对数与对数运算
对数与对数运算法则
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
知识讲解_对数及对数运算_基础
(2)
log a
M
logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则 有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a
log c
M
，
即b
logc M logc a
，即 log a
M
logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3
log8
3)(log3
2
log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案一、教学目标1.了解对数的概念和性质。
2.掌握对数的换底公式。
3.能够运用对数运算解决实际问题。
二、教学重点1.对数的换底公式的掌握。
2.对数运算的实际应用。
三、教学难点1.对数的换底公式的理解与应用。
2.对数运算在实际问题中的灵活运用。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引入对数的概念，例如：什么是指数？怎样求指数运算的结果？对数与指数有何关系等。
2.知识讲解与演示（25分钟）(1)对数的概念与性质：先简要介绍对数的概念，即以一些数为底，使结果等于一些数的指数运算。
然后讲解对数的性质，包括对数的唯一性、对数的基本法则等。
3.练习与巩固（25分钟）(1)讲解练习题：组织学生进行对数运算的练习，包括计算对数的值、利用对数解决方程等。
逐步提高题目的难度，以巩固学生的基本技能。
(2)拓展练习：根据实际问题设置应用题，引导学生运用对数解决实际问题，如物种数量的估算、露营地数量的计算等。
培养学生的问题解决能力和分析能力。
4.深化与延伸（20分钟）(1)对数运算的实际意义：通过一些具体的实际例子，讲解对数运算在生活中的应用，如音量的计算、地震强度的测量等。
让学生感受到对数运算在实际问题中的重要性。
(2)拓展延伸：引导学生深入思考对数的概念和性质，并做一些拓展性的练习，如求对数的近似值、应用对数解决复杂方程等。
拓宽学生的数学思维。
五、课堂小结与展望（5分钟）对本节课的内容进行小结，回顾所学的知识点和技能。
展望下节课的内容，为下一步学习打下基础。
六、作业布置布置适量的练习题作业，巩固对数与对数运算的知识与技能的掌握。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对对数和对数运算有了初步的了解。
对数的换底公式的掌握是此节课的难点和重点，需要进行反复的练习和巩固。
通过设置实际问题的应用题，培养学生的问题解决能力和应用能力。
同时，教师需要耐心引导学生思考和讨论，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
对数运算与对数函数
对数运算与对数函数在数学的广袤世界里，对数运算与对数函数就像隐藏在迷雾中的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它们不仅是数学理论中的重要组成部分，更在实际生活和科学研究中有着广泛而深刻的应用。
让我们先从对数运算说起。
对数运算其实就是一种数学运算方式，它是指数运算的逆运算。
想象一下，如果有一个等式 a^b ＝ N，那么对数运算就是要找出 b 的值，我们记为logₐN ＝ b。
比如说，2³＝ 8，那么 log₂8 ＝ 3。
这就像是在解一个谜题，已知结果和底数，要找出指数。
为什么要有对数运算呢？这是因为在很多实际问题中，直接处理指数形式的数量关系可能会非常困难，但通过对数运算，就能将复杂的问题简单化。
例如，在测量声音强度时，我们使用的单位是分贝（dB），而分贝的计算就涉及到对数运算。
再来说说对数的一些基本性质。
首先是对数的乘法法则：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN。
这意味着，如果要计算两个数的乘积的对数，就可以转化为这两个数的对数的和。
同样，还有除法法则：logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN。
而对数函数则是基于对数运算构建起来的一类函数。
常见的对数函数形式为 y ＝logₐx，其中 a 被称为底数，且 a ＞ 0 且a ≠ 1。
当 a ＞ 1时，对数函数是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数是单调递减的。
对数函数的图像具有一些独特的特征。
以底数 a ＞ 1 为例，函数图像经过点(1, 0)，并且逐渐向右上方延伸，越来越陡峭。
而当 0 ＜ a ＜1 时，图像经过点(1, 0)，逐渐向右下方延伸，变得越来越平缓。
对数函数在解决实际问题中发挥着巨大的作用。
比如在金融学中，计算复利增长；在物理学中，描述某些自然现象的变化规律；在计算机科学中，分析算法的时间复杂度等等。
举个简单的例子，假设你在银行存了一笔钱，年利率为 r，经过 t年后，本金和利息的总和 A 与初始本金 P 之间的关系可以表示为 A ＝P(1 ＋ r)＾t。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数运算和对数函数
对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。
题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。
对数与对数运算知识点总结与例题讲解
对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）对数的概念.（2）对数式与指数式的互化. （3）对数的性质. （4）对数的运算性质. （5）对数的换底公式. 知识点一 对数的概念一般地,如果N a x=（0>a 且1≠a ）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.例如,因为41621=,所以21就是以16为底4的对数,记作214log 16=. 对对数概念的理解:（1）底数a 必须满足0>a 且1≠a ; （2）真数N 大于0（负数和0没有对数）. 规定底数0>a 且1≠a 的原因:当0<a 时,N 取某些值时,x 的值不存在.例如,()29log 3=-,但()27log 3-却不存在.当0=a 时:①若0≠N ,则x 的值不存在;②若0=N ,则x 的值是任意正数.（注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义） 当1=a 时:①若1≠N ,则x 的值不存在; ②若1=N ,则x 的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数0>a 且1≠a . 常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作N lg ;将以无理数e （ 71828.2≈e ）为底的对数叫做自然对数,记作N ln .根据对数概念,可以求参数的取值范围 例1. 求下列各式中x 的取值范围.（1）()3log 5.0-x ; （2）()()x x --2log 1.分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: （1）底数0>a 且1≠a ; （2）真数0>N .解:（1）由题意可知:03>-x ,解之得:3>x .∴x 的取值范围是()+∞,3;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-021101x x x ,解之得:21<<x .∴x 的取值范围是()2,1.例2. 求下列对数式中x 的取值范围.（1）()x -5log 2; （2）()3log 2x -.解:（1）由题意可知:05>-x ,解之得:5<x .∴x 的取值范围是()5,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1202x x ,解之得:2<x 且1≠x .∴x 的取值范围是()()2,11, ∞-.例3. 使()1log +x a （0>a 且1≠a ）有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）()+∞-,1 （C ）[)+∞,0 （D ）()+∞,0解:由题意可知:01>+x ,解之得:1->x .∴x 的取值范围是()+∞-,1.选择【 B 】.例4. 求()()x x --4log 3中x 的取值范围. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-041303x x x ,解之得:43<<x . ∴x 的取值范围是()4,3.例5. 使()2log 212+--x x有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)2,2- （B ）[]2,2- （C ）()2,2- （D ）(]2,2-解:由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0202x x ,解之得:22<<-x .∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.知识点二 指数式与对数式的互化在N a x=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.指数式与对数式的比较知识点三 对数的性质 （1）负数和0没有对数.（2）1的对数等于0,即01log =a （0>a 且1≠a ）. （3）底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）. （4）对数恒等式N aNa =log （0>a 且1≠a ）.（5）x a xa =log （0>a 且1≠a ）.对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如, ===---2323log ln 2e .例6. 将下列指数式改写成对数式:（1）1624=; （2）32125=-. 解:（1）∵1624=,∴416log 2=;（2）∵32125=-,∴5321log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:（1）3125log 5=; （2）416log 21-=.解:（1）∵3125log 5=,∴12553=;（2）∵416log 21-=,∴16214=⎪⎭⎫⎝⎛-.点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x=,对数式N x a log =.需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624=-,就不能化为416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.例8. 计算下列各式的值:（1）25log 5; （2）32log 21; （3）10log 33; （4）1ln ; （5）5.2log 5.2.