第05章 角动量 角动量守恒定律(参考答案)

O
M
l
v m
碰撞时刻，角动量守恒
1 mlv0 J mlv Ml 2 mlv 3
解得：

3m(v0 v) Ml
（2）碰撞时刻，角动量守恒
得：
1 mlv0 J ml 2 M m l 2 3 3mv0 M 3m l
1 2 1 2 1 J mv Mg l 1 cos mgl 1 cos 2 2 2
解得
'
3 4
5.17 质量为 m 的小球， 以速度 v0 在水平冰面 上滑动，撞在与小球运动方向垂直的一根细木棍 的一端，并粘附在木棍上。设木棍的质量为 M ， 长度为 l。试求： （1 ）忽略冰的摩擦，定量地描述 小球附在木棍上后，系统的运动情况。 （2 ）刚刚 发生碰撞之后，木棍上有一点 p 是瞬时静止的， 问该点在何处？
M
O
lc
m c v
0
l
8
答案: 棒和球组成的系统为研究对象。碰撞后系统质心作匀速直线运动，同时系统绕质心 作匀速转动。 （1） 系统质心位置 c 距右端距离 lc
Ml 2(M m ) mv 0 ; (M m )
由动量守恒求质心平动速度 vc： mv 0 ( M m ) vc vc 由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度 ω：
（3）设碰后角速度为 ω’
' L ' 2mv 1
a a ' a mv 2 3 2 6

2m 1 a a 2 a ' a m '( )2 ma 2 ' 3 3 2 6 3
1 2 L' L ma2 ma 2 ' 2 3 根据角动量守恒，有
（2）对于质心所在点，碰撞前三个质点的总角动量为
a 1 a a a 2 L L1 L2 L3 mv mv( ) 0 mva m a ma 2 2 3 2 6
由于碰撞过程无外力矩作用，角动量守恒，所以碰后角动量
L' L
1 2 ma 2
5.5 在一水平放置的质量为m、 长度为l的均匀细杆上， 套着一质量也为m的套管B(可 看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直轴OO’轴的距离为l/2，杆和套管所组成的系
1
统以角速度ω0绕OO’轴转动，如图所示。若在转动 过程中细线被拉断，套管将沿着管滑动。在套管滑 动过程中，该系统转动的角速度ω与套管离轴的距 离x的函数关系为__________。 答案：
2mv R(2m M )
m R O M
5.4由一半径为R的水平圆转台， 可绕通过其中心的竖直 固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速 度ωo转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后 人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速 度为 __________ 答案：
ω
0
J 0 J mR 2
2 g 3 L
O
m
5.3 一圆柱体质量为 M,半径为 R,可绕固定的通过其中心 轴线的光滑轴转动，原来处于静止。现有一质量为 m、 子弹 速度为 v 的子弹， 沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。 嵌入圆柱体后的瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度 ω= ______________. (已知圆柱体绕固定轴的转动惯量 J =1/2 MR2 ） 答案：
解:系统碰撞前后的动量,角动量，动能守恒
5.16 有两个质量为 m 的质点，由长度为 a 的一根 轻质硬杆连结在一起，在自由空间二者质心静止， 但杆以角速度绕质心转动。杆上的一个质点与第 三个质量也是 m 但静止的质点发生碰撞，结果粘 在一起。 （1）碰撞前一瞬间三个质点的质心在何处？此质 心速度多大？
5
他们将拥有共同的速度v， 杆与物体发生完全非弹性碰撞时， 由于系统没有受到外力 矩的作用，所以角动量守恒，设碰撞后的角速度为 ω’，有：
所以：
设物体在地面上滑过的距离为s，由功能原理得到：
所以：
设摆上升的角度为θ，由机械能守恒定律得到：
所以：
6
5.15 在光滑水平桌面上整齐地互相平行的排列着一组长为 l,质量为 m 的均匀细杆, 杆间距离是足够大的,今有一质量为 M 的小球以垂直杆的速度 V0 与细杆一端作弹性 碰撞,随着细杆的旋转,此杆的另一端又与小球弹性相碰,而后小球相继再与第二杆,第 三杆,……相碰,问当 M/m 为何值时,M 才能仍以 V0 速度穿出细杆阵列？
5.8 一质量为m，半径为r的匀质圆柱体，从倾角为θ的斜面上无滑动地滚下，其质心 的加速度__________
答案：
2
5.9一飞轮半径为0.2 m、转速为150 r·min -1，因受制动而均匀减速，经30 s 停止转 动．试求：(1)角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数__________ ；(2)制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度__________ ；(3)t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度 __________切向加速度__________和法向加速度__________ 答案：(1) 37.5 r， (2) 4π rad s-1，(3) 2.5 m s-1, -0.105 m s-2, 31.6 m s-2 5.10 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受 重力为G, 滑轮的角加速度为β1，若将物体去掉而以与 G相等的力直接向下拉绳子， 滑轮的角加速度β2 将__________（填写“变大”“变小”“不变”或“无法判断”） 答案：变大 5.11 一长为l质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转 动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在 重力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到与竖直线成θ角时的角加速 度和角速度。
1 l 6v m mv 0lc mlc2 Ml 2 M ( lc )2 0 12 2 l (4 m M )
（2） 瞬时静止的一点 p 在质心的左侧， p 点绕质心转动相应瞬时向下线速度恰好 等于质心平动速度 vc, 即 pc v c
2 3m 2v0 cos 1 M 3m M 2m gl
T Mg mr1 2

