三角形边角关系练习题1

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直角三角形的边角关系单元测试

《直角三角形的边角关系》单元测试班级：姓名：学号：分数：一、选择题（每小题4分，共32分） 1.已知△ABC 中,∠C=90°,tanA=( )A ．AB AC B ．AB BC C ．BC AC D ．ACBC2.在△ABC 中,∠C=90,若sinA=31,则cosB= ( )A. 1B. 3C. 31 D 2323．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，两直角的比为５：１２，则最小角的余弦值（） A ．125 B ．123 C ．512 D ．13124．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，如果各边长度都扩大２倍，那么锐角Ａ的正切值（） A ．没有变化 B ．扩大２倍 C ．缩小２倍 D ．不能确定5.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC=4,设∠BCD=α,则 tan α的值为( ) A.34; B.43; C.35; D.456. 若∠A 为锐角,且则∠A 的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7.在 Rt △ABC 中，∠C=900, a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系式错误的是（ )A. b=c ·cosBB.b=a ·tanBC.a=c ·sinAD. a=b ·tanA 8. 等腰三角形底边长为1Ocm ，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（） A.513 B.1213 C. 1013 D. 512二.填空题:(每小题3分,共15分)1．在△ABC 中，∠Ｃ为直角，若３ＡＣ＝BC 3，则∠Ａ的度数是，cosB 的值是_ _ 。

2．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________．3.已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=513,则sinB=________.4．如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。

直角三角形的边角关系测试题及答案

AD′直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题3分,共计30分):1.在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )A 、sinA=a cB 、cosB=c bC 、cosB=a bD 、tanA=ba 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=21，则BC ∶AC ∶AB 等于( )A 、1∶2∶5B 、1∶3∶5C 、1∶3∶2D 、1∶2∶33.在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 4.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB 等于( ) A 、21 B 、22 C 、23 D 、1 5.化简2)130(tan - ＝（）。

A 、331-B 、13-C 、133-D 、13-6.等腰三角形的一腰长为6cm ，底边长为63cm ，则其底角为（）。

A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°7如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（） A. 22 B.22C. 2D. 18.当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（）。

A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°9.小刚在距某电信塔10 m 的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是 60°，则塔高为( )BNACDMA 、103mB 、53mC 、102mD 、20m 10.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm,AB 的垂直平分线MN交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=53，则BC 的长是( )A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm二、填空题(每小题3分, 共计18分）：11.在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=1，则∠B= 度. 12.锐角Ａ满足2sin(A-150)＝3，则∠Ａ＝_____度. 13.如图,若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.14.若︒<<︒900α，︒=60cos sin α，则_____tan =α 15.已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-21）2+|tanB-1|=0，则∠C= 度。

人教版苏科版初中数学—直角三角形的边角关系(经典例题 )

班级小组姓名成绩（满分120）一、锐角三角函数（一）正切、正弦、余弦的定义：（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=2,则tanB的值是()A.55 B.12 C.2 D.13例1.变式1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为()A.512 B.1213 C.513 D.135例1.变式2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA=()A.ac B.abC.ba D.bc例1.变式3.在Rt△ABC中，∠C=90°,cosB=513，BC=15,则AC=.（二）坡度（坡比）（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.某段公路每在水平方向上前进100米，就升高4米，则路面的坡度为.例2.变式1.如图，某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，则山坡的坡度为.例2.变式2.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度为1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米.例2.变式3.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为()A.3B.5C.5D.24米二、30°，45°，60°角的三角函数值（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.在△ABC 2，则∠B 的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°例3.变式1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，则sin B 的值为()A.12B.22C.32D.1例3.变式2.计算：22sin 60cos 453tan 30sin 45tan 30-︒︒+︒︒︒例3.变式3.计算：())2231360-+-︒三、解直角三角形（一）解直角三角形的方法（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.如图,在Rt△ABC 中，斜边AB 的长为m，∠B=40°，则直角边BC 的长是()A.sin 40m ︒B.cos 40m ︒C.tan 40m ︒D.tan 40m ︒例4.变式1.在Rt△ABC 中，∠C=90°,若∠A=45°,a=1，则∠B=,b=,c=.例4.变式2.如图，在△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a，b，c,且b=85,∠BAC的平分线16153.例4.变式3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sin A=25，D为AC上一点,∠BDC=45°,CD=6,求AB的长.（二）解直角三角形综合（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.如图，在△ABC中,已知AB=32,AC=4,∠A=60°,求ABCS的值.例5.变式1.等腰三角形的底边长为10cm,周长为36cm,那么底角的余弦值是()A.513 B.1213 C.1013 D.512例5.变式2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,∠BAC的平分线交BC于D,AD=1033cm，求∠B,AB,BC.例5.变式3.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D,B,C在同一水平地面上.改善后滑滑板会加长多少米?(结果精确到0.01236≈2.449)四、三角函数的应用（一）仰角和俯角（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°,飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()A.1200米B.2400米C.4003米D.12003米例6.变式1.如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米例6.变式2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=米.例6.变式3.如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D处与C，B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，问荷塘宽BD为多少米？(取3 1.73，结果保留整数)（二）方向角（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时到达B处,从A，B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是()A.20海里B.36海里C.72海里D.40海里例7.变式1.如图所示，一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的N处,上午11时到达这座灯塔的正南的M处，则这只船航行的速度为海里/时.例7.变式2.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向(点A，B，C在同一水平面上).请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离(结果精确到1米).(参考数据:sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin 65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈ 2.1445)例7.变式3.如图,一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与渔船的距离是()A.72海里B.142海里C.7海里D.14海里（三）运用三角函数的解决实际问题（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.在倾斜角为32°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么相邻两棵树间的斜坡距离为()A.3sin32︒米B.3cos32︒米C.3tan32︒米D.3 cos32︒米例8.变式1.如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A.20海里B.103海里C.202海里D.30海里例8.变式2.如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A，B(不计大小),树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°，木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO(结果精确到132≈1.41).例8.变式3.如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处.(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离；(2)若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗船之前去救货轮?(结果保留根号)五、利用三角函数测高（一）测量底部可以到达的物体的高度（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，在离铁塔150m的A处，用测倾器测得塔顶的仰角为30°，已知测倾器高AD=1.52m，则塔高BE≈.(精确到2≈3≈ 1.732).例9.变式1.如图，已知楼AB高30m，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60°，又从离地面5m一窗口E处测旗杆顶C的仰角为45°，则旗杆CD的高是m.例9.变式2.某兴趣小组用仪器测量湛江海湾大桥主塔的高度.如图，在距主塔AE60米的D处，用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=1.3米，求主塔AE的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈ 2.48).例9.变式3.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A.(63+米B.12米+米 D.10米C.(423（二）测量底部不可以到达的物体的高度（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，已知两测角α，β和两测点距离BC，则高AD 等于()A.tan tan tan tan BC αββα⋅⋅- B.11tan tan BC αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.tan tan BC αβ- D.()tan tan BC αβ-例10.变式1.如图，河对岸有一座小山AB，在C 处测得山顶A 的仰角是30°，向小山前进16米到D 处，测得A 的仰角是45°,求小山AB 的高.例10.变式2.如图，两建筑物的水平距离为a，从A 点测得D 点的俯角为α,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高度为()A.aB.tan a αC.()sin cos a αα- D.()tan tan a βα-例10.变式3.如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B 的俯角α为45°，点D 到AO 的距离DG 为10米；从地面上的点B 沿BO 方向走50米到达点C 处，测得塔尖A 的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(参考数据：3≈ 1.732，2≈1.414，结果精确到0.1米)。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题及答案一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1，∵△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC BD CD =，即111x x+=，整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+；（3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+，在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=1515144151AE AB -++==-++，在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=151541EC BC -+-+==，则cos36°-cos72°=51+=15-+=12．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH 的对角互补，那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为32≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH∠33，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题附答案一、直角三角形的边角关系1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定4．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ． ②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33. 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形；（2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ；②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ， ∵PF ∥BC ， ∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴''DC DP DB DF ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°，∴tan ∠DBF′=3.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.6．在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，请解答下列问题：（1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM ；（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan ∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠C=45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM=MN，在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，∴∠BME=∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1﹣．【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.7．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若31）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．∵EF=BF，∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵AC=3BD ，CD=3AE ，∴3AC CDBD AE ==． ∵BD=AF ，∴3AC CDAF AE==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ，∴3AC AD BFAF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°．在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3EF BF =， ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE=DH ，EH=BD ． ∵AC=3BD ，CD=3AE ，∴3AC CDBD AE==． ∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD ∽△HEA ，∴3AD ACAH EH==，∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=3AHAD=， ∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．8．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去；综上，线段OP 的长为8．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ．（1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OBBC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示． ①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0，∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-．当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+22202502(5),033333St t t =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503．综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t tt t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12，解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7．综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.10．现有一个“Z “型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB 为20cm ，BC 为60cm ，∠ABC ＝90，∠BCD ＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A 到CD 的距离）．（结果精确到0.1m ，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm ．【解析】【分析】过点A 作AP ⊥CD 于点P ，交BC 于点Q ，由∠CQP ＝∠AQB 、∠CPQ ＝∠B ＝90°知∠A ＝∠C＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．11．如图，△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径．（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409R=;（2）25880320xy x xx=-++;（3）50105-.【解析】【分析】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，即可求解；（2）首先证明PD∥BE，则EB BFPD PF=，即：2024588x yxxxy-+--=，即可求解；（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．【详解】（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝35，则sinC＝45，sinC＝HPCP＝10RR-＝45，解得：R＝409；（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝35，设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，则BH ＝ACsinC ＝8，同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，DA ＝25x ，则BD ＝45﹣25x ，如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，tanβ＝2，则cosβ5，sinβ5， EB ＝BDcosβ＝（525x ）5＝4﹣25x ，∴PD ∥BE ，∴EB BFPD PF=，即：2024588x y x xx -+--=，整理得：y 25xx 8x 803x 20-++（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q是弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA＝90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG＝EP＝BD，∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5设圆的半径为r，在△ADG中，AD＝2rcosβ5DG5AG＝2r，5＝52r51，则：DG550﹣5相交所得的公共弦的长为50﹣5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留根号）【答案】AB=（8+43）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴D E=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=38BE x DE x ==+ ，解得x=4+43 ， ∴AB=BE+4=（8+43 ）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。

