x→a) u = u₀，且y=f(u)，那么lim(u→u₀) f(u)=f[lim(u→u₀)]。
极限的运算教案
极限的运算教案教案标题：极限的运算教案教案目标：1. 理解极限的概念及其运算规则。
2. 掌握极限运算的基本技巧。
3. 能够应用极限运算解决实际问题。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，通过提问和实例引导学生思考。
2. 回顾函数的极限定义和求解方法。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍极限的四则运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 解释每个运算法则的推导过程和应用条件。
3. 提供示例演示运用运算法则解决极限问题。
三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题册，让学生独立完成一些基础的极限运算练习。
2. 鼓励学生在小组内相互讨论解题思路和方法。
3. 选取几道典型题目进行讲解和解答，帮助学生理解和掌握运算法则的应用。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用极限运算解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学表达式，并进行极限运算。
3. 学生展示解题过程和结果，并进行讨论和评价。
五、总结与归纳（5分钟）1. 总结极限的运算法则及其应用要点。
2. 强调极限运算在数学和实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。
2. 检查学生完成的练习题和解题过程。
3. 针对学生的学习情况，提供个别辅导和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的极限运算问题。
2. 引导学生研究不同函数类型的极限运算规律。
3. 扩展到多元函数的极限运算。
教案备注：1. 教师应提前准备好教学材料和示例题目。
2. 鼓励学生积极参与讨论和解答问题，激发他们的学习兴趣。
3. 根据学生的实际情况，适当调整教学内容和难度。
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
经济数学微积分极限运算法则
二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
x x0
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
x 2＋ax b 例4 设 lim 2 2, 求a、b. x 1 x 2 x 3 , 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
第四节
极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
微积分2.4 极限的运算法则
2
2 x2
多项式(有理整函数)的极限 设
x x0
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an , 则有
x x0
lim f ( x ) lim(a0 x n a1 x n1 1 lim x n1 an1 lim x an
第三节 极限的运算法则 一、极限的四则运算法则 二、复合函数极限运算法则
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第四节 极限的运算法则
一、极限的四则运算
定理 设lim f ( x) A, lim g ( x) B，则
(1)lim[f (x ) g (x )] A B;
(2)lim[f (x ) g (x )] A B ;
2 x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
10
1 1 2 2 2 x2 x 1 x x 2. 解 lim lim x x 2 x2 2 1 2 x x2 1 例 求lim 3 . ( ) x x x 2 解 分子分母同时除以x3，然后再求极限，得 1 1 3 x2 1 lim 3 lim x x 0. x x x 2 x 1 2 1 2 3 x x
2
1 x 1 ( 0 ) 例 求极限 lim x 0 0 x ( 1 x 1)( 1 x 1) 1 x 1 解 lim lim x 0 x 0 x( 1 x 1) x
x 1 1 lim lim x 0 x ( 1 x 1) x 0 1 x 1 2
2 x2
多项式(有理整函数)的极限 设
x x0
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an , 则有
x x0
lim f ( x ) lim(a0 x n a1 x n1 1 lim x n1 an1 lim x an
第三节 极限的运算法则 一、极限的四则运算法则 二、复合函数极限运算法则
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第四节 极限的运算法则
一、极限的四则运算
定理 设lim f ( x) A, lim g ( x) B，则
(1)lim[f (x ) g (x )] A B;
(2)lim[f (x ) g (x )] A B ;
2 x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.
10
1 1 2 2 2 x2 x 1 x x 2. 解 lim lim x x 2 x2 2 1 2 x x2 1 例 求lim 3 . ( ) x x x 2 解 分子分母同时除以x3，然后再求极限，得 1 1 3 x2 1 lim 3 lim x x 0. x x x 2 x 1 2 1 2 3 x x
2
1 x 1 ( 0 ) 例 求极限 lim x 0 0 x ( 1 x 1)( 1 x 1) 1 x 1 解 lim lim x 0 x 0 x( 1 x 1) x
x 1 1 lim lim x 0 x ( 1 x 1) x 0 1 x 1 2
微积分 2.3 极限的运算法则
小结：求极限基本类型3—同除以x的最高次幂
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有 a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a0 x a1 x am lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m , 当 x 以自然数变化时也有同样的结论!