Mg mr1
' r12 '/ r22
由于无外力矩作用，m 对 o 点的角动量守恒
mr12 mr22 '
应用牛顿定律计算出此时的向心力
Fn mr2 2 1.17 (N)
而 M 所受的重力为 1.39N，所以 M 不能平衡，而是向下运动 5.13 质量很小长度为l的均匀细杆，可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面

3g 2l


0
sin d
解得：
3g (1 cos ) l
5.12 如图所示，光滑水平面中央有一小孔，轻的细绳穿 过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量 m 的质点，在桌 面上沿着半径为 r1 的圆周运动，轻绳下端挂一质量 M 的重物刚好平衡。 今用手将重物向上托起 1.0cm 后松开。 问：放手后能否保持平衡？若不平衡，重物向什么方向 运动？ 答案：
4
内转动。当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率 v0垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m。 问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应 以多大速率向细杆端点爬行?
答案： 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒。
由杆和小虫组成的系统内力矩为零（包括虫对杆的压力和杆对虫的支持力矩和相互 杆的重力矩为零。 由角动量定理得： 的摩擦力矩） ， 外力矩包括杆和小虫的重力矩，
m 1v 1 m 2v 2
v1 v2
9
爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！ 5.19 由一根长为 l，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一 端在竖直面内转动。若以质量为 m，速率 v0 的子弹沿与棒 垂直的方向射向棒的另一端。 （1）若子弹穿棒而过，速度为 v，求棒的旋转角速度 （2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角 答案： （1）以 m , M 为系统，以 O 为参考点。
m m
（2）碰撞前一瞬间，这三个质点对它们的质心的总角动量是多少？碰后一瞬间，又 是多少？ （3）碰撞后，整个系统绕质心转动的角速度多大？
7
答案： （1）设杆中ห้องสมุดไป่ตู้为坐标原点 x=0，碰前瞬间三质点在同一直线上，其质心为：
a a m 2 m a 2 x 2 3m 6
即离静止质点 a/3 处。 因为碰撞前杆两端质点的质心静止，第三个质点也静止，因此它们的质心也静止， 即质心速度为 0。
5.14 长为l质量为m1的匀质细杆，可绕通过O点垂直于 纸面的轴转动，令杆自水平位置静止摆下，在铅直位 置处与质量为m2的物体发生完全非弹性碰撞，如图， 碰后物体沿摩擦系数为μ的水平面滑动，求此物体滑 过的距离以及杆上升的角度。
解：杆自水平位置摆到铅直位置时，设杆在铅直位置时角速度为ω，并以地面为势 能的零点，由机械能守恒定律可以得到：
r1
O
m
M
原来处于平衡状态，M 受的合外力为零。即绳中张力 T=Mg，T 也等于 m 做圆周运 动的向心力。当把 M 抬高 1 cm 时，m 的圆周运动半径增大了 1 cm，原来的平 衡被破坏。但由于外力矩为零，所以 m 圆周运动对于圆心 o 点的角动量守恒，由 此可核算新的状态下向心力的大小，便可确定 M 是否平衡或运动。 对于圆周运动质点运用牛顿第二定律
A
B
E kA E kB .
2m 60
5.2 一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量为 m 和 2m 的小球， 此系统在竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂 （ O 轴） 直的水平光滑固定轴 转动。 开始时杆与水平成 60 o 角，处于静止状态。无初转速地释放以后，杆球这一刚体 系统绕 O 轴转动。系统绕 O 轴的转动惯量 J = _____________. 释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到 的 合 外 力 矩 M = ________________. 角 加 速 度 β = _____________ 答案：J=3/4mL2, M= 1/2mgL,
第五章 刚体定轴转动
5.1 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点 和远地点分别为 A和 B 。用 L 和 Ek 分别表示对地心的 角 动 量 及 其 动 能 的 瞬 时 值 ， 则 应 有 LA __ LB , E kA __ E kB .（填写“>” “<”或“=”） 答案： LA LB ,
pc
vc l (4 m M ) 6 (m M )
5.18 两个同样重的小孩， 各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如 图，他们起初都不动，然后右边的小孩用力向上爬绳，另 一个小孩仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。 问：哪一个小孩先到达滑轮？
答案： 设滑轮半径为 R，两小孩的质量分别为 m1=m2，把小孩看成质点，以滑轮中心为“固 定点”， 对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：角动量守恒 设两小孩分别以v 1, v 2 速度上升。则： L1 L2 0 即： m 1Rv 1 m 2Rv 2 0
解： 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得：
1 mgl sin J 2
解得

3g sin 2l
由角加速度的定义：

d d d d dt d dt d
d d
3g sin d 2l
3
代入初始条件积分 ：


0
d
5.6 长为L，质量为m的匀质细杆，可绕通过杆的端点O并与杆垂 直的水平固定轴转动。杆的另一端连接一个质量为m的小球。杆 从水平位置由静止开始自由下摆，忽略轴处的摩擦，当杆转到与 竖直方向成θ角时，小球与杆的角速度为__________
答案： 5.7 一个半径为R，质量面密度为σ的薄圆盘上，有两个半径 均为R/3的圆孔，两圆孔中心距圆盘中心的距离均为R/2，如 图。此圆盘对于通过圆盘中心而与盘面垂直的轴的转动惯量 __________ 答案：