边角关系测试题及答案

边角关系测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果∠A = 50°，∠B = 70°，那么∠C的度数是多少？A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么在三角形ABC中，如果∠A = 90°，∠B = 45°，∠C的度数是多少？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 如果三角形的一个角是直角，那么这个三角形的另外两个角的和是______。

5. 在一个三角形中，如果两个内角的度数之和为90°，那么这个三角形被称为______三角形。

三、简答题6. 解释什么是补角，并给出一个补角的例子。

7. 解释什么是邻补角，并给出一个邻补角的例子。

四、计算题8. 在一个三角形中，已知∠A = 120°，求∠B和∠C的度数。

9. 如果一个三角形的三个内角的度数之和为180°，且已知∠A = 60°，∠B = 50°，求∠C的度数。

五、解答题10. 证明在一个三角形中，任意两个内角的和小于180°。

答案：一、选择题1. C2. A3. C二、填空题4. 90°5. 直角三、简答题6. 补角是指两个角的度数之和等于90°，例如，如果一个角是60°，那么它的补角是30°。

7. 邻补角是指两个角共享一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，例如，在一个直角三角形中，两个锐角互为邻补角。

四、计算题8. ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 =30°9. ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°五、解答题10. 证明：设三角形ABC中，∠A和∠B为任意两个内角。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图第12题图第13题图第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)．答：乙船每小时航行203海里.。

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题1、在Rt △ABC 中，∠A=90º，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC=2、在△ABC 中，∠B=90º，21cos =C ，则∠C=3、在△ABC 中，∠C=90º，∠A=60º，AC=34，则BC=4、在△ABC 中，∠C=90º，BC=3，AB=32，则∠A=5、在△ABC 中，∠C=90º，若tanA=21，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90º，∠A=45º，则tanA+sinB=7、如图1，在△ABC 中，∠C=90º，∠B=30º，AD 是∠BAC 的平分线。

已知AB=34，那么AD= 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=︒+α，那么锐角α=10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角º︒=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。

（结果保留四位有效数字）11、在△ABC 中，∠C=90º，BC=5，AC=12，则tanA=（） A 、512 B 、125 C 、513 D 、135 12、在Rt △ABC 中，∠C=90º，53cos =A ，AC=6cm ，则BC=（）cm A 、8B 、4.8C 、3.6D 、1.2 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （） A 、53 B 、54C 、34343 D 、3434514、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=45º，∠C=120º，AB=8，则CD 的长为（） A 、638 B 、64 C 、238D 、24 15、在平面直角坐标系内P 点的坐标为（cos30º，tan45º），则P 点关于y 轴对称点A 的坐标为（） A 、（23，1） B 、（—1，23） C 、（1,23-） D 、（1,23--） 16、若等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为60º，则等腰三角形的面积为（）cm 2A 、25B 、325C 、350D 、5017、如图4，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为 A ．h sin a B ． h tan a C ． hcos aD ． h ·sin a 18、在△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，则△ABC 是（） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形19、河堤横断面如图5所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（） A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米 20、计算：（1）、︒+︒+︒-︒45tan 30cos 230tan 330sin （2）、︒-︒+︒-︒-︒60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 222图2a CA E BD ACD B 图1 BC DA图3图4图521、在△ABC 中，AB=AC ，且AB=2BC ，求∠B 的三个三 22、在△ABC 中，AB=4，∠B=30º，∠C=45º，求△ABC 角函数值。

