矩阵微分方法
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T
dan (t ) da2 (t ) dt dt
T
Microsoft ⥒ 3.0
一.相对于数量变量的微分
定义2：
A [aij (t )]mn dA daij (t ) dt dt mn
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一.相对于数量变量的微分
运算法则： d ( A B )
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（乘法）：
d dA dB ( AB) B A dx dx dx
B A x 1 B dB A A x2 dx B A xn
定义列向量：
x1 x x1 x2 x2
T
y可以表示为：
y f ( x)
xR
2
说明：若无特殊声明，小写、加黑且无下标的字母 一般都表示列向量（ 除外）。
二.相对于向量的微分
1.数量函数相对于向量的微分 定义3：
f ( x) f ( x1 , x2 , xn ) df ( x) f dx x1 df ( x) f T dx x1 f x2 f x2
dA dB dt dt dt d ( A ) d dA A dt dt dt T d da T T db (a b) ba dt dt dt d dA dB ( AB ) B A dt dt dt
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什么是向量的函数？
x1 y f ( x1 , x2 ) 5 x1 3 x2 5 3 x2
ml
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
dA( x) A( x) T dx x1
ml
A( x) A( x) x2 xn mln
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Байду номын сангаас
二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
Microsoft ⥒ 3.0
二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 两个有用的等式：
dx I T dx T dx I dx
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 设：
a11 ( x) a12 ( x) a1l ( x) a ( x) a ( x) a ( x) 21 22 2l A( x) am1 ( x) am 2 ( x) aml ( x) ml
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二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 定义4：
a1 x 1 a T da ( x) 1 x2 dx a 1 xn
a2 x1 a2 x2 a2 xn
am x1 am a j x2 xi nm am xn
矩阵微分法
主要内容：
一. 相对于数量变量的微分法 二. 相对于向量（变量）的微分法
1.数量函数对向量的导数 2.向量函数对向量的导数 3.矩阵函数对向量的导数
一.相对于数量变量的微分
定义1：
a (t ) a1 (t ) a2 (t ) an (t ) da (t ) da1 (t ) dt dt
d ( A C ) dA dC dx dx dx
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（数乘）：
A dA d (A) d x A 1 dx dx dx d A A x2 dx d A 说明： 仅为一种表示方式。 A xn dx
其中： aij ( x)⇜
⸘
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
A( x) x 1 A( x) dA( x) x2 dx A( x) xn nml
二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 定义4：
a1 x 1 a2 da ( x ) x1 T dx a m x1
a1 x2 a2 x2 am x2
a1 xn a2 ai xn x j mn am xn
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二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 设：
a1 ( x) a ( x) 2 a( x) a m ( x)
x x1
x2 xn
T
其中： ai ( x) ——数量函数
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x [ x1 , x2 xn ]T
T
数学中梯度的 定义，表示为
f xn f xn
grad [ f ( x)] f ( x )
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二.相对于向量的微分
1.数量函数相对于向量的微分 运算法则： f ( x), g ( x)
d ( f g ) df dg dx dx dx df dg d ( fg ) g f dx dx
dA( x) A( x) T dx x1
ml
A( x) A( x) x2 xn mln
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 其中：
a11 ( x) x i a21 ( x) A( x) xi xi a ( x) m1 xi
a1l ( x) a12 ( x) xi xi a2l ( x) a22 ( x) xi xi am 2 ( x) aml ( x) xi xi ml
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（加法）：
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二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 运算法则：
T T d T d ( a ) d ( b ) T (a b dx dx dx T d d T da T ( a ) a dx dx dx T T d T d (a d (b ( a b) b a dx dx dx
dan (t ) da2 (t ) dt dt
T
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一.相对于数量变量的微分
定义2：
A [aij (t )]mn dA daij (t ) dt dt mn
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一.相对于数量变量的微分
运算法则： d ( A B )
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（乘法）：
d dA dB ( AB) B A dx dx dx
B A x 1 B dB A A x2 dx B A xn
定义列向量：
x1 x x1 x2 x2
T
y可以表示为：
y f ( x)
xR
2
说明：若无特殊声明，小写、加黑且无下标的字母 一般都表示列向量（ 除外）。
二.相对于向量的微分
1.数量函数相对于向量的微分 定义3：
f ( x) f ( x1 , x2 , xn ) df ( x) f dx x1 df ( x) f T dx x1 f x2 f x2
dA dB dt dt dt d ( A ) d dA A dt dt dt T d da T T db (a b) ba dt dt dt d dA dB ( AB ) B A dt dt dt
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什么是向量的函数？
x1 y f ( x1 , x2 ) 5 x1 3 x2 5 3 x2
ml
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
dA( x) A( x) T dx x1
ml
A( x) A( x) x2 xn mln
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
Microsoft ⥒ 3.0
二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 两个有用的等式：
dx I T dx T dx I dx
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 设：
a11 ( x) a12 ( x) a1l ( x) a ( x) a ( x) a ( x) 21 22 2l A( x) am1 ( x) am 2 ( x) aml ( x) ml
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二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 定义4：
a1 x 1 a T da ( x) 1 x2 dx a 1 xn
a2 x1 a2 x2 a2 xn
am x1 am a j x2 xi nm am xn
矩阵微分法
主要内容：
一. 相对于数量变量的微分法 二. 相对于向量（变量）的微分法
1.数量函数对向量的导数 2.向量函数对向量的导数 3.矩阵函数对向量的导数
一.相对于数量变量的微分
定义1：
a (t ) a1 (t ) a2 (t ) an (t ) da (t ) da1 (t ) dt dt
d ( A C ) dA dC dx dx dx
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（数乘）：
A dA d (A) d x A 1 dx dx dx d A A x2 dx d A 说明： 仅为一种表示方式。 A xn dx
其中： aij ( x)⇜
⸘
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 定义5：
A( x) x 1 A( x) dA( x) x2 dx A( x) xn nml
二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 定义4：
a1 x 1 a2 da ( x ) x1 T dx a m x1
a1 x2 a2 x2 am x2
a1 xn a2 ai xn x j mn am xn
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二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 设：
a1 ( x) a ( x) 2 a( x) a m ( x)
x x1
x2 xn
T
其中： ai ( x) ——数量函数
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x [ x1 , x2 xn ]T
T
数学中梯度的 定义，表示为
f xn f xn
grad [ f ( x)] f ( x )
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二.相对于向量的微分
1.数量函数相对于向量的微分 运算法则： f ( x), g ( x)
d ( f g ) df dg dx dx dx df dg d ( fg ) g f dx dx
dA( x) A( x) T dx x1
ml
A( x) A( x) x2 xn mln
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二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 其中：
a11 ( x) x i a21 ( x) A( x) xi xi a ( x) m1 xi
a1l ( x) a12 ( x) xi xi a2l ( x) a22 ( x) xi xi am 2 ( x) aml ( x) xi xi ml
Microsoft ⥒ 3.0
二.相对于向量的微分
3.矩阵函数相对于向量的微分 运算法则（加法）：
Microsoft ⥒ 3.0
Microsoft ⥒ 3.0
二.相对于向量的微分
2.向量函数相对于向量的微分 运算法则：
T T d T d ( a ) d ( b ) T (a b dx dx dx T d d T da T ( a ) a dx dx dx T T d T d (a d (b ( a b) b a dx dx dx