解:（1）25log 25log 255==;（对数的性质:x a xa =log ）（2）521log 32log 52121-=⎪⎭⎫⎝⎛=-;（3）10310log 3=;（对数恒等式:N a N a =log ） （4）01ln =;（对数的性质:1的对数等于0） （5）15.2log 5.2=.（对数的性质:底数的对数等于1）例9. 计算:（1）27log 9; （2）81log 43; （3）()()32log 32-+.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.解:（1）设x =27log 9,则有279=x ,3233=x ,32=x ,23=x . ∴2327log 9=; （2）设x =81log 43,则有()8134=x,44133=x ,441=x ,16=x .∴1681log 43=;（3）设()()x =-+32log 32,则有()()1323213232-+=+=-=+x,1-=x .∴()()132log 32-=-+.例10. 求下列各式中的x :（1）2327log =x ; （2）x x 354⨯=. 解:（1）∵2327log =x ,∴2723=x ,()93327232332====x ;（2）∵xx354⨯=,∴534=⎪⎭⎫⎝⎛x,5log 34=x .例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,21=a . ∵a x =lg ,∴10101021===ax .例12. 已知函数()()a x x f +=22log ,若()13=f ,则=a __________.解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a ,且1≠a ）例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则nm a +2的值为__________.解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==nm a a .∴()1232222=⨯=⋅=+n m n m a a a .例14. 求下列各式的值:（1）4log 55; （2）24log 33-; （3）5log 422+.解:（1）454log 5=;（对数恒等式:N a N a =log ）（2）9433324log 24log 33==-; （3）805162225log 45log 422=⨯=⋅=+.知识点四 对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: （1）()N M MN a a a log log log +=; （2）N M NMa a alog log log -=; （3）M n M a na log log =.其中,对数的运算性质（1）可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: （1）M M Ma a a log log 1log 1-==-; （2）M pnMM a pn a pn alog log log ==. 例15. 证明对数的运算性质:()N M MN a a a log log log +=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==⋅=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.例16. 证明对数的运算性质:N M NMa a alog log log -=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ） 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴q p a aa N M q p a q pa a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log∴N M NMa a alog log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:M n M a n a log log =（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）证明:设x M a =log ,则xa M =∴()nx a a M nx a nx a n a ===log log log ,nx M n a =log∴M n M a n a log log =.对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+;（3）3log 333558log 932log 2log 2-+-; （4）348log 348log 22-++.解:（1）原式()410lg 52lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 4443434==⨯=⨯=-+=; （2）原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 32lg 3lg 2213213=-+-+=-+-+=⨯-+; （3）原式13233log 389324log 38log 932log 4log 233333-=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+-=; （4）原式()()22log 4log 16log348348log 22222====-+=.例19. 计算:=+25log53ln e__________.解:原式()7435log345=+=+=.例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22∴()b a =+=+=⨯5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=⨯=25log 15log 515log 75log 2222.例21. 计算:5log 3lg 33log 45log 1223211023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++.解:原式=5log 3lg 3log 45log 23232102233-++⨯-⨯52951274815233165351log 32-=++-=++⨯-⨯=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2-⋅+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ⨯-+=g()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.例23. 计算:（1）;42log 2112log 487log 222-+ （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:（1）原式42log 144log 487log 222-+= 2log =212log 21log 421444872122-===⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯-; （2）原式()()2322lg 210lg 5lg 2lg 325lg +⨯⋅++=()()22lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=()()2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=12+= 3=.例24. 计算:()()2922531log 31log 35+-+.解:原式()()()()3231139253531log 13log 31log 213log 2925925=++-=+=+=+-+-.点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 231log 2522555--=,实际上,此时真数031<-,对数式无意义,应为()()()13log 213log 31log 25225225555---==.例25. 若()()0137log 22=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 22=+--x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-120211372x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.例26. 若()312xf x=+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x,∴3log 2=x .∴()3log 31342==x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根,则2lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 的值是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解:∵01422=+-x x ,∴02122=+-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴21lg lg ,2lg lg =⋅=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2222=⨯-=⋅-+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a b a .选择【 B 】.例28. 计算:=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343__________. 解:原式8271log 325445log 32333434=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.例29. 解下列方程:（1）()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; （2）()()5lg 11622lg -=-+x x x .解:（1）()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x()()22log 43log 222+=-+x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>->++=-+01010422432x x x x x x ,解之得:2=x .∴该方程的解为2=x ;（2）()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40解:∵12lg 2lg =-a ,∴14lg4lg lg ,12lg lg 2==-=-aa a . ∴104=a,解之得:40=a . 选择【 D 】.例31. 方程()1321log 3+=⋅+x x的解=x __________.解:()1333log321log +=⋅+x x,∴x x x 3333211⋅==⋅++.∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的133log 1+=+x x .