《三角形中的边角关系》习题

《三角形中的边角关系》习题
《三角形中的边角关系》习题
1．在一个钝角三角形中，假如一个三角形各边的长度都扩大3倍，那么这个三角形的两个锐角的余弦值 ()
A ．都没有变化B．都扩大3倍
C．都减小为本来的1
D．不可以确立能否发生变化3
．在
ABC 中，
A:B:C1: 2:1
， A, B, C 对边分别为 a,b,c ，则a : b : c
2
等于 ()
A．1: 2:1B．1: 2 :1C．1: 3 : 2D．1: 2:3
3．等腰三角形的顶角是 120，底边上的高为 30，则三角形的周长是 () A．120 303B．12060 3C．15020 3D．150 3 3 4．如图，甲楼每层高都是3.1米，乙楼高40米，从甲楼的第6层往外看乙楼楼顶，仰角为 30 ，两楼相距有多远？(结果精准到 0.1米)
30
5．一艘船由 A港沿东偏北 30 方向航行 20千米至 B港，而后再沿东偏南60 方向
航行 20千米至 C港，求：
( 1) A ， C两港之间的距离 ( 结果精准到 0.1 千米 )
( 2) 确立 C港在 A 港的什么方向？。

直角三角形的边角关系练习题及答案

一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022河口模拟)在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是( C )A.sin B=ba B.sin C=caC.cos B=bc D.tan B=bc2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12,则AB的长是( C )A.2B.8C.2√5D.4√53.若锐角A满足sin A=√32,则∠A的度数是( C )A.30°B.45°C.60°D.75°4.(2022张店模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=512,则cos A等于( D )A.512B.125C.513D.12135.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( B )第5题图A.12B.√22C.√32D.√336.(2022福山模拟)按如图所示的运算程序,能使输出y 值为12的是( C )第6题图A.α=60°,β=45°B.α=30°,β=45°C.α=30°,β=30°D.α=45°,β=30°7.在△ABC 中,∠A 和∠B 都是锐角,且sin A=12,cos B=√22,则△ABC 三个内角的大小关系为( D ) A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是( A )9.如图所示,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔 60 n mile 的A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处,这时,B 处与灯塔P 的距离为( B )A.60√3 n mileB.60√2 n mileC.30√3 n mileD.30√2 n mile10.如图所示,△ABC,△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角为∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角为∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B 点的距离AB=1.6 m,则盲区中DE的长度是(参考数据:sin 43°≈0.7,tan 43°≈0.9,sin 20°≈0.3,tan 20°≈0.4)( B )A.2.6 mB.2.8 mC.3.4 mD.4.5 m11.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( D )A.12B.920C.25D.1312.因为cos 60°=12,cos 240°=-12,所以cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°;由此猜想、推理知:当α为锐角时有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 210°的值为( C )A.-12B.-√22C.-√32D.-√3二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos B 的值为5.1314.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥,则AD的长度是10 .CD,若sin∠ACB=13第14题图15.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.9 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长为0.8 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)第15题图16.(2021东营期末)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值为7.24第16题图17.如图所示,小明在距离地面30 m 的P 处测得小山山顶A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°.若山坡AB 的坡度为1∶√3,则小山的高度为 10√3 m.(结果保留根号)第17题图18.(2022任城模拟)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, sin(x+y)=sin x ·cos y+cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是 ②③④ .(写出所有正确的序号) ①cos(-60°)=-12;②sin 75°=√6+√24; ③sin 2x=2sin x ·cos x;④sin(x-y)=sin x ·cos y-cos x ·sin y. 三、解答题(共46分) 19.(6分)计算:(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+12√1-2tan30°+tan 230°; (2)sin 245°+cos 230°-tan 260°.解:(1)原式=√32-12×1+12√(1-tan30°)2=√32-12+12×(1-√33) =√33.(2)原式=(√22)2+(√32)2-(√3)2=12+34-3=-74.20.(8分)如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=13,AD=1.(1)求BC 的长; (2)求tan ∠DAE 的值. 解:(1)∵AD 是BC 边上的高, ∴AD ⊥BC.在Rt △ABD 中,sin B=AD AB =13,AD=1,∴AB=3,∴BD=√AB 2-AD 2=√32-12=2√2. 在Rt △ADC 中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1. ∴BC=BD+CD=2√2+1. ∴BC 的长为2√2+1.(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE=12BC=2√2+12, ∴DE=CE-CD=2√2+12-1=√2-12, ∴tan ∠DAE=DE AD=√2-121=√2-12.21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30 cm,斜坡AB 的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF 的坡度为1∶√5,求BF 的长.(结果保留根号)解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,则四边形EGHA是矩形.∴EG=AH,GH=AE=2 m.∵斜坡AB的坡度为1∶1,∴AH=BH=30×30=900 cm=9 m.∴BG=BH-HG=9-2=7(m).∵斜坡EF的坡度为1∶√5,∴FG=9√5 m.∴BF=FG-BG=(9√5-7)m.∴BF的长为(9√5-7)m.22.(12分)(2020包头)如图所示,一个人骑自行车由A地到C地途经B地,当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3√2 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.(1)求A地与电视塔P的距离;(2)求C地与电视塔P的距离.解:(1)如图所示,过点B 作BD ⊥AP 于点D. 在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,AB=3√2 km,∴AD=BD=AB ×sin ∠BAD=3√2×sin 45°=3√2×√22=3(km). ∵∠PBN=75°,∴∠APB=∠PBN-∠PAB=75°-45°=30°. ∴在Rt △BDP 中,PD=BDtan∠APB =3tan30°=√33=3√3(km),PB=2BD=2×3=6(km). ∴AP=AD+PD=(3+3√3)km.∴A 地与电视塔P 的距离为(3+3√3)km. (2)∵∠PBN=75°,∠CBN=15°, ∴∠CBP=60°. ∵BP=BC=6 km, ∴△BPC 为等边三角形. ∴PC=6 km.∴C 地与电视塔P 的距离为6 km.23.(10分)(2022垦利模拟)数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度,小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3√5 m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1∶2.(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60)解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AE于H.在Rt△ADH中,∵DHAH =12,∴AH=2DH.∵AH2+DH2=AD2,∴(2DH)2+DH2=(3√5)2,解得DH=3,故小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为3 m.(2)如图所示,延长BD交AE于点G,设BC=x m,由题意得∠G=31°,∴GH=DHtanG ≈30.60=5.∵AH=2DH=6,∴GA=GH+AH=5+6=11.在Rt△BGC中,tan G=BCGC ,∴CG=BCtanG≈x0.60=53x.在Rt△BAC中,∠BAC=45°,∴AC=BC=x.∵GC-AC=AG,∴53x-x=11,解得x=16.5.故大树的高度约为16.5 m.。

