3 指数函数的概念及图像和性质

§3 指数函数的概念及图像和性质（共3课时）

一. 教学目标：

1．知识与技能

（1）理解指数函数的概念和意义； （2）2x y =与1()2

x

y =的图象和性质；

（3）理解和掌握指数函数的图象和性质； （4）指数函数底数a 对图象的影响；

（5）底数a 对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小 （6）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观

（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. （2）培养学生观察问题，分析问题的能力. 二．重、难点

重点：

（1）指数函数的概念和性质及其应用. （2）指数函数底数a 对图象的影响；

（3）利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小 难点：

（1）利用函数单调性比较指数幂的大小 （2）指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、教法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体. 四、教学过程

第一课时

讲授新课

指数函数的定义

一般地，函数x

y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）2

2

x y += （2）(2)x y =- （3）2x

y =-

（4）x

y π= （5）2

y x = （6）2

4y x =

（7）x y x = （8）(1)x

y a =- （a ＞1，且2a ≠）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x

a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .

00

0,0x

x a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x

当时,等于若当时,无意义

若a ＜0，如1

(2),,8

x

y x x =-=

1

先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1x

x

为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况

下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象

再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2

x

y =的图象.

x

从图中我们看出12()2

x

x

y y ==与的图象有什么关系?

通过图象看出12(

)2

x

x

y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x ,y 点(-)x y x ,y y 1

与=()上点(-)关于轴对称.2

讨论：12()2

x

x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x

x x y y y y ====的函数图象.

2

第二课时

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从图上看x

y a =（a ＞1）与x

y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.

x

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

（1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；

x

例题分析

例1 比较下列各题中两个数的大小：

(1) 3 0.8 ,30.7

(2) 0.75-0.1, 0.750.1

例2 (1)求使4x>32成立的x的集合；

(2)已知a4/5>a2,求实数a的取值范围.

练习p73 1,2

作业p77习题3-3 A组4,5

课后反思：

第三课时

（1）提出问题

指数函数y=a x(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论

a>1和0

（2）动手实践

动手实践一：

在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，比较两个函数的增长快慢

一般地，a>b>1时，

（1）当x<0时，总有a x

（2）当x=0时，总a x=b x=1有；

（3）当x>0时，总a x>b x>1有；

（4）指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。

动手实践二：

分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.

总结y=a x(a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。

结论：

（1）当X>0时,a越大函数值越大；

当x<0时,a越大函数值越小。

（2）当a>1时指数函数是增函数，

当x逐渐增大时，

函数值增大得越来越快；

当0

当x逐渐增大时，

函数值减小得越来越快。

例题分析

例4 比较下列各题中两个数的大小：

(1) 1.8 0.6, 0.8 1.6; (2) (1/3) -2/3, 2 -3/5 .

(1)解由指数函数性质知1.8 0.6 >1.8 0=1,

0.8 1.6 <0.8 0=1,所以

1.8 0.6> 0.8 1.6

(2) 解由指数函数性质知(1/3) -2/3 >1,

2 -3/5 <1,所以

(1/3) -2/3> 2 -3/5

例5 已知-1

并说明理由。

解（法1）因为-1

而3>1，因此有3-x>1

又0<0.5 <1，因而有0<0.5 -x <1

故3-x >0.5-x

（法2 ）设a=-x>0, 函数f(x)=x a当x>0时

为增函数，而3>0.5>0,故f(3)>f(0.5)

即3-x >0.5-x

小结：

在比较两个指数幂大小时，常利用指数函数和幂函

数的单调性。相同底数比较指数，相同指数比较底数。

故常用到中间量“1”。

练习1，2

作业习题3-3 B组1,2