例32. 计算:3log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .解:原式3log 21225.2222ln 10lg 5.2log ⋅-++=-e211322122-=⨯-+-=.例33.（1）计算:()()()223log 8.94lg 25lg 27log 1203-+-+++-;（2）已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 22loglog-的值.解:（1）原式()()()21223312log 1425lg 3log -++⨯+=-21223+++=213=; （2）∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()22lg lg y x xy -=∴()xy y x =-22,04522=+-y xy x .∵0>x ,∴04512=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<<x y ,∴41=x y . ∴()42log 4log 41log logloglog4222222-=-=-===-x y x y .点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:MM Ma a al o g l o g 1l o g 1-==-. 例34. 化简下列各式:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+.解:（1）原式()452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 43434=⨯=⨯=-+=; （2）原式()()1023lg10lg 2lg 3lg 22133213⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-+=.例35. 化简下列各式:（1）()5353lg 281log 22723log 322-+++⨯-; （2）()246246log2--+.解:（1）原式()()2323235353lg 2log 33-+++⨯-=-()1919910lg 3332=++=+-⨯-=;（2）原式()21246246log22⨯--+= ()()3216212log218log 21246246log62222=⨯=⨯=⨯=⨯--+=.解法二: 原式()()⎪⎭⎫⎝⎛--+=2222222log ()()32log22log2222log3222===+-+=.例36. 若03241=--+x x,则x 的值为__________.解:032222=-⋅-x x,()()01232=+-x x∴32=x （012<-=x ,舍去） ∴3log 2=x .例37. 计算:4ln 3327log 25lg 4lg e ---.解:原式()844421243log 254lg 3-=--=--=-⨯-=. 例38.（1）已知68log =x ,求x 的值;（2）已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.解:（1）∵68log =x ,∴86=x .∵0>x ,且1≠x ∴()22282161361====x ;解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .∴()22log 22log 2==x x,12log =x ,∴2=x .（2）()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=->>-x x x x 310001022,解之得:5=x . 即x 的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则aa 93+的值为__________.解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a,∴53=a.∴()3055359322=+=+=+a a a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）.例40. 若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x __________.（用含a 的式子表示） 解:∵a y x =-lg lg ,∴a yx=lg. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33333==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.例41. 若213log 4=x ,则x x 93log 2+等于【 】 （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）10解:∵213log 4=x ,∴213log 4=x,∴244321===x .∴()52132log 93log 2222=+=+=+x x x .选择【 B 】.例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.解:∵3log 4=a ,∴34=a,即()322=a,∴32=a .∴33431321222=+=+=+-aa a a . 例43. 方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为__________.解:()()4log 23log 59log 21212+-=---x x∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-⋅=---x x . ∴02731232=+⋅-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .例44. 已知方程03l o g 6l o g 222=++x x 的两个实数根分别为βα,,则=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛βα4141【 】 （A ）361（B ）36 （C ）6- （D ）6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.∴()366222414126log 6log 26log 22222=====⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα. 选择【 B 】.例44. 已知3log 2=x ,则=----xxxx 2244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x.∴310924980313313224422==--=----xxx x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x,∴32=x.∴()3263193132122422=-=-=-=--xx x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+xx的解是__________. 解:()()xx23lg 24lg ⋅=+,∴x x2324⋅=+.∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.例47. 计算:()()3log 22222lg 22lg 5lg +-.解:原式()()34lg 2lg 5lg 32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2+-=+-+=313425lg =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 例48. 计算:323log 1271021001lg22-+⎪⎭⎫⎝⎛+-. 解:原式32323log 3410lg 222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=()()()169222342222223log 23log 2++⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯=- 16329169292=++⨯=. 例49. 计算:()4log 2130217731log 3412++--⎪⎭⎫⎝⎛π. 解:原式4log 13773log 149++-=-2321123=+--=.例50. 若2,2>>b a ,且()2log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】（A ）0 （B ）21（C ）1 （D ）2 解法一:2log 1log 2log log 2222bb a ab a ++=++ ∴()()b a b ab a +=+2log 2log 22,∴()()b a b ab a +=+22.∴()b a ab +=2.∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .选择【 D 】.解法二:()02log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=++ab b a ab b a ∴()12=⋅+abb a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .知识点五 对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:abb c c a log log log =（0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ）.说明:（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化证明:设x b a =log ,则b a x=.在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:b ac x c log log =,即b a x c c log log =.∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =,即abb c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .对数换底公式的几个常用推论:（1）b aba nb n a b b ac c c c n c n c na n log log log log log log log log ====; （2）b mn a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c na mlog log log log log log log log =⋅===;（3）aa b b b b b a log 1log log log ==;（4）1log log =⋅a b b a ;1log log 1log log =⋅=⋅a aa b b b b a ,或1log log log log log log =⋅=⋅b a a b a b c c c c b a . （5）1log log log =⋅⋅a c b c b a . 例51. 