第一章直角三角形边角关系单元练习题

第一章直角三角形边角关系单元练习题1．下列四个梯子AB 斜靠在墙上，哪个梯子最陡（）A B C D2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么B cos 的值是（）A 、54B 、53C 、43D 、34 3．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、扩大4倍D 、没有变化4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。

当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A 、Aa c sin = B 、A a c cos =C 、A a c tan ⋅=D 、A a c sin ⋅= 5．在△ABC 中，若1tan =A ，22sin =B ，你认为对△ABC 最确切的判断是（） A ．是等腰三角形 B ．是等腰直角三角形C ．是直角三角形 D ．是一般锐角三角形6．等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（）A ．4B ．23C ．2D ．227．在△ ABC 中，已知∠C=90°，53sin =B ，则A cos 的值是( ) A 、53 B 、34C 、54D ．43 8. 已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于 9．在ABC ∆中，若223sin (cos )022A B -+-=，,A B ∠∠都是锐角，则C ∠的度数 10．在ABC ∆中，∠A 、∠B 都是锐角，已知01tan 2cos 2=-+-B A ，试判断ABC ∆的形状，则ABC ∆是三角形。

11. 已知斜坡AB=120米，AB 的坡度i=1:3，则斜坡的高h= 米。

12．（1）()02cos 602009π9--+° （2）3845cos 260sin 3+︒-︒（3）0200912sin 603tan30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°13.如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，它们的俯角分别为30°、45°，若测得CD=100米，求AB 的高度。

直角三角形的边角关系练习题

直角三角形的边角关系练习题1、已知,AD 为等腰三角形ABC 底边上的高,且tanB=34,AC 上有一点E,满足AE:EC=2:3,那么tan ∠ADE 等于（） A 53 B 32 C 21 D 312、直线4-=kx y 与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则K 的值为3、如图，拦水坝的横断而为梯形ABCD ，坝顶宽BC=6米，高3.2米，了提高水能力，需将水坝加高2米，并且保持顶宽度不变，迎水坡CD 坡度不变，但是背水坡坡度由原来i=1：2变成i′=1：2.5（有关数据在图上已注明），求加高后底HD 长多少？3、如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此为F ，若AB ：BC=4：5，则cos ∠DCF 的值为。

5、山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．）6．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD为（）A，3003+1002 B 300+1003 C 300+1002 D 4008、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？11、旗杆、树和竹杆都垂直于地面且一字排列，在路灯下树和竹杆的影子的方位和长短如图所示．请根据图上的信息标出灯泡的位置（用点P 表示），再作出旗杆的影子（用线段字母表示）．（不写作法，保留作图痕迹）A 213-B 63C 6132-D 813+14．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，则AB 的长为15、在等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADC =60°，BD=4，CE=34 2，则△ABC 的面积（）16、在正方形网格中，sin ∠ABC=18、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB 的值为（）A 、43 B 、34 C 、45D 、3519、如图，A 、B 、C 、三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转到如图位置，得到△AC ′B ′，使A 、C 、B ′三点共线。

直角三角形边角关系练习题及测试题

FED 60°AABC┐ 直角三角形的边角关系综合练习（1）一、选择题1. 60cos 的值等于（） A ．21 B ．22 C ．23 D ．12.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（） A.123.已知α为锐角，且2 cos （90°－α）＝3，则α的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°4.已知在Rt ABC △中，90C ∠=，1sin 2A =，AC =BC 的值为（） A ．2B ．4C．D ．65.在Rt ABC △中，90C ∠=，BC=，AC =A ∠=（） A ．90B ．60C ．45D ．306. 在Rt ABC △中，ACB ∠为90，CD AB ⊥，2cos 3BCD ∠=，1BD =，则边AB 的长是（） A ．910B ．109C ．2D ．957.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，则cos A 的值是（） A ．215 B ．25 C ．212 D ．52 8.在ABC △中，90C ∠=°，2B A ∠=∠，则cos A 等于（） AB ．12C D9.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．4310.在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝（） A ．1010B ．32C ．43D ．1010311.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（）Ｃ．12Ｄ．212.如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =52°，则拉线AC 的长为（）C AB DA B CA ．6sin 52︒米 B ．6tan 52︒米 C ． 6·cos52°米 D ．6cos52︒米二、填空题13.若等腰梯形下底长为4cm ，高是2cm ，下底角的正弦值是45，则上底长为 cm ，腰长是 cm ．14.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）．15.如图，小明在楼顶A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52°，楼底点D 处的俯角为13°．若两座楼AB 与CD 相距60米，则楼CD 的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（sin130.2250︒≈，cos130.9744≈，tan130.2309≈，sin520.7880≈，cos520.6157≈，tan 52 1.2799≈三．解答题16.计算：0)151(30sin 2273--︒+17.计算： 201()2sin 3032--+︒+-18.已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长（结果保留根号）．19.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m ）． 1.73≈）解：1320.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?21.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．方案II：从A 地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.11.731.41）BP北东A D Ｂ北东直角三角形边角关系练习题(2)一．选择题1.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（） ABC ．12D ．22.在Rt ABC △中，90C ∠=，若2AC BC =，则tan A 的值是（）A ．12B ．2 CD3.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（） A ．12B．2CD4.已知ABC ∆中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（）A.35 B. 45 C. 53 D. 345. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关6. 把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（）Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定7.如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的有（） ①6cm DE =②2cm BE = ③菱形面积为260cm④BD = Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个 8. 2cos 45的值等于（）A．2BC．4D．9.如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D，若AC =AB = 则 tan BCD ∠的值为（）ABCD10.如图，AD CD ⊥，13AB =，12BC =，3CD =，4AD =，则s i n B =（）A ．513B ．1213C ．35D ．45ABODCBEAAC BD D ABC11.已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（）Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 12. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（） A ．247BC ．724D ．13二．填空题13.已知在Rt ABC △中，90C ∠=，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 .14. 在Rt ABC △中，90C =∠，3sin 5B =，则BC AB = ． 15. 在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．16.计算：1sin 60cos302-=．17.计算：102(1cos60-+-= ．三．解答题18.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.19.计算：01(π4)sin 302---；20.32cos458-+21.计算：22012(tan 601)()22-⎛⎫-+--+-π- ⎪⎝⎭6 8CEAB D22.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．23.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长． (1)证：(2)解:24.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34．（1）求B ′ 点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．ＣＢＡＡACB 直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.在△ABC 中，AC =3，BC =4，AB =5，则tan B 的值是（） A 、43 B 、34 C 、53 D 、542.如图，已知一坡面的坡度i =α为（）Ａ．15Ｂ．20Ｃ．30Ｄ．453.计算2sin30°cos60°的结果为（） A ．B ．32C ．12D ．14.在ABC △中，︒=∠90C ，AB =15，sin A =13，则BC 等于（） A ．45 B ．5 C ．15 D ．1455.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，，则cos BCD ∠的值是（）(A)35 (B)34 (C)43 (D)456.如图，电线杆AB C 的中点处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45，若点D 到电线杆底部点B a 的距离为，则电线杆AB 的长可表示为Ａ．a Ｂ．2a Ｃ．32a Ｄ．52a 二、填空题7. 求值：sin 230°+cos 230°= ．8. 计算：sin 45cos60sin 30+= ．9. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为． 10.等腰直角三角形的斜边长为，则此三角形的腰长为．11.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是海里／时．三、解答题13.计算：1sin3021)5-+-+-14.tan 60.- 15.计算：1cos 602-+． ABO30东16. 下图为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3m ，两楼间的距离30AC =m ．现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC h =，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当30α=︒时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层?从此时算起，若α每小时增加10︒，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．17. 如图8，大楼AD 的高为10m ，远处有一塔BC ．某人在楼底A 处测得塔顶B 点处的仰角为60︒，爬到楼顶D 点处测得塔顶B 点的仰角为30︒．求塔BC 的高度．解：18. 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上，3tan 4ABC ∠=，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长（PO <PC ）是方程212270x x -+=的两根．（1）求P 点坐标；（2）求AP 的长；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．AB C D Eα 太阳光甲楼乙楼图8。

