【精品】高考数学考前必考题的捷径解法

2013年高考数学考前必考题的捷径解法

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中,某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0,先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1 x的值域时，

易发现x∈[0，1］，设x＝sin2α，α∈[0，π

2

]，问题变成了熟悉的求三角函数

值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r〉0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S

2

＋t，y＝

S

2

－t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩

小也不能扩大.如上几例中的t〉0和α∈［0，π

2］.

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f（x2＋1）＝log

a

（4－x4）（a>1），则f（x)的值域是_______________。

3.已知数列{a

n }中，a

1

＝－1，a

n+1

·a

n

＝a

n+1

－a

n

，则数列通项a

n

＝___________。

4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

＝3的解是_______________.

6.不等式log

2(2x－1)·log

2

(2x+1－2）〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 22＋t －1

2

,对称轴t ＝－1，

当t ＝2,y max ＝1

2

＋2；

2小题：设x 2＋1＝t(t ≥1），则f(t)＝log a ［-（t —1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4］； 3小题：已知变形为

11

a n +－

1a n ＝－1，设b n ＝1

a n

，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1）＝－n ，所以a n ＝－1

n

；

4小题:设x ＋y ＝k,则x 2

－2kx ＋1＝0,△＝4k 2

－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题:设3x

＝y ，则3y 2＋2y －1＝0,解得y ＝

1

3

，所以x ＝－1； 6小题：设log 2（2x

－1)＝y ，则y(y ＋1）<2，解得－2

4

,log 23）。 Ⅱ、示范性题组:

例1.实数x 、y 满足4x 2

－5xy ＋4y 2

＝5（①式），设S ＝x 2

＋y 2

，求1S max

＋

1S min

的值.

（93年全国高中数学联赛题）

【分析】由S ＝x 2

＋y 2

联想到cos 2

α＋sin 2

α＝1,于是进行三角换元，设x S y S ==⎧⎨

⎪⎩⎪cos sin αα

代入①式求S max 和S min 的值。

【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin α

α

代入①式得：4S －5S ·sin αcos α＝5

解得S ＝

10

852-sin α

；

∵—1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴

1013≤1085-sin α≤103

∴

1S max

＋

1S min

＝

310＋1310＝1610＝8

5

此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810

S S

-的有界性而求，即解不等式：|

810

S S

-｜≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.