计算:（1）8log 4log 9log 1632⋅⋅;（2）()()4log 4log 3log 3log 9342++.解:（1）原式=343222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅; 解法二:原式()2log 432log 3log 42log 2log 23log 223232324⋅⋅=⋅⋅=34314=⨯⨯=;（2）原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg293233lg 2lg 32lg 23lg 3=⨯=⋅=. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322⋅=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=291292log 3log 2932=⨯=⋅=. 注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:b mnb a n a m log log =,1log log =⋅a b b a . 例52. 计算:（1）()=+3lg 2lg 3log 3log 84__________; （2）()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.解:（1）原式653lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=; 解法二:原式()2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232⎪⎭⎫⎝⎛+=+= 652log 3log 6532=⋅=; （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg135lg 2lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=()132log 35log 3132log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=⋅=++⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=例53.（1）设3643==yx,求yx 12+的值; （2）已知73,3log 2==b a ,求56log 12.解:（1）∵3643==yx∴36log ,36log 43==y x . ∴4log 9log 4log 3log 236log 136log 12123636363643+=+=+⋅=+y x 136log 36==;点评 这里用到了对数换底公式的推论:ab b a log 1log =.（2）∵73,3log 2==b a ∴b b a ===3lg 7lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()232lg 22lg 32lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==a ab a ab a ab .例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且zyxc b a ==,0111=++zy x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.解法一:设t c b a zyx===,则0>t ,zyxt c t b t a 111,,===.∴zy x zyxtt t t abc 111111++=⋅⋅=.∵0111=++zy x ∴10==t abc .解法二:设t c b a zyx===,则0>t .∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵0111=++zy x ∴0log 1log 1log 1=++tt t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .例55. 计算3216log 的结果是【 】（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43- 解:342log 3116log 3116log 16log 42231232====. 选择【 A 】.点评: 这里用到了对数的性质:（1）M n M a na log log =;（2）1log =a a .例56. 求下列对数式的值:（1）e 1ln 1ln +;（2）51lg 5lg 32lg 4-+;（3）2log 3774lg 25lg 27log +++.解:（1）原式1ln 01-=+=-e;（2）原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+=; （3）原式()()21122232425lg 3log 2133=++=+⨯+=. 例57. =⨯+-+8log 3log 43lg 9lg 215lg 232__________.解:原式3lg 8lg 2lg 3lg 43lg3lg 25lg ⨯+-+= 272322lg 2lg 23100lg 2lg 8lg 43325lg =+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=. 例58. 对数综合运算求值:（1）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+;（2）()[]4log 18log 2log 3log 166626÷⋅+-.解:（1）原式()()12lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 2lg 3lg 22133213-+-+=⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 23=-+-+=; （2）原式()()[]4log 6log 3log 2log 3log 6log 6666266÷++-=()[]()[]()12log 22log 22log 22log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 6666666666666626=÷=÷+=÷++=÷+⋅+=例59. 求下列式子的值:（1）()()a a lg lg 2lg lg 2100+; （2）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++.解:（1）原式()()()[]()2lg lg 2lg lg 22lg lg 2lg 10lg 22=++=+=a a a a ; （2）原式()112lg 12lg 26.010lg 12lg 2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg ==⨯⨯=+++=.例60. 给出下列各式:①()010lg lg =;②()0ln lg =e ;③若x lg 10=,则10=x ;④由21log 25=x ,得5±=x . 其中正确的是__________.（把正确的序号都填上）答案 ①②解:()01lg 10lg lg ==,故①正确;()01lg ln lg ==e ,故②正确;若x lg 10=,则1010=x ,故③错误; 由21log 25=x ,得52521==x ,故④错误.例61. 计算3log 9153223log 327log ++的结果是__________. 解:原式58315233log 3log 33log 33log 3523135331=+--=+-=++=--. 例62. 计算=⨯+⨯-4log 3log 81log 2273223log 324__________. 解:原式()3lg 2lg 22lg 3lg 2log 23323log 213232⨯+⨯-=- ()31123922921213log 2-=+-=+-=.例63. 已知b a ==6log ,5log 52,则用b a ,表示=6lg __________. 解:∵b a ==6log ,5log 52∴b a ==5lg 6lg ,2lg 5lg ,a =-5lg 15lg ,∴aa+=15lg ∴aabb +==15lg 6lg . 例64.（1）已知a =2log 14,用a 表示7log2;（2）已知b a ==5log ,7log 1414,用b a ,表示28log 35.解:（1）∵a =2log 14,∴a12log 114log 142==∴()⎪⎭⎫⎝⎛-=-===1122log 14log 27log 27log7log2222221a ;（2）∵b a ==5log ,7log 1414∴()5log 7log 14log 7log 14log 57log 14714log 35log 28log 28log 14141414141414141435++-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==b a a +-=2. 例65. 解关于x 的方程:（1）()()13log 1log 515=--+x x ;（2）()010lg lg 32=-+x x .解:（1）()()13log 1log 155=--+-x x ,()()5log 3log 1log 555=-++x x()()5log 31log 55=-+x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->+=-+0301531x x x x ,解之得:4=x . ∴该方程的解为4=x ;（2）()010lg 3lg 2=-+x x ,()()05lg 2lg =+-x x∴2lg =x 或5lg -=x ,解之得:210=x 或510-=x . 经检验,210=x 和510-=x 都是原方程的解.例66. 方程()()12log 3log 2log 222=-+-x x 的解是__________. 解:()()12log 32log 22=--x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->-=--03021232x x x x ,解之得:1-=x . ∴该方程的解为1-=x .例67. 已知1>>b a ,若310log log =+a b b a ,a bb a =3,则=b __________. 解:设t b a =log ,则t b a a b 1log 1log ==,3101=+t t ,解之得:31,321==t t . ∵1>>b a ,∴a b a a a log log 1log <<,即10<<t ,∴31=t .∴31log =b a ,31a b =.∵abb a =3,∴a ba a 313=,∴b a 331=,b a 9=∴()b b b b 9,9331==,解之得:3=b .例68. 解方程:()()14log 1log 42=+-+x x .解:()()4log 4log 1log 44222=+-+x x ,()()4log 4log 1log 4424=+-+x x∴()4log 41log 424=++x x .()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+=++04014412x x x x ,解之得:5=x . ∴该方程的解为5=x .