直角三角形的边角关系(习题及答案)

37° 67.5°直角三角形的边角关系（习题）例题示范例：如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求 BC 的长．（结果精确到 0.1，参考数据：s in37°≈0.6，c os 37°≈0.8， tan67.5°≈2.41）AC从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．①得出结论； ②解直角三角形； ③准备条件．巩固练习1.在 Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（） A ．扩大 2 倍 B ．缩小 2 倍 C ．没有变化 D ．不确定2.4.若∠A 为锐角，且 cos A 的值大于 1，则∠A （）2A ．大于 30°B ．小于 30° B ．大于 60° D ．小于 60°5.已知 β 为锐角，且3A ． 30︒ ≤ β ≤ 60︒ C ． 30︒ ≤ β < 60︒≤ tan β < ，则 β 的取值范围是（）B ． 30︒< β ≤ 60︒ D ． β < 30︒6.如图，在矩形 ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为 E ，设∠ADE =α ，若cos α = 3，AB =4，则 AD 的长为（）5E ．如图，在菱形 ABCD 中，DE ⊥AB ，若cos A = 3，BE =2，则5tan ∠DBE = ．F ．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，若 AB =6，BC =2，则 cos A = ．9. 在△ABC 中，∠A =120°，若 AB =4，AC =2，则 sin B =．3 3D10. 如图，在△ABC 中，AB =A C ，∠A =45°，AC 的垂直平分线分别交 AB ，AC 于 D ，E 两点，连接 CD ．如果 AD =1，那么tan ∠BCD = ．ACED BCAB第 10 题图第 11 题图11. 如图，在△ABC 中，若∠C =90°， sin B 3，AD 平分∠CAB ，5则 sin ∠CAD = ．12. 如图，在△ABC 中，∠C =75°，∠BAC =60°，AC =2，AD 是BC 边上的高，则△ABC 的面积为，AD 的长为．A第 12 题图第 13 题图AB C⎪ -1)0 -+（3） ( 12 sin 60︒ ⎛ 1 ⎫-2tan 45︒ ⎝ 3 ⎭（4 tan 60︒ ．13. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan B =cos ∠DAC ．（1）求证：AC=BD ；（2）若sin C = 12，BC =12，求 AD 的长．13ABC16. 如图，在△ABC 中，∠A =26.6°，∠B =45°，AC = 2 的长．（参考数据：ta n26.6°≈0.50）5 ，求 AB3 ；m β α 2 3 ( 3 3思考小结1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，在解直角三角形中经常用到．120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1． 2.解直角三角形的常考形式图 1直角三角形：“一角一边”求其余元素A 非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2 （α ，β ，m 已知）．BDC3.我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，图 2借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？如图 1，通过延长 CB 到 D ，使得 BD =AB ，可以构造 15°角，根据三边关系填空．（已知== +1 ）图 1tan15︒ = AC = CD sin15︒ = AC= AD； t an 75︒ = CD= ；AC ．类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．ACtan22.5°=；tan67.5°=．120°4.探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：若tanα=1，tanβ=1，则α+β= 45︒．（标注信息，简要写2 3出思路）αβαβ。