(1) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
(2) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B f ( x) lim f ( x) A (3) lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
注意： (1)极限过程为 : x , 极限形式为 :" "型,
(2)分子、分母同时除以自变量的最高次幂， 然后再求极限.
(提高题)
(2 x 3) (3x 1) 例10. 求 lim 50 x (2 x 1)
30
20
Sol.
(2 x) (3x) 原式 lim 50 x ( 2 x)
《微积分(Calculus )》
第二章 极限和连续
§2.3 极限的运算法则
§2.3 极限的运算法则
一. 极限的四则运算
二. 计算函数极限举例
教学要求：
掌握极限四则运算法则，会用极限四则 运算法则计算基本类型的函数极限。
一. 极限的四则运算
定理1： 若 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B, 则
3.分子分母同除以最高次幂
极限过程为 : x , 极限形式为 :" "型,
高等数学微积分第2章第4节极限的四则运算
x2 ax b
limBiblioteka 3x1 x 1所以 lim( x2 ax b) 0 x1
又 lim( x2 ax b) 1 a b 故 1 a b 0 x1
将 b 1 a 代入原式
得 lim x2 ax 1 a lim ( x 1)( x 1 a) 2 a
x
( x1 x)
lim
1
x x 1 x
0.
6.x 时多项式 / 多项式的极限
例8
求
lim
x
2x2 3x 3x3 4x2
1 2
.
解
原式
2 lim[( x x
3 x2
1 x3
) /(3
4 x
2 x3
)]
0.
例9
求
lim
x
3
约去公因子.
既使不是
0 0
型,
只要分子
分母中有公因子, 一般的处理方法也是
将公因子先约去然后再计算.
(3) 带根号将根号有理化.
5.函数相减求极限(其中每一部分均为)
例6
求
lim( 1 x1 x 1
2 x2 1).
解
原式
lim
x1
(
x 1) x2
1
2
lim
x1
x1 x2 1
7.分段函数求极限
8.数列求极限 9.杂例
总结
作业题
1.牢记各种类型极限的求法. 2.习题二 (A) 10、11、12、13、
14、15、16.
例2 求 lim x2 3x 1 . x2 x 3
极限运算法则【高等数学PPT课件】
3
( x 2)( x 1)
lim
x1
(
x
1)(
x2
x
1)
x2
lim
x 1
x2
x
1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x
x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)
u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)
A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
函数的极限运算教案
函数的极限运算教案一、引言函数的极限是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质和计算函数的变化趋势等问题有重要的作用。
本教案将从定义、性质和运算等方面系统地介绍函数的极限运算，帮助学生全面理解和掌握这一概念。
二、定义和记法1. 函数的极限定义：对于函数f(x)，当自变量x趋向于某一实数a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε（无论ε有多么小），总能找到一个正数δ（对应于ε），使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限是L。
记作：lim(x→a)f(x) = L2. 函数的单侧极限：当函数f(x)在a点的邻域内只有一个方向的极限存在时，称其为单侧极限。
分别表示为：lim(x→a+)f(x) 和lim(x→a-)f(x)3. 极限的无穷性：当x趋向于±∞时的极限称为无穷极限，分别表示为：lim(x→∞)f(x) 和lim(x→-∞)f(x)三、函数极限的性质1. 极限的唯一性：函数的极限如果存在，那么极限值唯一。
2. 极限的局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的某个邻域内极限存在，那么f(x)在该邻域内有界。
3. 四则运算法则：若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)分别存在，则有以下运算法则：a) 两个函数的和的极限等于极限的和：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)b) 两个函数的差的极限等于极限的差：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)c) 两个函数的乘积的极限等于极限的乘积：lim(x→a)(f(x) * g(x)) = lim(x→a)f(x) * lim(x→a)g(x)d) 一个函数的极限与另一个函数的商的极限的商等于极限的商（假设分母的极限不为0）：lim(x→a)(f(x) / g(x)) = lim(x→a)f(x) /lim(x→a)g(x)4. 复合函数的极限：若lim(x→a)f(x) = L，lim(y→L)g(y) = M，则有以下复合函数的极限关系：lim(x→a)g(f(x)) = M四、极限运算的计算方法1. 直接代入法：当函数在极限点处有定义时，可以通过将极限点代入函数来计算极限值。
-极限的运算法则
x
x
lim cos x ln x
ex
eln
1.