例69. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=4,14,21x x f x x f x,则()=+3log 22f 【 】（A ）31 （B ）61 （C ）121 （D ）241解:∵4log 3log 2log 222<<,∴23log 12<<∴()()()3log 32222213log 313log 23log 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++=+f f f()24131812812211223log 3log 13=⨯=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=--. 选择【 D 】.例70. 已知函数()131+=x x f ,则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+91log 3log 42f f __________. 解:∵()131+=x x f∴()()()1333131131131+++=+++=-+--x x x x x x x f x f 1313131=+++=xxx . ∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+31log 3log 31log 3log 91log 3log 22222422f f f f f f ()()13log 3log 22=-+=f f .例71. 若cba964==,则=+-cb a 121__________. 解:设t cb a ===964,则tc t b t a 964log ,log ,log ===.∴9log 6log 24log log 1log 12log 1121964t t t tt t c b a +-=+⋅-=+- 01log 964log 2==⎪⎭⎫⎝⎛⨯=t t .解法二:设t cba===964,则cbat t t 1119,6,4===.∵2694=⨯,∴2111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b ca t t t ,bc a t t 211=+∴b c a 211=+,∴0121=+-cb a . 例72. 已知函数()()11ln 22+-+=ax x a x f （0>a ）,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f 1ln ln ______. 解:∵()()11ln 22+-+=ax x a x f∴()()()()11ln 11ln 2222+++++-+=-+ax x a ax x a x f x f()()[]221ln 211ln2222=+=+++-+=ax xa ax xa∴()()()2ln ln 1ln ln =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f a f a f .例73. 已知b a ,是方程343log 3log 273-=+x x 的两个根,则=+b a __________. 解:343log 3log 333-=+x x ,343log 313log 133-=+x x . 设x t 3log 3=,则34311-=+t t ,解之得:3,121-=-=t t .∴1333log 13log -=-=x 或3333log 33log -=-=x ,解之得:91=x 或811=x . 经检验,91=x 和811=x 都是原方程的解.∴811081191=+=+b a .例74. 已知二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3,则()⋅+2log 5log 2a a50log a 的值为__________.解:∵二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3∴0lg >a ,()3lg 44lg 162=-aa ,解之得:1lg =a ,∴10=a . ∴()⋅+2log 5log 2a a ()50lg 2lg 5lg 50log 2⋅+=a()()()12lg 5lg 2lg 2lg 5lg 5lg 15lg 2lg 5lg 2=+=++=++=.例75. 已知n m a a ==2log ,3log .（1）求n m a 2+的值;（2）若10<<x ,a x x =+-1,且12log 3+=+n m ,求22--x x 的值.解:（1）∵n m a a ==2log ,3log ,∴2,3==n ma a∴()12232222=⨯=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a ;（2）∵12log 3+=+n m∴3log 2log 2log 3log 33+=+a a ,6log 6log 3=a ,∴3=a . ∴31=+-x x ,()()543422121=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴xx 1<,∴51-=--x x . ∴()()531122-=-+=----x x x x x x .例76. 已知z y x ,,为正数,zyx643==,py x =2.（1）求p 的值; （2）求证:yx z 2111=-解:（1）设t zy x ===643,则t z t y t x 643log ,log ,log ===.∵py x =2,∴t p t 43log log 2=,∴4log 23log 4log 24log 13log 12log log 2343==⋅==t t t t t t p2log 43=;证明:（2）由（1）可知:2log 3log 6log log 1log 11136t t t t t x z =-=-=-,2log 4log 21log 121214===⋅=t t t y ∴yx z 2111=-. 例77. 实数b a ,满足1052==ba,则下列关系正确的是【 】（A ）111=+b a （B ）212=+b a （C ）221=+b a （D ）2121=+b a解:∵1052==ba ,∴10log ,10log 52==b a .∴15lg 2lg 10log 110log 11152=+=+=+b a ,故（A ）正确; 22lg 120lg 5lg 4lg 5lg 2lg 212≠+==+=+=+b a ,故（B ）错误; 5lg 150lg 25lg 2lg 5lg 22lg 21+==+=+=+b a ,故（C ）、（D ）错误. 选择【 A 】.例78. 已知函数xx f 311)(+=,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+31lg 3lg f f 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）9分析:因为()()()()()3lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-f f f f f f ,所以根据函数()x f 的解析式计算出()()x f x f -+即可.解:∵xx f 311)(+=∴()()1333133311+=+=+=---x xxx x x x f ∴()()1133311=+++=-+x xxx f x f ∴()()()()()13lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1=-+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-f f f f f f .选择【 A 】.例79. 设()x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()b e x f x+=（b 为常数）,则()2ln -f 等于【 】（A ）21-（B ）1 （C ）1- （D ）3- 解:∵()x f 为定义在R 上的奇函数∴()00=f ,∴01=+b ,解之得:1-=b . ∴当x ≥0时,()1-=x e x f .当0<x 时,0>-x ,此时()()x f e x f x -=-=--1 ∴当0<x 时,()x e x f --=1. ∵01ln 21ln2ln =<=- ∴()12112ln 2ln -=-=-=-e f . 选择【 C 】.方法二:()()()()11212ln 2ln 2ln -=--=--=-=-e f f .例80. 计算:9log 2log 5lg 341lg 2lg 43⋅-+-. 解:原式22333log 2log 5412lg 2⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷= 2133log 2log 10lg 233=-=⋅-=.。
对数与对数运算说课稿（精选5篇）
对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。
，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。
我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。
一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。
本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。
本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。
在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。
二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。
首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。
三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。
首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。
基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。
本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。
对数与对数运算学生版