直角三角形边角关系10套题

三角形边角关系11.已知Α为锐角,3cos 5A =,则tan Α= .2.在周长12的Rt A B C ∆中, sin B =0.5,则b= ,c= .3.在Rt A B C ∆中,05090,10,33A B C C a S ∆∠===, 则b= ,c= .4.已知在Rt A B C ∆中,090,,,sin C AC b AB c A ∠====那么 ,sin B = .5.在A B C ∆中,090,65,615C a b ∠===,则c= ,B ∠= .6.在Rt ∆MNP 中,若NP 是斜边，MN=15，NP=17，那么tanN + cotP= .7. √2×sin45°+√3×cos30°-3/2= .8.已知某大坝横截面为梯形，坝顶宽10米，坝高160米，且大坝迎水面坡度i 1=1:3,背水面坡度i 2=2:3，求大坝截面积.三角形边角关系21.在Rt A B C ∆中,0090,10,55C AC B ∠==∠=,则AB 上的高CD 的长可表示为 .2.在A B C ∆中,若cosB=0,b=21,c:a=5:3则BC 边上的中线AD 的长为 .3. 点Α在O 点北偏西035方位上,点B 在O 点北偏东055的方位上且O Α长80m,OB 长60m,那么ΑB 间的距离是 .4. 在Rt A B C ∆中,斜边上的高CD 把ΑB 分成ΑD 和BD,若ΑD:BD=34,则sin B = .5.在A B C ∆中,0490,sin ,8,5C B A B B C A C ∠==+==则 .6.在梯形ΑBCD 中,ΑD//BC,ΑB=CD,ΑD=4,BC=6,1cos ,4B S =梯则= .7. 已知tan α=3.则1/(sin²α+sinαcosα+cos²α) 的值为？8.从高24米的甲楼顶部Α处测得乙楼顶部B 的仰角α=300，测得乙楼底部C 的俯角β=600，求乙楼的高.三角形边角关系31.如图9-8,在A B C ∆中,D 是ΑB 的中点, DC ⊥ΑC,B C D ∠的正切值是13,则A ∠的正弦值是 .2.在A B C ∆中,1,2,12tgA tgC AC ===,那么BC 的值是 .3.在A B C ∆中,090,2,4,cos ABC C AC S A ∆∠===则= .4.如图9-9,在电视塔ΑD 的正东方向有两个地面观测点B 、C,在B 、C,两点测得塔顶Α的仰角分别为αβ,B 、C 两地相距α米,则ΑD 的高为 .5.飞机在离地面1200m 上空测得地面目标的俯角为060,那么此时飞机距目标 m.6.已知在A B C ∆中,ΑB=ΑC=10,BC=12,那么c o s B = ,tgC = ,sin A = .7. 3/5cosβ-4/5sinβ=5/13，求sinβ？8.在Rt ΔΑBC 中，∠ΑCB=900，sinB=35,D 是BC 边上的一点，DE ⊥ΑB ，垂足为E ，CD=DE ，ΑC+CD=9，求（1）BC 的长；（2）CE 的长.三角形边角关系41.A B C ∆中,05120,21,,3A B C c B b S a ∆∠===且则= .2.如图9-10,在四边形ΑBCD 中,ΑD=CD,ΑB=7,tg Α=2,090B D ∠=∠=,那么BC 的长为 .3.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD ⊥ΑB ，垂足为D ，则比值B CC D B D A CA B A C B C B C、、、中等sin Α的个数有（）.（Α）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个4.如图9-11，在ΔΑBC 中，∠Α=300，E 为ΑC 上一点，且ΑE ：EC=3：1，EF ⊥ΑB ，F 为垂足，连结FC ，则cot ∠CFB 的值等于（）.（Α）36（B ）32（C ）433 （D ）1345.在ΑBC 中，∠Α=750，∠C=450，ΑB=2，则ΑC 的长等于（）.（Α）22 （B ）23 （C ）6 （D ）2636.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，CD ⊥ΑB 于D ，若14B D A D=，则tan ∠BCD 的值是（）.（Α）14（B ）13（C ）12（D ）27.在ΔΑBC 中，已知∠B=2倍等于其他两角的和，最长边与最短边的和是8，积是15，求这个三角形的面积及∠B 所对边的长.三角形边角关系51.在ΔΑBC 中，∠B=600，ΑB=6，BC=8，则ΑBC 的面积是（）. （Α）123 （B ）12 （C ）243 （D ）1222.如图9-12，在矩形ΑBCD 中，BC=2，ΑE ⊥BD ，垂足为E ，∠B ΑE=300，则ΔECD 的面积是（）.（Α）23 （B ）3 （C ）32（D ）333.如图9-13，∠ΑOP=∠BOP=150，PC ∥ΑO ，PD ⊥O Α，若PC=4，则PD 等于（）. （Α）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14.在ΔΑBC 中，∠Α=300，tgB=13,BC=10,那么ΑB 的长为（）.【2】（Α）3 （B ）3 （C ）33-（D ）33+5.如图9-14，在ΑBC 中，点D 在ΑC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若ΑD=2CD ，ΑB=4DE ，则sinB=( ). （Α）12（B ）73（C ）377（D ）346.如图9-15，x=（）.（Α）sin cos a b a β- （B ）cos cos a b a β- （C ）cos sin b b aβ- （D ）sin sin a b aβ-7.如图9-28，∠ΑCB=900，ΑB=13，ΑC=12，∠BCM=∠B ΑC ，求sin ∠B ΑC 和点B 到直线MC 的距离.三角形边角关系6１．如图１所示的Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝＿＿＿；２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝４，ｓｉｎＡ＝23，则ＡＢ＝＿＿＿；３．已知α为锐角，下列结论：○1ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１；○2如果α＞４５°，那么ｓｉｎα＞ｃｏｓα；○3如果ｃｏｓα＞12，那么α＜６０°；○4()2sin 11sin αα-=-．正确的有（）Ａ．１个；Ｂ．２个；Ｃ．３个；Ｄ．４个．４．△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｓｉｎＡ＝35，那么ｔａｎＢ的值等于（）5．如图２，在高度为１０米的平台ＣＤ上测得一高层建筑物ＡＢ的顶端Ａ的仰角为６０°，底端Ｂ的俯角为３０°，则高层建筑物的高ＡＢ＝＿＿＿＿米；6．如图３，小明想测量电线杆ＡＢ的高度，发现电线杆的影子恰好在落在土坡的坡面ＣＤ和地面ＢＣ上，量得ＣＤ＝４米，ＢＣ＝１０米，ＣＤ与地面成３０°角，且此时测得１米杆的影长为２米，则电线杆的高度约为＿＿＿米（结果保留两位有效数字）．7．如图７，∠ＰＯＱ＝９０°，边长为２ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ在ＯＰ上，Ｃ在ＯＱ上，且∠ＯＢＣ＝３０°，分别求点Ａ，Ｄ到ＯＰ的距离．ＢＣＡ１３５图１ＤＢＣＡ图２３０°ＡＥＢＤＣＦ图３P ＥＢＦＯＡＤＧＣＱ图７三角形边角关系7１．已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝35，则ＢＣ∶ＡＣ等于（）Ａ．３∶４；Ｂ．４∶３；Ｃ．３∶５；Ｄ．４∶５．２．∠Ａ为锐角，且ｓｉｎＡ＝35，那么（）Ａ．０°＜∠Ａ＜３０°；Ｂ．３０°＜∠Ａ＜４５°；Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０°；Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０°；３．计算：2cos45︒＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°＝＿＿＿；４．如果一个角的补角是这个角余角的４倍，则这个角的正弦值是＿＿＿；５．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若３ＡＣ＝3ＢＣ，则∠Ａ的度数是＿＿＿，ｃｏｓＢ的值是＿＿＿；６．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｔａｎＡ＝12，则ｓｉｎＡ＝＿＿＿；７．若ｔａｎ９°·ｔａｎα＝１，则锐角α＝＿＿＿度；８．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边，则33sin sina Bb A+＝＿＿＿；9．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高，ｔａｎＢ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ．（１）求证：ＡＣ＝ＢＤ；（２）若ｓｉｎＣ＝1213，ＢＣ＝１２，求ＡＤ的长．ＢＤＣＡ图６三角形边角关系81．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，各边长都扩大２倍，则锐角Ａ的正弦和余弦值（）Ａ．都不变；Ｂ．都扩大２倍；Ｃ，都缩小２倍；Ｄ．不能确定．2．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，且ａ，ｃ满足2234a ac c-+＝０，则ｓｉｎＡ＝（）；Ａ．１；Ｂ．13；Ｃ．１或13；Ｄ．１或３．3．三角函数ｓｉｎ２３°，ｃｏｓ１５°，ｃｏｓ４１°的大小关系是（）ＣＡ．ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ１５°；Ｂ．ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ４１°；Ｃ．ｃｏｓ１５°＞ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°；Ｄ．ｃｏｓ４１°＞ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°．4．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ均为锐角，且｜ｔａｎＢ－3｜＋()22sin3A-＝０，则△ＡＢＣ是（）Ａ，等腰三角形；Ｂ．等边三角形；Ｃ．直角三角形；Ｄ．等腰直角三角形．5．河堤的横断面如图４所示，堤高ＢＣ是５米，迎水斜坡ＡＢ的长是１０米，那么斜坡ＡＢ的坡度ｉ是（）Ａ．１∶２；Ｂ．１∶3；Ｃ．１∶１．５；Ｄ．１∶３．6．若α为锐角，且ｓｉｎα是方程２2x＋３ｘ－２＝０的一个根，则ｃｏｓα＝（）Ａ．12；Ｂ．32；Ｃ．22；Ｄ．12或327．如图５，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝35，求：（１）ＤＣ的长；（２）A CB C的值．ＢＤＣＡ图５ＢＣＡ图４三角形边角关系91、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为（）A 090 B 060 C75D 01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB= 4, 则AD 的长为（）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（）．（A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=αº．6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．7．如图９，登山队员在山脚Ａ点测得山顶Ｂ点的仰角为∠ＣＡＢ＝４５°，当沿倾斜角为３０°的斜坡前进１００ｍ到达Ｄ点以后，又在Ｄ点测得山顶Ｂ点的仰角为６０°，求山的高度ＢＣ．（精确到１米）ＡＥＣＢＦＤ图９A BCD E三角形边角关系101、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.2、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为米（用含α的三角比表示）．3、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于度．4、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为 10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽5.如图１１，客轮沿折线Ａ－Ｂ－Ｃ从Ａ出发经Ｂ再到Ｃ匀速航行，货轮从ＡＣ的中点Ｄ出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线Ａ－Ｂ－Ｃ上的某点Ｅ处．已知ＡＢ＝ＢＣ＝２００海里，∠ＡＢＣ＝９０°，客轮速度是货轮速度的２倍．（１）选择：两船相遇之处Ｅ点（）（Ａ）在线段ＡＢ上；（Ｂ）在线段ＢＣ上；（Ｃ）可以在线段ＡＢ上，也可以在线段ＢＣ上；（２）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）6、如图，客轮沿折线A―B―C 从A 出发经B 再到C 匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C 上的某点E 处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =︒90，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）ＣＦＥＢＡＤ．图１１αPoy x34︒555.8m10mABC D.。