这是求幂指函数极限常用的方法:
lim f (x)(x) exp{ lim (x)ln f (x) }.
即 lim f (x) (x) lime (x)ln f (x) elim (x)ln f (x).
例10
求
lim x1
x
1
1
xx321 .
第二章 极限与连续
§27 极限运算法则
极限运算法则的理论依据
定理 lim f (x) a f (x) a (x)
((x) 0 )
法则
依据无穷小量的运算法则
一. 极限运算法则
设 lim f (x) a , lim g(x) b 存在 , 则
f (x) a , g(x) b , (, 0 ) .
解 这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行 通分运算, 设法去掉不定因素, 然后运用四则运算 法则求其极限.
lim x1
x
1 1
xx321
lim
x1
x2 x3
1 1
( 通分 )
lim
x1
x2
x 1 x
1
2 3
.
例11
若
ex 1, f (x)
x 0 , 问 b 取何值时,
x b, x 0
x
b0
x
,
即得所证.
nm n m， nm
例6 解
求 lim 3x3 2x 2 x 1. x2 x2 5x 3
lim 3x3 2x2 x 1 x2 x2 5x 3
3
23 2 22 22 52
2 3
1
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? lim x ? 1 ? a ? 2 ? a ? 2.
x? 1 x ? 3
4
故a ? 6,b ? ? 7.
例5
求
lim
x? ?
2x3 7x3
? ?
3x2 4x2
? ?
5 1
.
? (?
型)
解 x ? ? 时, 分子,分母的极限都是
.
先用x3去除分子分母 ,分出无穷 ,再求 .
2x3 ?
lim
x? ?
证 ? lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B. ? f ( x) ? A ? ? , g(x) ? B ? ? . 其中? ? 0,? ? 0. 由无穷小运算法则 ,得
[ f ( x) ? g( x)] ? ( A ? B) ? ? ? ? ? 0. ? (1)成立.
[ f ( x) ?g( x)] ? ( A?B) ? ( A ? ? )(B ? ? ) ? A
又? lim(4x ? 1) ? 3 ? 0, x? 1
?
lim x 2 ? 2x ? 3 ? x? 1 4x ? 1
0? 3
0.
由无穷小与无穷大的关系 ,得
lim
x? 1
4x ? 1 x2 ? 2x ?
3
?
?
.
例3
求
lim
x? 1
x2
x2 ? 1 ? 2x ?
3
.
解 x ? 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 0 型 ) 0
?
? ? ?? ?
a0 ,当 b0 0,当n
n ?
? m, m,
??? ,当n ? m,
??
无穷小分出法 :以分母中自变量的最高次幂除分
子、分母 ,以分出无穷小 ,然后再求极限 .
例6 设 lim( x 2＋2 ＋ax ? b) ? 2, 求a、b. x? ? x ? 1
解 左边 ? lim x2 ? 2 ? ax?x ? 1?? b?x ? 1?
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x? 2
x2
x3 ? 1 ? 3x ?
