人教版高中数学A版必修4学案 任意角

1．1.1任意角

明目标、知重点 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．

1．角的概念

(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

2.

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

[情境导学]过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体1 080°”、“踺子后手翻转体180°接前直空翻540°”等这样的解说．因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.

探究点一角的概念的推广

思考1我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？

答一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫做角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．

思考2

如图，已知角α＝120°，根据角的定义，则β、－α、－β、γ分别等于多少度？

答－240°；－120°；240°；480°.

思考3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．

答经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.

探究点二象限角与终边落在坐标轴上的角

思考1象限角定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

答不行，因为始边包括端点(原点)．

思考2是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表．

答不是，因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

终边所在的位置角的集合

x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}

x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

思考3

思考1在同一直角坐标系中作出390°，－330°，30°的角，并观察这三个角终边之间的关系和角的大小关系．

答终边相同，并相差360°的整数倍．

思考2对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？

答所有与α终边相同的角，连同α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考3集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角－30°终边相同的角，其中最小的正角是多少度？已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在坐标系中的什么位置？

答330°；第一或第三象限的角平分线上．

例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.

解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

反思与感悟解答本题可先利用终边相同的角的关系β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．

跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内：

(1)1 400°；(2)－2 016°.

解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，

∴1 400°也是第四象限角．

(2)－2 016°＝－6×360°＋144°，∴－2 016°与144°终边相同．∴－2 016°是第二象限角．

例2写出终边在y轴上的角的集合．

解所有与90°终边相同的角构成集合

S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．

所有与270°角终边相同的角构成集合

S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．

于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2

＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．

反思与感悟利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．

跟踪训练2写出终边落在x轴上的角的集合S.

解S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．

例3写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．

解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：

S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：

45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；