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________．问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______．问题3：默写特殊角的三角函数值：问题4：三角函数值的大小只与角度的_______有关，跟所在的三角形放缩（大小）没有关系．问题5：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理．问题6：30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，在解直角三角形中经常用到．120°，135°，150°经常使用它们的________构造直角三角形，如图1．直角三角形的边角关系一、单选题(共12道，每道8分)1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义2.计算的结果为( )A. B.C. D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值3.为锐角，当无意义时，的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值4.在△ABC中，若，则下列最确切的结论是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值5.已知为锐角，且，那么的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性6.如图，在边长为1的正方形网格中，∠BAC如图放置，点A，B，C都在格点上，则的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义7.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为( )A. B.C. D.不能确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解直角三角形8.如图，P是的边OA上一点，点P的坐标为，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：解直角三角形10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：解直角三角形11.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将该纸片（△ABC）按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换(折叠问题)12.如图所示，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且．AC上有一点E，若AE:CE=2:3，则的值为( )A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：翻折变换(折叠问题)。

三角形边角关系(含答案)

一、简答题3、如图11，已知：△ABC中，AD是BC边上的中线.试说明不等式AD+BD ＞（AB+AC）成立的理由.4、如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？5、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm。

求:(1) △ABC的面积；(2) CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm 时，试求出DF的长。

6、如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°,∠CAD︰∠E＝1︰3，求∠E的度数.7、如图，在中，，⊥，垂足为，且．求∠A的大小．8、如图，在△ABC中，AD是高线，点M在AD上，且∠BAD =∠DCM，求证：CM⊥AB .9、如图6，试说明∠A+∠B+∠C=∠ADC10、如图5比较∠1与∠2的大小，并说明理由。

11、如图2，AB∥CD, ∠A＝38°, ∠C＝80°, 则∠M的度数为________。

12、如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF13、如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠BCD＝110°，CE平分∠ACB．求∠A和∠BEC的度数．14、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝54°，求∠DAC的度数。

15、如图，在△ABC中，∠C＝90°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数.二、选择题16、三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是A. 中线B. 角平分线C. 高D. 中位线17、如图1为图2中三角柱ABCEFG的展开图，其中AE、BF、CG、DH是三角柱的边．若图1中，AD=10，CD=2，则下列何者可为AB长度？（）A．2 B．3 C．4 D．518、已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（A）13cm （B）6cm （C）5cm （D）4cm19、不一定在三角形内部的线段是（）（A ）三角形的角平分线（B ）三角形的中线（C ）三角形的高（D ）三角形的中位线 20、如图8，AB=BC=CD,且∠A=15°,则∠ECD=( )A.30°B.45°C.60°D.75°三、填空题21、等腰三角形的两边长为4和6，则等腰三角形的周长为____________22、如图，AB =AC ，DE 垂直平分AB 交AC 于E ，垂足为H ，若△ABC 的周长为 28，BC =8，则△BCE 的周长为________.23、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE ∥BC ，∠A=46°，∠1=52°，则∠2= 度．24、如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．25、如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP 1、OP 2与线绳的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的夹角∠P 1OP 2＝ °．参考答案一、简答题3、△ABD中，AD+BD＞AB，同理△ADC中，AD+DC＞AC，所以AD+BD+AD+DC＞AB+AC，又BD＝DC，即2（AD+BD）＞AB+AC，所以AD+BD＞（AB+AC）4、解析：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长．解：由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AC×BE，即16×3＝4×AC，所以AC＝12．由三角形面积公式可得S△ABC＝BC×AD＝AB×CF，即16×3＝6×AB．所以AB＝8．所以三角形ABC的周长为16+12+8＝36．5、6、解：（1）相等.理由如下：……1分∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD ……2分又∠EAD＝∠EDA∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B ……4分（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3 x°，……5分由（1）有：∠EAC＝∠B＝50°∴∠EAD＝∠EDA＝（x＋50）°在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°∴3 x＋2（x＋50）＝180 ……6分解得：x＝16 ……7分∴∠E＝48°……8分（用二元一次方程组的参照此标准给分）7、解：∵⊥，∴∵，∴，∵在中，，，，∴∠A==.8、提示：∠DCM +∠B=∠BAD +∠B=90°.9、如图6，延长AD与BC交于点E，则∠DEC＝∠A+∠B，又因为∠ADC=∠DEC+∠C,所以∠A+∠B+∠C=∠ADC10、∠1>∠2；理由：因为∠1是△DEC的一个外角，所以∠1>∠EDC,又因为∠EDC是△ABD的一个外角，所以∠EDC>∠2,所以∠1>∠211、42°12、分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF13、14、∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠4=2∠1＝2∠2=∠3。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题含详细答案

