扭转习题解答
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扭转习题解答
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第7章 圆轴扭转
主要知识点:(1)圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图;
(2)圆轴扭转时的应力和强度计算;
(3)圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图
1. 已知圆杆横截面上的扭矩,试画出截面上与T 对应的切应力分布图。
解:截面上与T 对应的切应力分布图如下:
2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2
解:a)采用截面法计算扭矩(见图7-2a )。
取1-1截面左侧外力偶矩计算,可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算,由平衡方程
062122=+⋅-+-T m kN )(,可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算,可得m kN T ⋅=-133。
b) 采用截面法计算扭矩(见图7-2b )。
取1-1截面左侧外力偶矩计算,可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算,由平衡方程
05522=+⋅+-T m kN )(,可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算,由平衡方程
03333=+⋅+-T m kN )(,可得m kN T ⋅-=-633。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解:a)采用截面法计算扭矩(见图7-3a )。取1-1截面左侧外力偶矩计算,可得m kN T ⋅=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算,可得m kN T ⋅-=-222。作出扭矩图。 a) b)
图7-3
b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=(负号表示与图中假设方向相反)。采用截面法计算扭矩(见图7-3b )。取1-1截面左侧外力偶矩计算,可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算,可得e M T -=-22。作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算
4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接,如图所示。已知轴的转速n =100r/min ,传递的功率P=,材料的许用应力][τ=40MP a ,试通过计算确定
(1) 采用实心轴时,直径d 1和的大小;
(2) 采用内外径比值为1/2的空心轴时,外径D 2的大小。
解:计算外力偶矩,作用在轴上的外力偶矩:
(1)采用实心轴时,直径d 1的大小应满足下式:
解得 mm m T d 0.4510
40716][36163161=⨯⨯=⨯≥ππτ (2)采用内外径比值α=1/2的空心轴时,外径D 2的大小应满足下式:
图7-7
解得 mm m T D 0.46)
5.01(1040716)1]([346163
4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥ππατ 5. 如图所示为皮带传动轴,轴的直径d =50mm ,轴的转速为n =180r/min ,轴上装有四个皮带轮。已知A 轮的输入功率为P A =20kW ,轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ,P C =10kW ,P D =7kW ,轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。
(1)画出轴的扭矩图。 (2)校核轴的强度。
图7-5
解:(1)画扭矩图 计算外力偶矩,作用在各轮上的外力偶矩:
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591;2-2截面的扭矩为
m N M M T B A ⋅=-=9022;3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。绘出的扭矩图如图7-5所示。
(2)强度校核
由图可见AC 段扭矩最大,由于是等截面圆轴,故危险截面在AC 段内。 由于a a a P W T MP = 902332max τπτ)(,所以轴满足强度条件。 圆轴扭转时的变形和刚度计算 6. 图示圆轴长l =500mm ,直径d =60mm ,受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2=7kN ·m 作用,材料的剪切弹性模量G=80GP a (1)画出轴的扭矩图; (2)求轴的最大切应力; (3)求轴的最大单位长度扭转角。 解:(1)绘扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121, 2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。绘出扭矩图如右图。 (2)由扭矩图可见BC 段扭矩最大,由于是等截面圆轴,故危险截面在BC 段内。得其最大切应力为 (3)BC 段扭矩最大,BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。 7.如图示,在一直径为75mm 的等截面轴上,作用着外力偶矩:M 1=1000N ·m ,M 2=600N ·m ,M 3=M 4=200N ·m ,材料的剪切弹性模量G=80GP a 。要求: (1)画出轴的扭矩图; (2)求出轴的最大切应力; (3)求出轴的总扭转角。 解:(1)画扭矩图 用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011;2-2截面的扭矩为 m N M M T ⋅=-=400212;3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。绘出的扭矩图如图7-7所示。 (2)由图7-7可见AB 段扭矩最大,由于是等截面圆轴,故危险截面在AB 段内。轴的最大切应力 (3)求轴的总扭转角: D 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角 8. 一钢轴的转速n=240r/min ,传递的功率为P=44kW 。已知][τ=40MP a ,][θ=1/m ,G=80GP a ,试按强度和刚度条件确定轴的直径。 解:钢轴的扭矩 (1)按强度条件确定轴的直径 直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件: 解得 mm m T d 6.60104016 1751][16363 1=⨯⨯=⨯≥πτπ (2)按刚度条件确定轴的直径 直径d 2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件: ][18032 18042θπππθ≤⨯⨯=⨯=d G T GI T P (/m) 解得 mm m G T d 8.59180132 10801751180][324942=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≥πππθπ 由于钢轴既要满足强度条件,又要满足刚度条件,所以d 取直径d 1和直径d 2中较大的,确定钢轴直径mm d 6.60=。