2.2.1 对数与对数运算1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．释疑点在对数log a N中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；(2)若a＝0，且N≠0时，log a N不存在；N＝0时，log a0有无数个值，不能确定，因此规定a ≠0，N≠0；(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；(4)由a x＝N，a＞0知N恒大于0．(2)(3)(4)当a＞0，且a≠1时．如图所示：比如：43＝64⇔3＝log464；log525＝2⇔52＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．谈重点对指数与对数的互化关系的理解(1)由指数式a b＝N可以写成log a N＝b(a＞0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式log a Na N＝．指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( ) A．100＝1与lg 1＝0B．131273-=与271log3＝13-C．log39＝2与129＝3D．log55＝1与51＝5 【例1－2【例1－3】求下列各式中(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)log x27＝34；(4)x＝log84．2．对数的运算性质(1)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②loga MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)．谈重点对对数的运算性质的理解(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．(2)谈重点利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“log a(MN)＝log a M＋log a N”的推导：设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，于是MN＝a m·a n＝a m＋n，因此log a(MN)＝log a M＋log a N＝m＋n．【例2－1】若a ＞0，且a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log log log a a a x xy y=；⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥1log log a a x x=-；⑦log log a a x n=其中式子成立的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【例2－2】计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5；(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．3．换底公式(1)公式log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1，b ＞0)．(2)公式推导： 设log log c c b x a=，则log c b ＝x log c a ＝log c a x ， ∴b ＝a x ．∴x ＝log a b ．∴log log c c ba＝log a b ．(3)公式的作用换底公式的作用在于把以a 为底的对数，换成了以c 为底的对数，特别有：lg log lg a NN a=，ln log ln a NN a=，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值． (4)换底公式的三个推论：①log log m n a a nN N m=(a ，N ＞0，且a ≠1，m ≠0，m ，n ∈R )；②log a b＝1log b a (a ，b ＞0，且a ，b ≠1)；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c ＞0，且a ，b ，c ≠1，d ＞0)．证明：①log am N n＝log log log log n a a a ma N n N n N a m m ==．②log ab ＝log 1log log b b b b a a=．③log a b ·log b c ·log c d ＝lg lg lg lg lg lg lg lg b c d da b c a⋅⋅=＝log a d ． 【例3－1】82log 9log 3的值是( ) A ．23 B ．32 C ．1 D ．2【例3－2】若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．274．对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号log a N 中实数a 和N 满足的条件是底数a 是不等于1的正实数，真数N 是正实数，即>0,>0,1,N a a ⎧⎪⎨⎪≠⎩因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log (1－a )(a ＋2)有意义，则实数a 的取值范围是__________．【例4－2】若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__________．5．对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．(1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．如39log 5＋log 35＝log 39－log 35＋log 35＝log 39＝2．二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．如，39log 5＋log 35＝39log 55⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝log 39＝2．三是“拆”与“收”相结合．(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N ，lg 2＋lg 5＝1，log a b ·log b a ＝1等．【例5－1】化简求值：(1)4lg 2＋3lg 5－1lg5；；(3)2log32－332log9＋log38－5log35；(4)log2(1)＋log2(1．【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．6．条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．例如：设x＝log23，求332222x xx x----的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝13，然后将它们代入332222x xx x----，可得33331322913122933x xx x--⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--．【例6】已知3a＝4b＝36，求21a b+的值．析规律与对数式有关的求值问题的解决方法(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)用对数log a x和log b y等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．对数的运算性质总结：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；log a MN＝log a M －log a N ； log a M n ＝n log a M (n ∈R )．换底公式：log a b ＝log log c c ba(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 【例7－1】已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A ．a b a +B ．a b b +C ．a a b +D ．b a b +【例7－2】已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．8．与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类：第一类是形如关于x 的方程log a f (x )＝b ，通常将其化为指数式f (x )＝a b ，这样解关于x 的方程f (x )＝a b 即可，最后要注意验根．例如：解方程64152log 163x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将其化为指数式为23156416x --=，又223233164(4)416---===，则1511616x -=，所以x ＝1，经检验x ＝1是原方程的根．第二类是形如关于x 的方程log f (x )n ＝b ，通常将其化为指数式f b (x )＝n ，这样解关于x 的方程f b (x )＝n 即可，最后要注意验根．例如，解方程log (1－x )4＝2，将其化为指数式为(1－x )2＝4，解得x ＝3或x ＝－1，经检验x ＝3是增根，原方程的根是x ＝－1．第三类是形如关于x 的方程f (log a x )＝0，通常利用换元法，设log a x ＝t ，转化为解方程f (t )＝0得t ＝p 的值，再解方程log a x ＝p ，化为指数式则x ＝a p ，最后要注意验根．【例8－1】已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求xy的值．【例8－2】解方程lg 2x －lg x 2－3＝0．9．对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)。
对数与对数运算
log c N log c a
log c N p log c a
p
log c N p log c a
log c N 即证得 log a N log c a
这个公式叫做换底公式
其他重要公式3:
1 log a b a, b (0,1) (1,) logb a
p
q
∴MN= a 即证得
p
a a p q loga MN p q
q
log a (MN) log a M log a N
学生活动：
仿照上面的证明方法，证明后两条运算 性质。
证明：
(2)设 log a M p, log a N q, 由对数的定义可以得：
M a , N a
log c N 证明:由换底公式 log a N log c a log b b log 取以b为底的对数得： a b log b a 1 logb b 1 log a b log b a
还可以变形,得 log a b logb a 1
例3
计算：
5 7 （1） log 2 (2 4 )
p
q
M ∴ N
即证得
a M p q a log a pq q N a
M log a log a M log a N N
p
证明：
(3)设 log a M p,
由对数的定义可以得：M
a ,
p
∴
M a
n
np
log a M n np
即证得
log a M n n log a M(n R)
对数与对数的运算
log a ( MN ) ≠ log a M ⋅ log a N , log a ( M ± N ) ≠ log a M ± log a N
ax＝N ⇔ logaN＝x. ＝ 指数式 ⇔ 对数式
1 1 = 2 log a x + log a y − log a z 2 3
例6、金榜P90典例5 金榜P90典例5 P90典例
巩固练习
金榜Ｐ 金榜Ｐ90
变式训练
根据对数的定义, 根据对数的定义
a
log a N
=?