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题含详细答案一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】（1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴22108-=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ，当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ，∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）=1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<．（3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQOC OG=，∴358544345ttt-=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图，反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求tanC 的值.【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.【解析】【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，∴a =2，∴A (1，2)，把A (1，2)代入 k y x =得2k =， ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点，∴A B 、两点关于原点O 中心对称，∴()12B --，；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，∵90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.4．如图，PB 为☉O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA ，垂足为C ，交☉O 于点A ，连接PA ，AO.并延长AO 交☉O 于点E ，与PB 的延长线交于点D ．(1)求证：PA 是☉O 的切线；(2)若=，且OC=4，求PA 的长和tan D 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=. 【解析】试题分析: （1）连接OB ，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP 是线段AB 的垂直平分线，进而可得：PA=PB ，然后证明△PAO ≌△PBO ，进而可得∠PBO=∠PAO ，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA 是⊙O 的切线；（2）连接BE ，由，且OC=4，可求AC ，OA 的值，然后根据射影定理可求PC 的值，从而可求OP 的值，然后根据勾股定理可求AP 的值．试题解析：（1）连接OB ，则OA=OB ，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3，∴FG =tan 3AG AFG =∠，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3AG ．又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．6．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN 是水平线，MN ∥AD ，AD ⊥DE ，CF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，坡道AB 的坡度为13DE ＝3米，点C 在DE 上，CD ＝0.5米，CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan3B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A3，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE3在Rt△CEF中，设EF＝x，CF3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．7．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，∴¶¶ADAC =， ∴∠ACD ＝∠B ＝∠ADC ，∵∠FPC ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠FPC ，∴∠APC ＝∠ACF ，∵∠FAC ＝∠CAF ，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG＝225OP OG6+=，GD＝222 3DE GE+=，∴PD＝PG+GD＝3102．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．8．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．9．已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．(1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝13x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|61 (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）．【解析】【分析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k13=，则：直线AC的表达式为：y13=x+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，16-m223-m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP12=PG•OA12=•（16-m223-m+213-m﹣2）•612=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3，52）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：y56=-x，当x＝﹣2时，y53=，即：点M坐标为（﹣2，5 3），|PM﹣OM|的最大值为：2222555(32)()2()233-++--+=61．（3）存在．∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a83=，则：MC103=，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，12DH•MC12=MD•DC，即：DH10833⨯=⨯2，则：DH85=，HC2265DC DH=-=，即：点D的坐标为（61855-，）；设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣61010，D′坐标为（618551010，-++），而点E坐标为（﹣6，2），则2''A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =223()(2)1010m m +-=24410m m -+，2'ED =222438()()551010m m +++=232128510m m ++．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当2''A D +2'A E=2'ED 时，36+24410m m -+=232128510m m ++，解得：m =2105，此时D ′（6318551010m m ，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+232128510m m ++=24410m m -+，解得：m =8105-，此时D ′（6318551010m m ，-++）为（－6，2）；③当2'A E +2'ED =2''A D 时，24410m m -++232128510m m ++=36，解得：m =8105-或m =105，此时D ′（6318551010m m ，-++）为（－6，2）或（35-，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）．【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；②求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【解析】【分析】（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）①∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是3，②当时，点的纵坐标为-3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：，解得：，则点、的横坐标分别为，，作交直线于点，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N点的坐标．11．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若2，cos∠ACD= 45，求tan∠AEC的值及CD的长．【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125【解析】解：在RT △ACD 与RT △ABC 中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45在RT △ABC 中，45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且CE=2 则k=2，AC=32 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=ACEC=3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,，CD=12125.12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，1），点C （1，0），正方形AOCD 的两条对角线的交点为B ，延长BD 至点G ，使DG=BD ，延长BC 至点E ，使CE=BC ，以BG ，BE 为邻边作正方形BEFG ．（Ⅰ）如图①，求OD 的长及ABBG的值；（Ⅱ）如图②，正方形AOCD 固定，将正方形BEFG 绕点B 逆时针旋转，得正方形BE′F′G′，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG′． ①在旋转过程中，当∠BAG′=90°时，求α的大小；②在旋转过程中，求AF′的长取最大值时，点F′的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）①α=30°或150°时，∠BAG′=90°②当α=315°时，A 、B 、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为22+2，此时α=315°，F′（12+2，12﹣2）【解析】【分析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题,(2)①因为∠BAG′=90°,BG′=2AB,可知sin∠AG′B=12ABBG,推出∠AG′B=30°,推出旋转角α=30°,据对称性可知,当∠ABG″=60°时,∠BAG″=90°,也满足条件,此时旋转角α=150°,②当α=315°时,A、B、F′在一条直线上时,AF′的长最大.【详解】（Ⅰ）如图1中，∵A（0，1），∴OA=1，∵四边形OADC是正方形，∴∠OAD=90°，AD=OA=1，∴OD=AC==，∴AB=BC=BD=BO=，∵BD=DG，∴BG=，∴==．（Ⅱ）①如图2中，∵∠BAG′=90°，BG′=2AB，∴sin∠AG′B==，∴∠AG′B=30°，∴∠ABG′=60°，∴∠DBG′=30°，∴旋转角α=30°，根据对称性可知，当∠ABG″=60°时，∠BAG″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°，综上所述，旋转角α=30°或150°时，∠BAG′=90°．②如图3中，连接OF，∵四边形BE′F′G′是正方形的边长为∴BF′=2，∴当α=315°时，A、B、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为+2，此时α=315°，F′（+，﹣）【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质以及特殊角的三角函数值的应用．。