. 5
解 ? lim( x 2 ? 3 x ? 5) ? lim x 2 ? lim 3 x ? lim 5
x? 2
x? 2
x? 2
x? 2
? (lim x)2 ? 3 lim x ? lim 5
x? 2
x? 2
x? 2
? 22 ? 3 ?2 ? 5 ? 3 ? 0,
7x3
?
3x2 4x2
? ?
5? 1
2? lim x? ? 7 ?
3? x 4? x
5 x3 1 x3
?
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结:当a0 ? 0, b0 ? 0, m和n为非负整
lim
x? ?
a0 xm b0 x n
? ?
a1 x m? 1 b1 x n? 1
? ?
? ?
? am ? bn
2
22
?
B(B ?
?)
?
1 B2, 2
故
1 B(B ?
?)
?
2 B2
,
有界，
? (3)成立.
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数 ,则 lim[cf ( x)] ? c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面 .
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n ? [lim f ( x)]n .
先变形再求极限 .
1
lim
n? ?
(
n
2
?
2 n2
?
?
?
n n2
)
?
lim 1 ?
因子 x ? 1 后再求极 .
lim
x? 1
x2
x2 ? 1 ? 2x ?
3
?
lim
x? 1
(x (x
? ?
1)( x 3)( x
? ?
1) 1)
? lim x ? 1 ? 1 . x? 1 x ? 3 2
(消去零因子法)
例4
设
lim
x? 1
x 2＋ax ? x2 ? 2x ?
P(x0 ) Q( x0 )
?
f ( x0 ).
若 Q( x0 ) ? 0, 则商的法则不能应用 .
3. 设 f ( x)为基本初等函数 , 其定义域为 D ,
当 x0 ?
D 时，lim x? x0
f (x) ?
f ( x0 ).
例2
求
lim
x? 1
4x ? 1 x2 ? 2x ?
3
.
解 ? lim( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0, 商的法则不能用 x? 1
第四节 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) ? A, lim g( x) ? B,则 (1) lim[ f ( x) ? g( x)] ? A ? B; (2) lim[ f ( x) ?g( x)] ? A?B; (3) lim f ( x) ? A, 其中B ? 0. g(x) B
b 3
?
2, 求 a、 b.
解 x ? 1时, 分母的极限是零 , 而商的极限 .
则 lim ( x 2 ? ax ? b) ? 1 ? a ? b ? 0. x? 1
于是
lim
x? 1
x 2＋ax ? x2 ? 2x ?
b 3
?
lim
x? 1
(x ? (x
1 ? a)( x ? 3)( x ?
? 1) 1)
x? ?
x?1
? lim ?1? a ?x2 ? ?a ? b?x ? 2 ? b
x? ?
x?1
商的极限存在，必须
1? a ? 0 ， a ? b ? 2
解得 a ? ?1 ， b ? 3 .
例7
求
1
lim
n? ?
(
n
2
?
2 n2
?
?
? n ). n2
解 n ? ? 时 ,是无限多个无穷小之和 ．
x)n
?
a1
(
lim
x? x0
x)n?1 ? ?
? an
? a0 x0n ? a1 x0n? 1 ? ? ? an ? f ( x0 ).
2. 设
f (x) ?
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
?
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) ? x? x0
x? x0
lim Q( x)
x? x0
?
? ( A? ? B? ) ? ?? ? 0.
? (2)成立.
f (x) g( x)
?
A B
?
A? B?
? ?
?
A B
?
B? ? A? B(B ? ? )
? B? ? A? ? 0.
又? ? ? 0, B ? 0, ? ? ? 0, 当0 ? x ? x0 ? ?时,
? ? B, ? B?? ? B? ? ? B?1B ? 1B
?
x3 ? 1
lim
x? 2
x2
?
3x
?
5
?
lim x 3 ? lim 1
x? 2
lim( x 2
?
x?
3x
2
?
5)
?
23 ? 1 ? 3
7. 3
x? 2
小结: 1. 设 f ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? an ,则
lim
x? x0
f (x) ?
a
0
(
lim
x? x0