a
loga N
=N
练习、金榜P89典例4 P89典例 练习、金榜P89典例4
换底公式： 探究 换底公式
a = N ⇔ loga N = b
b 结论：1）底数a的取值范围：(0,1) U (1,+∞) 2）真数N的取值范围 : (0,+∞) 3）对数b的取值范围 : (−∞,+∞)
log 3 0, log a 0; l o g10 (−5), log a (−1);
结论： 结论：零和负数没有对数
例2、求使 loga−2 ( 7 − 2a) 有意义 的a的取值范围
4) log a b • log b a = ？
(请记住 请记住) 请记住
例7、金榜P89典例5 金榜P89典例5 P89典例
巩固练习
练习1 金榜Ｐ 练习1、金榜Ｐ90
变式训练
练习2、计算 (1) log2+ 3 (2 - 3) + log (2)2
log4 (2− 3 )2
对数与对数运算PPT
思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数与对数运算
若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N 为0时，logaN可以为任何正数，不唯一． 若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N 为1时，logaN可以为任何实数，不唯一． 因此规定a>0且a≠1.因为logaN＝b⇔ab＝ N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正 数，因此N>0.
2．式子 logaMn＝nlogaM 表明真数的指数可以直接拿 到对数式前作系数， 那请问： 底数的指数也可以直接拿到 对数式前作系数吗？若不能， 有没有类似性质呢？怎么证 明呢？
1．对数式与指数式有何关系？在对数符 号logaN中，为什么规定a>0，a≠1，N>0呢？ 对数的概念是这么说的：一般地，如果 a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么 就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数．从定义 不难发现无论是指数式ab＝N，还是对数式 logaN＝b都反映的是a、b、N三数之间的关 系． 在对数符号logaN中，若a<0，则N为某些 值时，logaN不存在，如log(－2)8不存在．
1.计算下列各式的值.
1 32 4 1 —— (1). lg lg 8 lg 245 2 2 49 3 2 2 2 (2).lg 5 lg 8 lg 5. lg 20 lg 2 3 3 lg 2 lg 3 lg 10 1 —— (3). 2 lg1.8
1.对数的概念、表示.
指 数
b a =N
底 数 幂
log a N = b
底数 真 数 对 数
填空：
2 2 16 ， 4 log4 16 ______ 1、 ______
4
2
16 log4 16 2
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数及对数的运算
对数及对数运算一．对数的定义：一般地，如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数。
记做：x＝log a N。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
二．两种特殊的对数1.常用对数：我们将以10为底的对数log10N叫做常用对数，并记做lg N。
2.自然对数：无理数e=2,71828...，以e为底的对数log e N称为自然对数，并记做ln N。
三．对数式与指数式的互化3.由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：2．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x ＝12，则x ＝________.四．对数的性质（1）log a 1＝0 ; log a a ＝1 （2）对数恒等式：=N ; Naalog =N （a ＞0，且a ≠1）【典型例题】3.求下列各式中的x ：（1）log x ＝；（2）log x 5＝；（3）l og （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.（4）若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________；五．对数的运算法则（1）加法：（2）减法：（3）数乘：（4）（5）换底公式：特殊情形：，推广【典型例题】4.化简下列各式：Na alog 5421-23M NaNa Ma log log log =+NMaNa Ma log log log =-nMaM a n log log =M aM am n nmlog log =abNb Na log log log =ab ba log 1log =d a d c c b b a log log log log =⋅⋅(1)4＝__________.(2)4lg2＋3lg5－lg ；；(4)2log 32－log 3＋log 38－5. 【典型例题】5.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）6.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( )A.lg2B.lg32C.lgD.lg2221(log 9log 5)2－153295log 332151。
对数与对数运算
换底公式推导
根据对数定义及指数运算规则，可以 推导出换底公式。具体过程略。
换底公式在简化计算中作用
化简复杂对数式
利用换底公式可以将复杂对数式转化为简单对数式，从而简 化计算过程。
复合函数处理方法
• 对于形如$f(g(x))$的复合函数，若外层函数$f(x)$和对内层函数$g(x)$都可导，则复合函数可导。在处理复合 对数函数如$\ln(\sin x)$、$\log_2(\cos x)$等时，需利用链式法则求导。
04
换底公式推导及应用技巧
换底公式介绍和推导过程
换底公式定义
形如$a^x+b^x=c$或$a^x \times b^x = c$等 更复杂的方程。
利用对数性质解指数方程步骤梳理
第一步
确定方程类型，选择合适的对数性质进行转 换。
第二步
应用对数性质，消去指数，将方程转化为代 数方程。
第三步
解代数方程，求得$x$的值。
第四步
验根，将求得的解代入原方程进行验证，确 保解的正确性。
统一底数
在实际问题中，有时需要将不同底数的对数式统一为一个底 数，以便进行计算和比较。换底公式可以实现这一目的。
实际应用案例展示
案例一
求解log5(25)+log2(32)-log3(9)。通过换 底公式，可将原式转化为以10为底的对数 式进行计算。
案例二
比较log0.5(0.4)与log0.4(0.5)的大小。通过 换底公式将两个对数式转化为以10为底的
运算性质总结
正对数性质
若$a>0, a\neq1, M>0, N>0$，则$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M\log_a N$，$\log_a M^n=n\log_a M$。
第五课： 对数与对数运算
第五课： 对数与对数运算1、对数的定义：如果 a(a>0,a ≠1)的x 次幂等于N , 就是a=N ，那么数 x 叫做 a 为底 N 的对数，记作x=log a N ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（N > 0） 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN 例如：3log e 简记作ln3; 10log e 简记作ln102、指数与对数互化式：log x a a N x N =⇔=；3、对数恒等式：log a NaN =.4、基本性质：01log =a ，1log =a a .5、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N Ma a a log log log -=⎪⎭⎫⎝⎛； ⑶M n M a n a log log =. 6、换底公式：abb c c a log log log =()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .7、重要公式：log log n ma a mb b n= 8、倒数关系：ab b a log 1log =()1,0,1,0≠>≠>b b a a1.填空题：1、用对数形式表示下列各式中的x10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =61：＿＿＿＿2. （1） ，则；（2），则 ；（3），则；（4），则；（5） ；（6） ；（7）；(8) ；（9）；（10）；（11）； （12），则；（13） ，则 ；（14），则 ．3. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）. A. 3 B. 23 C. 22 D. 324. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15B ．15C ．±15D ．2255. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .6.已知c b a =2log ,则 ( ) A.c ab=2 B.b a c =2 C.a b c 2= D.b c a =27.2log 9log 38⋅的值为 （ ） A.32 B.1 C.23D.2 8.已知22log (1)2log (1)x x -=-+，则=x ．9．设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________.10.已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ） （A ）lg 2 （B ）lg 32 （C ）1lg 32（D ）1lg 2511．4log33的值是( ) A ．16 B ．4 C ．3 D ．212．若412xlog 3=，则x ＝_____________． 13．3log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．23D ．2 14．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。
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合可得什么等式？ logaaNNalogaNN
对数的基本性质几点说明：
1．在对数式中 N > 0
（负数与零没有对数）
2．对任意 a 0且a 1 , 都有a0 1
∴ loga10同样易知：l oga a1
3．如果把 ab N中的 b写成loga N ,
2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对 数
问题提出
t
p
1 2
5730
1.截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过20年后，我国人口数最多 为多少（精确到亿）？到哪一年我国的 人口数将达到18亿？
13× (1＋1％)x＝18，求x=?
2.假设2006年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年的平均增长率为8% ，那 么经过多少年我国的国民生产总值是 2006年的2倍？
对数式与指数式的互化：
思考： 1）为何对数的定义中要求底数a>0且a≠1?
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），
loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？负数和零没有对数
对数的真数＞0，而不存在≤0的值
思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且 a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？
x＝logaN
思考5:前面问题中，1 .0 1 x 1 8 ,1.08x 2
13
中的x的值可分别怎样表示？
思考6: 满足10x N , ex N ，
（其中e=2.75…）的x的值可分别怎样表 示？这样的对数有什么特殊名称？
思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？负数和零没有对数
对数的真数＞0，而不存在≤0的值
思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
32x 33
∴ x3
(2)log 625
2
3 54
解：设 xlog3 54 625则
x 625,
3 54
5 5 即
4
3x625
4,
∴
4x4 3
∴ x3
例题讲解
2．求x的值：①
log6
4
x
2 3
解：∵
log6
4
x
2 3
求真数
∴
2
x643
(43)3 2
4 2 1
16
例题讲解
② logx 86
解： ∵ logx86,又∵ x0
则有 aloga N N（对数恒等式）
4. logaaN N（对数恒等式）
(性质4如何证明?)
例题讲解
例题1：将下列指数式写成对数式：
(1) 54 625 log56254
(2) 26 1 64
1 log2 64 6
(3) 3a 27
log327a
(4) 1m 5.73 3
log1 5.73m
(1＋8％)x＝2，求x=?
3.上面的实际问题归结为一个什么 数学问题？
已知底数和幂的值，求指数.
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？ 若2－2＝N，则N＝？
思考2:若2x＝16，则x＝？ 若2x＝ 1 ,则x＝？ 4 若4x＝8， 则x＝？ 若2x＝3， 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23 表对示数，”即.那x＝么满lo足g232，x＝并16叫，做2“x＝以1 2，为4底x＝3的8 的x的值可分别怎样表示？ 4
思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？负数和零没有对数
对数的真数＞0，而不存在≤0的值
思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
lo ga10 , lo gaa 1
3
例题讲解 例题2：将下列对数式写成指数式：
(1)log1164
2
(2)lo2g 128 7
1
4
16
2
27 128
(3)lg0.01 2
102 0.01
(4)ln102.303 e2.30310
例题讲解 回顾指数与指数幂运算
例3 (1)log9 27
求求对数数
解：设 xlog927 则 9x 27,
2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对 数
知识探究（二）：对数a≠1时，若ax＝N，则x ＝logaN，反之成立吗？
思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN 中，a，x，N各自的地位有什么不同？
a
Nx
指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数
对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN
∴ x81 6(23)1 6 2
③ lne2 x
求底数
解： ∵ lne2 x
∴ ln e2x,e2ex 求对数
∴ x2.
作业： P６4练习: 1,２,３,４. P７４习题2.２A组：1,２.
lo ga10 , lo gaa 1
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？负数和零没有对数
对数的真数＞0，而不存在≤0的值
思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？
lo ga10 , lo gaa 1